2020-2021学年吉林省高二上学期第二学程考试数学（文）试题 Word版

- 1 - 2020-2021 学年高二上学期第二学程考试 数学（文） 答题时间：90 分钟 满分：150 分 一、单选题(每小题 5 分) 1．命题“  0,x   ， 2 2 1xx   ”的否定是（ ）． A．  0 0,x   ， 02 0 2 1xx   B．  0 0,x   ， 02 0 2 1xx   C．  0,x   ， 2 2 1xx   D． 2 2 1xx   2．把 52 化为二进制数为（ ） A．  2110100 B．  2101010 C．  2110010 D．  2100110 3．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，在研究比率方面的应用十分丰富，其 中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来 1534 石，验其米内杂谷，随机取米一把， 数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约( ) A．134 石 B．169 石 C．268 石 D．338 石 4．用辗转相除法求 108 和 45 的最大公约数为（ ） A．2 B．9 C．18 D．27 5．命题“ 1a  ”是命题“直线 1 0x ay   和直线 2 0ax y   平行”的（ ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．对同一目标进行两次射击，第一、二次射击命中目标的概率分别为 0.5和 0.7 ，则两次射 击中至少有一次命中目标的概率是（ ） A． 0.35 B． 0.42 C． 0.85 D． 0.15 7．无论 m 为何实数值，直线 1 ( 2)y m x   总过一个定点，该定点坐标为（ ）． A． (1, 2) B． ( 1,2) C． ( 2, 1)  D． (2, 1) 8．若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中，其中 2 4AB BC  ，则 质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是（ ） - 2 - A． 2  B． 4  C． 6  D． 8  9．为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据： 天数 x （天） 3 4 5 6 繁殖个数 y （千个） 2.5 3 4 4.5 由最小二乘法得 y 与 x 的线性回归方程为 ˆ ˆ0.7y x a  ，则当 7x  时，繁殖个数 y 的预测值 为（ ） A．4.9 B．5.25 C．5.95 D．6.15 10．圆 2 2( 1) ( 2) 1x y    关于直线 2 0x y   对称的圆的方程为（ ） A． 2 2( 4) ( 1) 1x y    B． 2 2( 4) ( 1) 1x y    C． 2 2( 2) ( 4) 1x y    D． 2 2( 2) ( 1) 1x y    11．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影 响巨大的著作．卷八中第 33 问：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？” 如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数 S 为（ ） A．28 B．56 C．84 D．120 12．点  0,1M 与圆 2 2 2 0x y x   上的动点 P 之间的最近距离为（ ）. A． 2 B．2 C． 2 1 D． 2 1 二、填空题(每小题 5 分) 13．某单位有职工 160 人，其中有业务人员 120 人，管理人员 16 人，后勤人员 24 人.为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为 20 的样本. 用分层抽样的 方法抽取的业务人员的人数是________. 14．用秦九韶算法计算函数 4 3( ) 2 3 5 4f x x x x    ，当 2x  时的函数值是________. 15．圆心在 x 轴上，且与直线 1 :l y x 和 2 : 2l y x  都相切的圆的方程为______. 16．当圆 2 2: 4 6 3 0C x y x y     的圆心到直线 : 1 0l mx y m    的距离最大时， m  __________． 三、解答题(每题 13 分) - 3 - 17．袋中有 7 个球，其中 4 个白球，3 个红球，从袋中任意取出 2 个球，求下列事件的概率： (1) :A 取出的 2 个球都是白球； (2) :B 取出的 2 个球中 1 个是白球，另 1 个是红球． 18．某中学要从高一年级甲乙两个班级中选择一个班参加电视台组织 的“环保知识竞赛”，该校对甲乙两班的参赛选手（每班 7 人）进行 了一次环保知识测试，他们取得的成绩（满分 100 分）的茎叶图如图 所示，其中甲班学生的平均分是 85，乙班学生成绩的中位数是 85. （1）求 x ， y 的值； （2）根据茎叶图，求甲乙两班同学方差的大小，并从统计学角度分析，该校应选择甲班还是 乙班参赛. 19．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企 业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障 抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我 国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不 定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随 机抽取了 100 个，将其质量指标值分成以下六组：  40,50 ， 50,60 ， 60,70 ，…， 90,100 ，得到如下频率分布直方图. （1）求出直方图中 m 的值； （2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同 一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到 0.01）； 20．已知直线 1 : 1 0l ax y a    与 2 2 (: 1) 3 0l x a y    . （1）当 0a  时，求直线 1l 与 2l 的交点坐标； （2）若 1l // 2l ，求 a 的值. 21．已知直线 : 1 0l x y   与圆 2 2: 4 3 0C x y x    相交于 ,A B 两点． （1）求| |AB ； （2）若 ( , )P x y 为圆C 上的动点，求 y x 的取值范围. 拓展题（5 分） - 4 - 20．已知直线 l ： 2 3 0ax y a    与圆C ：   2 21 2 4x y    相交于 P ，Q 两点，则 PQ 的最小值为______. 参考答案 1．A 解：命题的否定为：  0 0,x   ， 02 0 2 1xx   ． 2．A 解：“除 k 取余法”    10 252 110100 ， 3．B 解：设这批米内夹谷约为 x 石，根据随机抽样事件的概率得 28 1534 254 x  ， 得 x≈169. 4．B 解：108 45 2 18   ， 45 18 2 9   ，18 9 2  ， 108 和 45 的最大公约数为 9． 5．A 解：直线 1 0x ay   和直线 2 0ax y   平行，则 2 1a  ，解得 1a   ， 所以 1a  是 1a   的充分不必要条件. 6．C 解：由题意两次射击相互独立，可运用对立事件的概率公式求解：因命中目标的概 率分别是0.5和 0.7 ，则两次都不命中的概率分别是0.5和 0.3，故两次射击中至少有 一次命中的概率是1 0.5 0.3 0.85   。 7．C 解： 1 ( 2)y m x   ，当 01,02  yx ，故直线总过定点 ( 2, 1)  ． 8．B 解：由题意可知，矩形 ABCD 的面积为 4 2 8S AB BC     ，以线段 AB 为直径的半圆 的面积为 2 21 1 2 22 2 2 ABS            ，因此，所求概率为 2 8 4 SP S     . 9．B - 5 - 解：由题意，根据表格中的数据，可得 3 4 5 6 9 2.5 3 4 4.5 7,4 2 4 2x y         ， 即样本中心为 9 7( , )2 2 ，代入回归直线方程 ˆ ˆ0.7y x a  ，即 7 9 ˆ0.72 2 a   ， 解得 ˆ 0.35a  ，即回归直线的方程为 ˆ 0.7 0.35y x  ， 当 7x  时， ˆ 0.7 7 0.35 5.25y     ． 10．A 解：由题意得，圆心坐标为( )1,2 ，设圆心( )1,2 关于直线 2 0x y   的对称点为 ( , )P x y ， 则 2 1 11{ 1 2 2 02 2 y x x y         ，解得 4, 1x y   ，所以对称圆方程为 2 2( 4) ( 1) 1x y    ． 11．C 解：程序的运行，可得： 0, 0, 0i n S   执行循环体， 1, 1, 1i n S   ； 不满足判断条件 7i  ，执行循环体， 2, 3, 4i n S   ； 不满足判断条件 7i  ，执行循环体， 3, 6, 10i n S   ； 不满足判断条件 7i  ，执行循环体， 4, 10, 20i n S   ； 不满足判断条件 7i  ，执行循环体， 5, 15, 35i n S   ； 不满足判断条件 7i  ，执行循环体， 6, 21, 56i n S   ； 不满足判断条件 7i  ，执行循环体， 7, 28, 84i n S   ； 满足判断条件 7i  ，退出循环，输出 S 的值为84 . 12．D 解：将圆 2 2 2 0x y x   化为标准方程得 2 21 1x y   ，可知圆心为  1,0 ，半径为 1， 则点 M 到圆心的距离为    2 20 1 1 0 2    ，所以点 M 与圆上的动点 P 之间的最近距 离为 2 1 . 13．15 解：分层抽样应按各层所占的比例从总体中抽取，120:16: 24 15: 2:3 ， - 6 - 所以抽取的业务人员的人数是 1520 1520   ， 14．62 解： 0 2 v ， 1 2 2 3 7   v ， 2 7 2 0 14   v ， 3 14 2 5 33   v ， 4 33 2 4 62   v 15． 2 2 11 2x y   解:设所求圆的方程为   2 2 2 0x a y r r    ，因为圆   2 2 2 0x a y r r    与直线 1 :l y x 和 2 : 2l y x  都相切，则 2 1 1 1 1 a a r     ，解得 1a  ， 2 2r = ，所以圆的方 程为 2 2 11 2x y   . 16． 3 4  解：∵圆C 的标准方程为 2 2( 2) ( 3) 16x y    ，其圆心 (2, 3)C  ∵直线 l 的方程为 1 0mx y m    ∴直线 l 过定点 ( 1,1)A  ∴圆心到直线 : 1 0l mx y m    的距离最大为圆心 C 与点 ( 1,1)A  之间的距离 ∴ 1l ACk k   ，即 3 1 12 ( 1)m       ∴ 3 4m   17．（1） 2 7 ；（2） 4 7 . 解:设 4 个白球的编号为 1,2,3,4,3 个红球的编号为 5,6，7，从袋中的 7 个小球中任取 2 个的 方法为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7) ，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7) ， (3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7) ，(4,5)，(4,6)，(4,7) ，(5,6)， (5,7) ，(6,7) ，共 21 种． (1)从袋中的 7 个球中任取 2 个，所取的 2 个球全是白球的方法总数，即是从 4 个白球中任取 2 个的方法总数，共有 6 种，即为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．∴取出的 2 个球全是白球的概率为   6 2 21 7P A   (2)从袋中的 7 个球中任取 2 个，其中 1 个为红球，而另 1 个为白球，其取法包括(1,5)，(1,6)， (1,7) ，(2,5)，(2,6)，(2,7) ，(3,5)，(3,6)，(3,7) ，(4,5)，(4,6) ，(4,7) ，共 12 - 7 - 种．∴取出的 2 个球中 1 个是白球，另 1 个是红球的概率为   12 4 21 7P B   . 18．（1） 9x  ， 5y  ；（2）乙班成绩比较稳定，故应选乙班参加． 解：（1）甲班的平均分为： 1 (75 78 80 80 85 92 96) 857 x        ；解得 9x  ， 乙班 7 名学生成绩的中位数是 85， 5y  ， （2）乙班平均分为： 1 (75 80 80 85 90 90 95) 857        ； 甲班 7 名学生成绩方差 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 360(10 7 5 4 0 7 11 )7 7S         ， 乙班名学生成绩的方差 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 300(10 5 5 0 5 5 10 )7 7S         ，两个班平均分相同， 2 2 2 1S S ，乙班成绩比较稳定，故应选乙班参加． 19．（1） 0.030m  （2）平均数为 71，中位数为 73.33（3） 3 5 解:（1）由  10 0.010 0.015 0.015 0.025 0.05 1m       ，得 0.030m  . （2）平均数为 45 0.1 55 0.15 65 0.15 75 0.3 85 0.25 95 0.05 71x              ， 设中位数为 n ，则  0.1 0.15 0.15 70 0.03 0.5n      ，得 220 73.333n   . 故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为 71，中位数为 73.33. 20．（1） ( 2, 1)  ；（2） 1 . 解:（1）当 0a  时，直线 1 : 1 0l y   与 2 : 2 3 0l x y   ，联立 1 0 2 3 0 y x y       ，解得 2 1 x y      ，故直线 1l 与 2l 的交点坐标为 ( 2, 1)  . （2）因为 ( 1) 2 0 3 ( 1)( 1) 0 a a a a         ，即 2 ( 2)( 1) 0 4 0 a a a       解得 1a   . 21． （1） 2 ；（2） 3 3,3 3      解:（1）  22 2 24 3 0 2 1x y x x y        ，圆心为 2,0 ，半径 1r  ，则 圆心到直线 : 1 0l x y   的距离： 2 0 1 2 22 d    ， - 8 - 所以 2 2 1| | 2 2 1 22AB r d     . （2） y x 表示圆上的点  ,x y 与原点构成直线的斜率，如图：当直线与圆相切时取得最值， 2 22 1 3OP    ，则 1 3tan 33 COP   ，由图可知：所以 y x 的取值范围为 3 3,3 3      . 22． 2 2 解：因为 2 3 0ax y a    ，所以   2 3 0x a y    ，令 2 0 3 0 x y      ，所以 2 3 x y    ，故 直线恒过定点  2,3M ，又因为   2 22 1 3 2 2 4     ，故点  2,3M 在圆内， 当 PQ MC 时， PQ 取得最小，因为    2 22 1 3 2 2MC      所以 22 min 2 2 4 2 2 2PQ r MC     - 9 - 2020-2021 学年上学期第二学程考试 高二数学（文）参考答案 1．A 解：命题的否定为：  0 0,x   ， 02 0 2 1xx   ． 2．A 解：“除 k 取余法”    10 252 110100 ， 3．B 解：设这批米内夹谷约为 x 石，根据随机抽样事件的概率得 28 1534 254 x  ， 得 x≈169. 4．B 解：108 45 2 18   ， 45 18 2 9   ，18 9 2  ， 108 和 45 的最大公约数为 9． 5．A 解：直线 1 0x ay   和直线 2 0ax y   平行，则 2 1a  ，解得 1a   ， 所以 1a  是 1a   的充分不必要条件. 6．C 解：由题意两次射击相互独立，可运用对立事件的概率公式求解：因命中目标的概 率分别是0.5和 0.7 ，则两次都不命中的概率分别是0.5和 0.3，故两次射击中至少有 一次命中的概率是1 0.5 0.3 0.85   。 - 10 - 7．C 解： 1 ( 2)y m x   ，当 01,02  yx ，故直线总过定点 ( 2, 1)  ． 8．B 解：由题意可知，矩形 ABCD 的面积为 4 2 8S AB BC     ，以线段 AB 为直径的半圆 的面积为 2 21 1 2 22 2 2 ABS            ，因此，所求概率为 2 8 4 SP S     . 9．B 解：由题意，根据表格中的数据，可得 3 4 5 6 9 2.5 3 4 4.5 7,4 2 4 2x y         ， 即样本中心为 9 7( , )2 2 ，代入回归直线方程 ˆ ˆ0.7y x a  ，即 7 9 ˆ0.72 2 a   ， 解得 ˆ 0.35a  ，即回归直线的方程为 ˆ 0.7 0.35y x  ， 当 7x  时， ˆ 0.7 7 0.35 5.25y     ． 10．A 解：由题意得，圆心坐标为( )1,2 ，设圆心( )1,2 关于直线 2 0x y   的对称点为 ( , )P x y ， 则 2 1 11{ 1 2 2 02 2 y x x y         ，解得 4, 1x y   ，所以对称圆方程为 2 2( 4) ( 1) 1x y    ． 11．C 解：程序的运行，可得： 0, 0, 0i n S   执行循环体， 1, 1, 1i n S   ；不满足判断条件 7i  ，执行循环体， 2, 3, 4i n S   ；不满足判断条件 7i  ，执行循环体， 3, 6, 10i n S   ； 不满足判断条件 7i  ，执行循环体， 4, 10, 20i n S   ；不满足判断条件 7i  ，执行循环 体， 5, 15, 35i n S   ；不满足判断条件 7i  ，执行循环体， 6, 21, 56i n S   ； 不满足判断条件 7i  ，执行循环体， 7, 28, 84i n S   ；满足判断条件 7i  ，退出循环， 输出 S 的值为84 . 12．D - 11 - 解：将圆 2 2 2 0x y x   化为标准方程得 2 21 1x y   ，可知圆心为  1,0 ，半径为 1， 则点 M 到圆心的距离为    2 20 1 1 0 2    ，所以点 M 与圆上的动点 P 之间的最近距 离为 2 1 . 13．15 解：分层抽样应按各层所占的比例从总体中抽取，120:16: 24 15: 2:3 ，所以抽取的业务 人员的人数是 1520 1520   ， 14．62 解： 0 2 v ， 1 2 2 3 7   v ， 2 7 2 0 14   v ， 3 14 2 5 33   v ， 4 33 2 4 62   v 15． 2 2 11 2x y   解:设所求圆的方程为   2 2 2 0x a y r r    ，因为圆   2 2 2 0x a y r r    与直线 1 :l y x 和 2 : 2l y x  都相切，则 2 1 1 1 1 a a r     ，解得 1a  ， 2 2r = ，所以圆的方 程为 2 2 11 2x y   . 16． 3 4  解：∵圆C 的标准方程为 2 2( 2) ( 3) 16x y    ，其圆心 (2, 3)C  ∵直线 l 的方程为 1 0mx y m    ∴直线 l 过定点 ( 1,1)A  ∴圆心到直线 : 1 0l mx y m    的距离最大为 圆心C 与点 ( 1,1)A  之间的距离∴ 1l ACk k   ，即 3 1 12 ( 1)m       ∴ 3 4m   17．（1） 2 7 ；（2） 4 7 . 解:设 4 个白球的编号为 1,2,3,4,3 个红球的编号为 5,6，7，从袋中的 7 个小球中任取 2 个的 方法为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7) ，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7) ， (3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7) ，(4,5)，(4,6)，(4,7) ，(5,6)， (5,7) ，(6,7) ，共 21 种． (1)从袋中的 7 个球中任取 2 个，所取的 2 个球全是白球的方法总数，即是从 4 个白球中任取 - 12 - 2 个的方法总数，共有 6 种，即为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．∴取出的 2 个球全是白球的概率为   6 2 21 7P A   (2)从袋中的 7 个球中任取 2 个，其中 1 个为红球，而另 1 个为白球，其取法包括(1,5)，(1,6)， (1,7) ，(2,5)，(2,6)，(2,7) ，(3,5)，(3,6)，(3,7) ，(4,5)，(4,6) ，(4,7) ，共 12 种．∴取出的 2 个球中 1 个是白球，另 1 个是红球的概率为   12 4 21 7P B   . 18．（1） 9x  ， 5y  ；（2）乙班成绩比较稳定，故应选乙班参加． 解：（1）甲班的平均分为： 1 (75 78 80 80 85 92 96) 857 x        ；解得 9x  ，乙班 7 名 学生成绩的中位数是 85， 5y  ， （2）乙班平均分为： 1 (75 80 80 85 90 90 95) 857        ； 甲班 7 名学生成绩方差 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 360(10 7 5 4 0 7 11 )7 7S         ， 乙班名学生成绩的方差 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 300(10 5 5 0 5 5 10 )7 7S         ，两个班平均分相同， 2 2 2 1S S ，乙班成绩比较稳定，故应选乙班参加． 19．（1） 0.030m  （2）平均数为 71，中位数为 73.33（3） 3 5 解:（1）由  10 0.010 0.015 0.015 0.025 0.05 1m       ，得 0.030m  . （2）平均数为 45 0.1 55 0.15 65 0.15 75 0.3 85 0.25 95 0.05 71x              ， 设中位数为 n ，则  0.1 0.15 0.15 70 0.03 0.5n      ，得 220 73.333n   . 故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为 71，中位数为 73.33. 20．（1） ( 2, 1)  ；（2） 1 . 解:（1）当 0a  时，直线 1 : 1 0l y   与 2 : 2 3 0l x y   ，联立 1 0 2 3 0 y x y       ，解得 2 1 x y      ，故直线 1l 与 2l 的交点坐标为 ( 2, 1)  . （2）因为 ( 1) 2 0 3 ( 1)( 1) 0 a a a a         ，即 2 ( 2)( 1) 0 4 0 a a a       解得 1a   . - 13 - 21． （1） 2 ；（2） 3 3,3 3      解:（1）  22 2 24 3 0 2 1x y x x y        ，圆心为 2,0 ，半径 1r  ，则圆 心到直线 : 1 0l x y   的距离： 2 0 1 2 22 d    ，所以 2 2 1| | 2 2 1 22AB r d     . （2） y x 表示圆上的点  ,x y 与原点构成直线的斜率，如图：当直线与圆相切时取得最值， 2 22 1 3OP    ，则 1 3tan 33 COP   ，由图可知：所以 y x 的取值范围为 3 3,3 3      . 22． 2 2 解：因为 2 3 0ax y a    ，所以   2 3 0x a y    ，令 2 0 3 0 x y      ，所以 2 3 x y    ，故 直线恒过定点  2,3M ，又因为   2 22 1 3 2 2 4     ，故点  2,3M 在圆内， 当 PQ MC 时， PQ 取得最小，因为    2 22 1 3 2 2MC      所以 22 min 2 2 4 2 2 2PQ r MC    