- 1 -
数学（理）试卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求。
1．若直线 a 平行于平面α，则下列结论错误．．的是（ ）
A．直线 a 上的点到平面α的距离相等
B．直线 a 平行于平面α内的所有直线
C．平面α内有无数条直线与直线 a 平行
D．平面α内存在无数条直线与直线 a 成 90°角
2．如图所示，在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，M 为 1 1AC 与 1 1B D 的
交点。若 AB a ， AD b ， 1AA c ，则下列向量中与 BM
相
等的向量是（ ）
A． 1 1
2 2
a b c B． 1 1
2 2a b c
C． 1 1
2 2a b c
D． 1 1
2 2a b c
3．已知 RbRa , ，则“直线 012 yax 与直线 012)1( ayxa 垂直”是“ 3a ”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
过点 (0,4) ，离心率为 3
5
，则椭圆 C 的标准方程为（ ）
A．
2 2
116 9
x y B．
2 2
125 16
x y C．
2 2
116 4
x y D．
2 2
125 9
x y
5．直线 : (2 1) 6 0l mx m y 与两坐标轴所围成的三角形的面积为 3，则 m 的值为（ ）
A．2 B． 3
2
C．3 D． 2 或 3
2
6．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图
所示的十字立方体其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，
经90 榫卯起来若正四棱柱的高为 5，底面正方形的边长为 1，现将该鲁班锁放进 一个球
形容器内，则该球形容器的表面积至少为（容器壁的厚度忽略不计）（ ）
- 2 -
A． 28 B．30
C． 60 D．120
7．双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
（ 0a ， 0b ）的左、右焦点分别是 1 2F F， ，过 1F 作倾斜角为30 的
直线交双曲线右支于 M 点，若 2MF 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为（ ）
A． 6 B． 3 C． 2 D． 3
3
8．动直线 : 2 2= 0l x my m m R 与圆 2 2: 2 4 4 0C x y x y 交于点 A,B,则弦
AB 最短为（ ）.
A．3 B．6 C． 4 2 D． 2 5
9．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的左视图和俯视图，则该三
棱锥的主视图可能是（ ）
A． B． C． D．
10．若椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的离心率为 1
3
，则双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
的渐近线方程为
（ ）
A． 2 2
3y x B． 3
2y x C． 2
2y x D． y x
- 3 -
11．已知直线 l ： ( 1) 0y k x k 与抛物线 2: 4C y x 相交于 A 、 B 两点，且满足
2AF BF ，则 k 的值是（ ）
A． 3
3
B． 3 C． 2 23 D． 2 2
12．两圆 2 2 2
1 : 2 4 0( )C x y ax a a R 与 2 2 2
2 : 2 1 0( )C x y by b b R 只有
一条公切线，则 a b 的最小值为（ ）
A．1 B． 2 C． 2 D． 2
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．命题“ x R ,使得 0522 xx ”的否定是 ．
14．已知方程
2 2
2 11 4
x y
m m
表示焦点在 x 轴上的双曲线，则 m 的取值范围为 ．
15．已知实数 x ， y 满足 2 2 6 8 24 0x y x y ，则 2 2x y 的最小值为 ．
16．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:如图，卫星在以地球的中心为焦点的
椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星
的向径(卫星与地心的连线)在相同的时间内扫过的面积相等设该椭圆的长轴长、焦距分别
为 2a ， 2c .某同学根据所学知识，得到下列结论:
①卫星向径的取值范围是 ,a c a c
②卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
③卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
④卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大
其中正确的结论是 ．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
17．（本小题满分 10 分）
已知 :p 方程 2 2 24 0x y y m 表示圆; :q 方程
2 2
13
x y
m
表示焦点在 x 轴上的椭圆.
（1）若 p 为真命题,求实数 m 的取值范围;
（2）若“ p q ”为假,“ p q ”为真,求实数 m 的取值范围.
18．（本小题满分 12 分）
已知点 (3,1)M ，直线 4 0ax y 及圆 2 2:( 1) ( 2) 4C x y .
（1）求过点 M 的圆 C 的切线方程；
- 4 -
（2）若直线 4 0ax y 与圆C 相交于 BA, 两点，且弦 AB 的长为 2 3 ，求 a 的值；
19．（本小题满分 12 分）
如图所示，四棱锥 P ABCD 底面是直角梯形，点 E 是棱 PC 的中点， BA AD ，
CD AD ， 2CD AB ，PA 底面 ABCD ， 2PA AB AD ．
（1）判断 BE 与平面 PAD 是否平行，证明你的结论；
（2）证明： BE 平面 PDC ；
20．（本小题满分 12 分）
已知椭圆
2
2: 12
xC y 的左、右焦点分别为 1 2,F F
（1）过椭圆 C 的左焦点且倾斜角为 60 的直线与椭圆交于 A,B 两点，求 2ABF 的面积；
（2）过定点 (2,2) 的直线交椭圆 C 于 AB 两点，求弦 AB 中点 P 的轨迹方程.
21．（本小题满分 12 分）
如图，等腰梯形 ABCD 中， / /AB CD ， 1AD AB BC ， 2CD ，E 为 CD 中点，
以 AE 为折痕把 ADE 折起，使点 D 到达点 P 的位置（ P平面 ABCE ）.
（1）证明： AE PB ；
（2）若直线 PB 与平面 ABCE 所成的
角为
4
，求二面角 A PE C 的余弦值.
22．（本小题满分 12 分）
已知抛物线 2: 2 0E y px p ，过其焦点 F 的直线与抛物线相交于 1 1,A x y 、
2 2,B x y 两点，满足 1 2 4y y .
（1）求抛物线 E 的方程；
（2）已知点C 的坐标为 2,0 ，记直线CA 、CB 的斜率分别为 1k ， 2k ，求 2 2
1 2
1 1
k k
的
最小值.
数学（理）答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A B B D B B C A A D C
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.)
D
A B
C
P
E
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13． x R ,都有 0522 xx 14． 1,2 15．16 16．①③
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．【解析】（1）整理圆的方程： 22 22 4x y m
若 p 为真，则 2 2m
（2）若 q为真，则 0 3m 由题可知， ,p q 一真一假
故“ p 真 q假”时， 2 2
0 3
m
m m
或
则 2 0m
“ q真 p 假”时， 2 2
0 3
m m
m
或
则 2 3m
综上， 2 0 2 3m m 或
18.【解析】由题意 (1,2)C ， 2r = ．
（1）过点 M 且斜率不存在的直线为 3x 与圆C 相切，
过点 M 且斜率存在的直线，设其方程为 1 ( 3)y k x ，即 3 1 0kx y k ，
∴
2
2 3 1 2
1
k k
k
，解得 3
4k ，切线方程为 3 5 04 4x y ，即3 4 5 0x y ．
∴所求切线方程为 3x 或3 4 5 0x y ．
（2）
2 2
2 4 2
1 1
a ad
a a
，
∴
2
2 2
2
( 2)2 2 4 2 31
ar d a
，解得 3
4a ．
19．【解析】（1）证明：取 PD 中点Q ，连 EQ ， AQ ，则 1
2QE CD AB
/ /
/ / / /
QE CD
CD AB QE AB
QE AB
且QE AB
四边形 ABEQ 是平行四边形 //BE AQ
/ /
/ /
BE AQ
AQ PAD BE
BE PAD
平面
平面
平面 PAD D
A B
C
P
E
- 6 -
（2）证明： PA ABCD PA CDCD ABCD
平面
平面 ，又 CD AD ， PA AD A
CD 平面 PAD 又 AQ 平面 PAD AQ CD ，又 PA AD ， Q 为 PD 的中点
AQ PD ，又 PD CD D AQ 平面 PCD
又 / /BE AQ BE 平面 PCD．
20．（1）直线方程为： 3 1y x ，联立得到：
2
2 12
3 1
x y
y x
得到
1 2
2
1 2
2 3
77 2 3 3 0
3
7
y y
y y
y y
2
2
1 2 1 2 1 2
1 12 12 4 62 42 49 7 7ABFS c y y y y y y
（2）设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，代入椭圆方程相减得到
1 2 1 2
1 2 1 2 02
x x x x y y y y
设中点为 ,P x y ，则 1 2
1 2
2 0y yx y x x
， 1 2
1 2
2
2
y y ykx x x
代入化简得到： 2 22 2 4 0x x y y （椭圆内部部分）
21．【解析】（1）证明：在等腰梯形 ABCD 中，连接 BD，交 AE 于点 O，
∵AB||CE,AB=CE，∴四边形 ABCE 为平行四边形，∴AE=BC=AD=DE，
∴△ADE 为等边三角形，∴在等腰梯形 ABCD 中，
3C ADE ， 2
3DAB ABC ,
∴在等腰 ADB 中，
6ADB ABD
∴ 2
3 6 2DBC ,即 BD⊥BC，
∴BD⊥AE，
翻折后可得：OP⊥AE,OB⊥AE，又 , ,OP POB OB POB OP OB O 平面 平面 ，
AE POB 平面 ，
,PB POB AE PB 平面 ；
- 7 -
（2）解：在平面 POB 内作 PQ⊥OB,垂足为 Q，
因为 AE⊥平面 POB，∴AE⊥PQ，
因为 OB 平面 ABCE, AE 平面 ABCE,AE∩OB=O
∴PQ⊥平面 ABCE，∴直线 PB 与平面 ABCE 夹角为
4PBQ ，
又因为 OP=OB，∴OP⊥OB，
∴O、Q 两点重合，即 OP⊥平面 ABCE，
以 O 为原点，OE 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐
标为 3 1 3 1 3 1 3(0,0, ), ( ,0,0), (0, ,0), ( ,0, ), ( , ,0)2 2 2 2 2 2 2P E C PE EC ,
设平面 PCE 的一个法向量为 1 ( , , )n x y z ，
则 1
1
1 3 00 2 2, ,
0 1 3 02 2
x zPE n
EC n x y
设 3x ，则 y=-1,z=1，∴ 1 ( 3,-1,1)n ，
由题意得平面 PAE 的一个法向量 2 (0,1,0)n ，
设二面角 A-EP-C 为 ， 1 2
1 2
| | 1 5|cos |= 5| || | 5
n n
n n
.
易知二面角 A-EP-C 为钝角，所以 5cos =- 5
.
22．【解析】（1）因为直线 AB 过焦点 ,02
pF
，设直线 AB 的方程为
2
px my ，
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将直线 AB 的方程与抛物线 E 的方程联立
2
2
2
px my
y px
，消去 x 得 2 22 0y mpy p ，
所以有 2
1 2 4y y p ， 0p ， 2p ，因此，抛物线 E 的方程 2 4y x ；
（2）由（1）知抛物线的焦点坐示为 1,0F ，设直线 AB 的方程为 1x my ，
联立抛物线的方程 2 4 4 0y my ，所以 1 2 4y y m ， 1 2 4y y ，
则有
1 1
1 3mk y
，
2 2
1 3mk y
，
因此
2 2
2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 3 3 1 1 1 1=2 6 9m m m mk k y y y y y y
2 2
1 2 1 22 2 21 2
2 2
1 2 1 2
2 4 84 92 6 9 2 6 9 54 16 2
y y y y my y mm m m m my y y y
.
因此，当且仅当 0m 时， 2 2
1 2
1 1
k k
有最小值 9
2 .
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