2020-2021学年江苏省启东市高二上学期期中考试数学试题 Word版

1 2020～2021 学年第一学期期中考试 高二数学试题及评分建议 (考试时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1． 已知命题 p：x∈R， 2 1 04x x  ≤ ，则p 为（ ▲ ） A．x∈R， 2 1 04x x  ≤ B．x∈R， 2 1 04x x   C．x∈R， 2 1 04x x   D．x∈R， 2 1 04x x   【答案】B 2． 椭圆 1416 22  yx 的长轴长为（ ▲ ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 3． 已知关于 x 的不等式 ax2＋bx－1>0 的解集为(3,4)，则实数 a，b 的值是（ ▲ ） A．a＝12，b＝－84 B．a＝－12，b＝84 C．a＝ 1 12 ，b＝－ 7 12 D．a＝－ 1 12 ，b＝ 7 12 【答案】D 4． 已知 1，a，x，b，16 这五个实数成等比数列，则 x 的值为（ ▲ ） A．4 B．－4 C．±4 D．不确定 【答案】A 5． 已知正数 a、b 满足 a＋b＝2，则 ba  有（ ▲ ） A．最小值 1 B．最小值 2 C．最大值 1 D．最大值 2 【答案】D 6． “a>1，b>1”是“logab＋logba≥2”的（ ▲ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 7． 在等差数列{an}中，已知前 21 项和 S21＝63，则 a2＋a5＋a8＋…＋a20 的值为（ ▲ ） A．7 B．9 C．21 D．42 【答案】C 8．  x∈ 1 3    ， ，使得 ax2－2x＋1>0 成立，则实数 a 的取值范围为（ ▲ ） 2 A．[－3,＋∞) B．(－3,＋∞) C．[1,＋∞) D．(1,＋∞) 【答案】B 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9． 下列命题的否定中，是全称命题且为假命题的有（ ▲ ） A．中国所有的江河都流入太平洋 B．有的四边形既是矩形，又是菱形 C．存在 x∈R，有 x2＋x＋1＝0 D．有的数比它的倒数小 【答案】BD 10．已知 1 1 0m n  ，则（ ▲ ） A．m < n B．|m|> |n| C．m＋n0，所以 q>1，所以 q＝3， 所以 an＝3n-1． ……………6 分 （2）选择① 因为 3Sn＋bn＝4，所以 3Sn-1＋bn-1＝4(n≥2)， 两式相减得 3(Sn－Sn-1)＋(bn－bn-1)＝0，即 4bn－bn-1＝0(n≥2)， 所以 1 1 4n nb b  (n≥2)， ……………8 分 所以数列{bn}是以 b1＝1 为首项， 1 4 为公比的等比数列， 故   11 4 n nb   ， ……………10 分 因此   13 4 n n n nc a b    ． 由 cn>0 恒成立，所以 Tn 的最小值为 T1＝c1＝1． ……………12 分 5 选择② 由 bn＝bn-1＋2(n≥2)知{bn}是以 b1＝1 为首项，2 为公差的等差数列， 所以 bn＝1＋2(n－1)＝2n－1， ……………8 分 所以 cn＝anbn＝(2n－1)·3n－1 因为 cn＝(2n－1)·3n－1>0，即 c1>0，c2>0，c3>0，…， ……………10 分 所以(Tn)min＝T1＝c1＝1 ……………12 分 选择③ 由 5bn＝－bn-1(n≥2)知{bn}是以 b1＝1 为首项， 1 5 为公比的等比数列， 所以   11 5 n nb    ， ……………8 分 所以   13 5 n n n nc a b     ，所以    31 5 5 313 8 51 5 n n nT          ，……………10 分 当 n 为奇数时，由于 3 05 n   ，故 5 8nT  ； 当 n 为偶数时，由于 3 05 n   ，故 5 8nT  ， 由  5 318 5 n nT       在 n 为偶数时单调递增， 所以当 n＝2 时，  min 5 16 2 8 25 5nT    ……………12 分 20．(本小题满分 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n+1－t ，求证：数列{an}是等比数列的充要条件为 t＝3． 【解】当 n＝1 时，S1＝32－t＝9－t， ……………2 分 当 n≥2 时，由 Sn＝3n+1－t 得 Sn-1＝3n－t ， 两式相减得 an＝3n+1－3n＝2·3n（n≥2）……………4 分 （1）充分性 已知 t＝3，此时 S1＝32－t＝9－3＝6， 令 n＝1，得 a1＝2·31＝6＝S1，所以 an＝2·3n（n∈N*） 所以 1 3n n a a   ，所以数列{an}是等比数列．……………8 分 （2）必要性 因为数列{an}是等比数列，所以 a1＝2·31＝6， 又因为 S1＝9－t，所以 9－t＝6，所以 t＝3，……………10 分 综上所述：数列{an}是等比数列的充要条件为 t＝3． ……………12 分 6 21．(本小题满分 12 分) 为了丰富市民的文化生活，市政府决定在 A、B 两个新村之间建一个市民广场 C．若 A、B 两个 新村间的直线距离是 3 百米，建设部门在确定市民广场位置时，要充分考虑市民广场的噪音对 新村居民的影响，经论证发现每个新村的噪音能量与离噪音点的距离 x 成反比，由于两个新村 的绿化等原因的差异，新村 A，B 的反比例系数分别为 k 和 1－k(0 3 2 ，……8 分 又 1 2 1 22 2 8 6,2 1 2 1 kx x x xk k     ， 所以 2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 ( ) 2 10 3)322 23(2 1) 3(2 1) x x x x x x kk x x x x x x k k           （ ， 令 2 2 2 10 3) 3(2 1) k k    （ ，则 2 3 6 20 6k     ， ………10 分 由 k2> 3 2 ，得 102 3  ，即 1 102 3    ， 8 解之得 1 33   且λ≠1，即 PA PB 的取值范围为    1 ,1 1,33  ．………12 分