2020-2021学年黑龙江省农垦建三江管理局第一高级中学高二上学期期中考试 数学（文） （解析版）

1 黑龙江省农垦建三江管理局第一高级中学 2020-2021 学年高二上学期期中考试 数学（文） 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 （1） 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2） 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、单项选择题（60 分，每题 5 分） 1．“ 1x  ”是“ 2 1x  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．抛物线 21 8y x 的准线方程为（ ） A． 1 32y   B． 2y   C． 2x   D． 1 32x   3．设   lnf x x x ，若   3f a  ，则 a =（ ） A． e B． ln 2 C． 2e D． ln 2 2 4．已知曲线 e lnxy a x x  在点  1,ae 处的切线方程为 2y x b  ，则（ ） A． , 1a e b   B． , 1a e b  C． 1, 1a e b  D． 1, 1a e b   5．已知 1F ， 2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是 C 上的一点，若 1 2PF PF ，且 2 1 60PF F   ，则 C 的离心率为（ ） A． 31 2  B． 2 3 C． 3 1 2  D． 3 1 6．命题 p ：若 a b ，则 2 2ac bc ；命题 q： 2, 1 0x R x x     ，则下列命题为真命题的是（ ） A． p q B． p q C． p q  D．  p q  7．命题：“若  2 2 0a b a b R  ， ，则 0a b  ”的逆否命题是（ ） A．若  0a b a b R  ， ，则 2 2 0a b  B．若  0a b a b R  ， ，则 2 2 0a b  C．若 0a  且  0b a b R ， ，则 2 2 0a b  D．若 0a  或  0b a b R ， ，则 2 2 0a b  8．已知命题 p ：  0 0,x   ，使得 0sin x a ，命题 q：对 1 ,32x       ， 1 1 ax   ，若 p q 为 真命题，则 a 的取值范围是（ ） A． 40, 3      B． 0,3 C． 41, 3      D． 1,3 9．已知函数  f x 的导数为  f x ，且    2 2 0 sinf x x f x x   ，则  0f   （ ） A． 2 B． 1 C．1 D． 2 10．设 A、B 分别为双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a>0，b>0）的左、右顶点，P 是双曲线上不同于 A、B 的 一点，直线 AP、BP 的斜率分别为 m、n，则当 4 1b a mn  取最小值时，双曲线的离心率为（ ） A． 6 B． 5 C． 6 2 D． 5 2 11．已知双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b     的左、右顶点分别为 A 、 B ，左焦点为 F ， P 为C 上一点，且 PF x 轴，过点 A 的直线l 与线段 PF 交于点 M （异于 P 、 F ），与 y 轴交于 点 N ，直线 MB 与 y 轴交于点 H ，若 3HN OH  （O 为坐标原点），则C 的离心率为（ ） A． 2 B．3 C． 4 D．5 12．抛物线 2 8y x 的焦点为 F ，设  1 1,A x y ，  2 2,B x y 是抛物线上的两个动点， 1 2 2 34 3x x AB   ，则 AFB 的最大值为（ ） 2 A． 3  B． 3 4  C． 5 6  D． 2 3  第Ⅱ卷（共 90 分） 二．填空题（20 分，每题 5 分） 13．命题“ x N ， 2 1x  ”的否定为______. 14．函数 3 1 xy x   在点 (1,2)A 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为______________. 15．已知点  1,2P 在抛物线 E ：  2 2 0y px p  上，过点  1,0M 的直线l 交抛物线 E 于 A ，B 两点，若 3AM MB  ，则直线l 的倾斜角的正弦值为______. 16．已知椭圆  ： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率为 2 2 ，三角形 ABC 的三个顶点都在椭圆  上， 设它的三条边 AB 、BC 、 AC 的中点分别为 D 、E 、F ，且三条边所在直线的斜率分别 1k 、 2k 、 3k ，且 1k 、 2k 、 3k 均不为 0 .O 为坐标原点，若直线 OD 、OE 、 OF 的斜率之和为1， 则 1 2 3 1 1 1 k k k    ______. 三．解答题（70 分，17 题 10 分，其余每题 12 分） 17．已知命题 p ：方程 2 2 16 7 x y m m    表示椭圆，命题 2: , 2 2 1 0q x R mx mx m      . （1）若命题 q为真，求实数 m 的取值范围； （2）若 p q 为真， p 为真，求实数 m 的取值范围. 18．已知函数 f(x)＝x－1＋ x a e (a∈R，e 为自然对数的底数)． （1）若曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于 x 轴，求 a 的值； （2）当 a＝1 时，若直线 l：y＝kx－1 与曲线 y＝f(x)相切，求 l 的直线方程． 19．已知椭圆 M ： 2 2 2 19 x y b   （ 0b  ）的一个焦点为 2,0 ，设椭圆 N 的焦点恰为椭圆 M 短 轴上的顶点，且椭圆 N 过点 2 , 32       ． （1）求 N 的方程； （2）若直线 2y x  与椭圆 N 交于 A ， B 两点，求 AB ． 20．已知抛物线  2: 2 0C y px p  上的点  5,M m 到焦点 F 的距离为 6. （1）求 ,p m 的值； （2）过点  2,1P 作直线l 交抛物线 C 于 ,A B 两点，且点 P 是线段 AB 的中点，求直线l 方程. 21．已知椭圆C ： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的长轴长是短轴长的 2 倍，且经过点  2,1 . （1）求C 的标准方程； （2）C 的右顶点为 A ，过C 右焦点的直线l 与C 交于不同的两点 M ， N ，求 AMN 面积的 最大值. 22．已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a b a b   过点  0, 1A ，且离心率为 3 2 ． （1）求椭圆C 的方程； （2）过 A 作斜率分别为 1 2, k k 的两条直线，分别交椭圆于点 , M N ，且 1 2 2k k  ， 证明：直线 MN 过定点． 3 1．“ 1x  ”是“ 2 1x  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义结合指数的运算进行判断即可. 【详解】  2xy  为增函数，  02 1=2 0x x   ，  1x  是 0x  的充分不必要条件， “ 1x  ”是“ 2 1x  ”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】 本题主要考查充分条件与必要条件的判定，属于基础题. 2．抛物线 21 8y x 的准线方程为（ ） A． 1 32y   B． 2y   C． 2x   D． 1 32x   【答案】B 【解析】 抛物线的标准方程为： 2 8x y ， 据此可得抛物线 21 8y x 的准线方程为 2y   . 本题选择 B 选项. 3．设   lnf x x x ，若   3f a  ，则 a =（ ） A． e B． ln 2 C． 2e D． ln 2 2 【答案】C 【解析】 【分析】 先计算  f x ，带入 a ，求出即可． 【详解】 对  f x 求导得   ln +1f x x  将 a 带入有   2ln +1 3f a a a e     ． 【点睛】 本题考查函数求导，属于简单题． 4．已知曲线 e lnxy a x x  在点 1,ae 处的切线方程为 2y x b  ，则（ ） A． , 1a e b   B． , 1a e b  C． 1, 1a e b  D． 1, 1a e b   【答案】D 【解析】 【分析】 通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得 a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ． 【详解】 详解： ln 1,xy ae x    1| 1 2xk y ae    ， 1a e  将 (1,1) 代入 2y x b  得 2 1, 1b b    ，故选 D． 【点睛】 本题关键得到含有 a，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 4 5．已知 1F ， 2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若 1 2PF PF ，且 2 1 60PF F   ，则 C 的离心率为 A． 31 2  B． 2 3 C． 3 1 2  D． 3 1 【答案】D 【解析】 分析：设 2| |PF m ，则根据平面几何知识可求 1 2 1,F F PF ，再结合椭圆定义可求离心率. 详解：在 1 2F PF 中， 1 2 2 190 , 60F PF PF F     设 2| |PF m ，则 1 2 12 2 , 3c F F m PF m   ， 又由椭圆定义可知 1 22 ( 3 1)a PF PF m    则离心率 2 2 3 12 ( 3 1) c c me a a m       ， 故选 D. 点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利 用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问 题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义. 6．命题 p ：若 a b ，则 2 2ac bc ；命题 q： 2, 1 0x R x x     ，则下列命题为真命题的是 （） A． p q B． p q C．  p q  D．  p q  【答案】D 【解析】 当 0c = 时， 2 2ac bc ，即命题 p 为假命题，因为 2 2 1 31 02 4x x x         恒成立，即命题 q 为假命题，则 p q 、 p q 、 p q  为假命题，  p q  为真命题；故选 D. 7．命题：“若  2 2 0a b a b R  ， ，则 0a b  ”的逆否命题是  A．若  0a b a b R  ， ，则 2 2 0a b  B．若  0a b a b R  ， ，则 2 2 0a b  C．若 0a  且  0b a b R ， ，则 2 2 0a b  D．若 0a  或  0b a b R ， ，则 2 2 0a b  【答案】D 【解析】 根据逆否命题的写法得到，逆否命题是将原命题的条件和结论互换位置，并且都进行否定，故得到 逆否命题是若  0, 0 ,a b a b R  或 ，则 2 2 0a b  . 故答案为 D． 8．已知命题 p ：  0 0,x   ，使得 0sin x a ，命题 q：对 1 ,32x       ， 1 1 ax   ，若 p q 为 真命题，则 a 的取值范围是（ ） A． 40, 3      B． 0,3 C． 41, 3      D． 1,3 【答案】A 【解析】 【分析】 根据 p q 为真命题，判断出 ,p q 均为真命题，分别求得 ,p q 为真命题时，各自的 a 的取值范围， 取这两个取值范围的交集求得 a 的取值范围. 【详解】 5 由于 p q 为真命题，所以 ,p q 均为真命题. 对于命题 p ，  0 0,x  时，  0sin 0,1x  ，所以 0a  . 对于命题 q，由于 1 ,32x      ，所以 1 1 1 4,2 , 1 ,33 3x x             ，所以 4 3a  . 所以 a 的取值范围是 40, 3      . 故选：A. 【点睛】 本小题主要考查根据含有逻辑连接词命题的真假性求参数的取值范围.考查存在性问题和恒成立问 题的求解策略，属于基础题. 9．已知函数  f x 的导数为  f x ，且    2 2 0 sinf x x f x x   ，则  0f   （ ） A． 2 B． 1 C．1 D． 2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，求出函数  y f x 的导数，令 0x  可得    0 2 0 1f f   ，变形即可得答案． 【详解】    2 2 0 sinf x x f x x   ，    2 2 0 cosf x x f x     ，    0 2 0 1f f    ，解得  0 1f    . 故选：B. 【点睛】 本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题． 10．设 A、B 分别为双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a>0，b>0）的左、右顶点，P 是双曲线上不同于 A、B 的一点，直线 AP、BP 的斜率分别为 m、n，则当 4 1b a mn  取最小值时，双曲线的离心率为（ ） A． 6 B． 5 C． 6 2 D． 5 2 【答案】D 【解析】 分析：先根据点的关系确定 mn，再根据基本不等式确定最小值，最后根据最小值取法确定双曲线 的离心率. 详解：设 1 1( , )P x y ，则 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 y y y bmn x a x a x a a       ， 因此 4 1b a mn  4 42 4,b a b a a b a b      当且仅当 2a b 时取等号，此时 2 2 5 5, ,2 2c a b a e     选 D. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 , ,a b c 的方程或不等 式，再根据 , ,a b c 的关系消掉b 得到 ,a c 的关系式，而建立关于 , ,a b c 的方程或不等式，要充分利 用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 11．已知双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b     的左、右顶点分别为 A 、 B ，左焦点为 F ， P 为C 上一点，且 PF x 轴，过点 A 的直线l 与线段 PF 交于点 M （异于 P 、F ），与 y 轴交于点 N ， 直线 MB 与 y 轴交于点 H ，若 3HN OH   （O 为坐标原点），则C 的离心率为（ ） A． 2 B．3 C． 4 D．5 【答案】B 6 【解析】 【分析】 设点 P 在第二象限，设 FM m ，点   0, 0H h h  ，利用 AFM AON△ △ 和 BOH BFM△ △ 可得出 1 2 c a c a   ，可得出 a 、 c 的等量关系，由此可计算得出双曲线C 的离 心率. 【详解】 不妨设 P 在第二象限， FM m ，   0, 0H h h  ，设点  0,N n ， 3HN OH    ，则    0, 3 0,n h h   ， 3n h h    ，可得 2n h  ，则点  0, 2N h ， 由 AFM AON△ △ ，得 2 m c a h a  ，①；由 BOH BFM△ △ ，得 h a m a c   ，②. ①②两式相乘得 1 2 c a c a   ，即 3c a ，离心率为 3ce a   . 故选：B. 【点睛】 本题考查双曲线离心率的求解，解题时要充分结合三角形相似三角形列等式求解，考查计算能力， 属于中等题. 12．抛物线 2 8y x 的焦点为 F ，设  1 1,A x y ，  2 2,B x y 是抛物线上的两个动点， 1 2 2 34 3x x AB   ，则 AFB 的最大值为（ ） A． 3  B． 3 4  C． 5 6  D． 2 3  【答案】D 【解析】 由抛物线定义得 1 22, 2,AF x BF x    所以由 1 2 2 34 3x x AB   得 2 3 3AF BF AB  , 因此 2 2 2 2 2 1 1 3| || | | | 4 4 2cos 2 2 AF BF AF BFAF BF AB AFB AF BF AF BF         1 32 14 2 2 2 AF BF AF BF AF BF        所以 2π0 3AFB   ，选 D. 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．2．若 0 0( , )P x y 为抛物线 2 2 ( 0)y px p  上一点，由定义易得 0| | 2 pPF x  ；若过焦点的弦 AB AB 的端点坐 标为 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则弦长为 1 2 1 2,AB x x p x x    可由根与系数的关系整体求出；若遇 到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 13．命题“ x N ， 2 1x  ”的否定为______. 7 【答案】 x N ， 2 1x  【解析】 【分析】 直接根据全称命题的否定为特称命题，即可得解. 【详解】 因为全称命题 :P x M  ，  P x ，它的否定 0:P x M   ，  0P x . 所以命题“ x N ， 2 1x  ”的否定为 x N ， 2 1x  . 故答案为： x N ， 2 1x  . 【点睛】 本题考查了全称命题否定，在否定过程中注意否定规则，易错点为 的否定为  ，本题为简单题. 14．函数 3 1 xy x   在点 (1,2)A 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为______________. 【答案】 25 4 【解析】 【分析】 利用导数求出切线的斜率得切线方程，再求得切线在坐标轴上的截距后可得面积． 【详解】 由 3 211 1 xy x x     22( 1)y x     ，在点 (1,2)A 处的切线的斜率为 1 2k   ∴切线方程为 12 ( 1)2y x- = - - ，即 2 5 0x y   ，在 x 轴上的截距为5， y 轴上的截距为 5 2 ， 切线与两坐标轴围成的三角形面积为 25 4 . 故答案为： 25 4 ． 【点睛】 本题考查导数的几何意义，解题关键是正确求出导数． 15．已知点  1,2P 在抛物线 E ：  2 2 0y px p  上，过点  1,0M 的直线l 交抛物线 E 于 A ，B 两点，若 3AM MB  ，则直线l 的倾斜角的正弦值为______. 【答案】 3 2 【解析】 【分析】 求出 2p  ，设过点  1,0M 的直线方程为 1x my  ，将直线与抛物线联立，利用韦达定理可得 1 2 4y y m  ， 1 2 4y y   ，根据向量可得 1 23y y  ，从而求出直线的倾斜角，即求. 【详解】 因为点在抛物线 E ：  2 2 0y px p  上， 所以 4 2 1p  ，得 2p  ，所以 2 4y x ， 设过点  1,0M 的直线方程为： 1x my  ， 所以 2 1 4 x my y x     ，所以 2 4 4 0y my   ， 设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ， 所以 1 2 4y y m  ， 1 2 4y y   ， 又因为 3AM MB  ，所以 1 23y y  ， 所以 3 3m   ，因为直线的斜率 tan 3k    ， 由  0,  ，所以 3   或 2 3  ，所以 3sin 2   . 8 故答案为： 3 2 【点睛】 本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了基本运算求解能力，属于中档题. 16．已知椭圆  ： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率为 2 2 ，三角形 ABC 的三个顶点都在椭圆  上， 设它的三条边 AB 、BC 、AC 的中点分别为 D 、E 、F ，且三条边所在直线的斜率分别 1k 、 2k 、 3k ，且 1k 、 2k 、 3k 均不为 0 .O 为坐标原点，若直线OD 、 OE 、 OF 的斜率之和为1，则 1 2 3 1 1 1 k k k    ______. 【答案】 2 【解析】 【分析】 求出椭圆方程，设出 , ,A B C 的坐标，利用椭圆中的结论： 2 2AB OD bk k a    ， 2 2BC OE bk k a    ， 2 2AC OF bk k a    ，结合直线 , ,OD OE OF 的斜率之和为1进行运算. 【详解】 因为椭圆的离心率为 2 2 ，所以 2 2 2 22 2 22 c c a a ba      ， 又 2 2AB OD bk k a    ， 2 2BC OE bk k a    ， 2 2AC OF bk k a    ， 所以 2 2 1 OD AB a kk b    ， 2 2 1 OE BC a kk b    ， 2 2 1 OF AC a kk b    ， 所以 2 2 1 2 3 (1 21 )1 OD OE OF a k k kbk k k       . 故答案为-2 【点睛】 解析几何小题若能灵活利用一些二级结论，能使问题的求解更简便，计算量更小，本题 2 2AB OD bk k a    等三个结论均可利用设而不求点差法证出. 17．已知命题 p ：方程 2 2 16 7 x y m m    表示椭圆，命题 2: , 2 2 1 0q x R mx mx m      . （1）若命题 q为真，求实数 m 的取值范围； （2）若 p q 为真， p 为真，求实数 m 的取值范围. 【答案】（1） 1m  （2） 16 2m m或   【解析】 【分析】 (1)由命题 q为真，可知 2, 2 2 1 0x R mx mx m      成立，讨论 0m  和 0m  ，即可得出结 果; (2)由 p q 为真， p 为真可知： p 为假， q为真，进而可求出结果. 【详解】 （1） 命题 q为真， 当 0m  时，  20 4 2 1 0 1m m m       ， 0 1m   ； 当 0m  时，不等式恒成立. 综上知， 1m  . （2）若 p 为真，则 6 0 7 0 6 7 6 7 m m m m m              且 1 2m  9 若 p q 为真， p 为真， p 为假， q为真. 1 16 72 m m m m      或 或 16 2m m   或 . 【点睛】 本题主要考查复合命题的真假，其中常涉及一元二次不等式成立或恒成立的问题，需要结合题意认 真分析，避免失误即可，属于基础题型. 18．已知函数 f(x)＝x－1＋ x a e (a∈R，e 为自然对数的底数)． (1)若曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于 x 轴，求 a 的值； (2)当 a＝1 时，若直线 l：y＝kx－1 与曲线 y＝f(x)相切，求 l 的直线方程． 【答案】（1）e（2）（y＝(1－e)x－1. 【解析】 【分析】 （1）依题意，f′（1）=0，从而可求得 a 的值； （2）设切点为（x0，y0），求出函数的切线方程，求出 k 即可得到结论． 【详解】 解 (1)f′(x)＝1－ ，因为曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于 x 轴，所以 f′(1)＝1－ ＝0，解 得 a＝e. (2)当 a＝1 时，f(x)＝x－1＋ ，f′(x)＝1－ . 设切点为(x0，y0)， ∵f(x0)＝x0－1＋ ＝kx0－1，① f′(x0)＝1－ ＝k，② ①＋②得 x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0. 若 k＝1，则②式无解，∴x0＝－1，k＝1－e. ∴l 的直线方程为 y＝(1－e)x－1. 【点睛】 本题考查利用导数的几何意义的应用，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，要求熟练掌握导数 的应用． 19．已知椭圆 M ： 2 2 2 19 x y b   （ 0b  ）的一个焦点为 2,0 ，设椭圆 N 的焦点恰为椭圆 M 短 轴上的顶点，且椭圆 N 过点 2 , 32       ． （1）求 N 的方程； （2）若直线 2y x  与椭圆 N 交于 A ， B 两点，求 AB ． 【答案】（1） 2 2 16 yx   ；（2） 12 7 . 【解析】 【分析】 （1）根据椭圆 M 的方程求出 2 5b  ，得到椭圆 N 的焦点，再由椭圆 N 过点 2 , 32       ，根据椭 圆定义求出椭圆 N 的长轴长，得出短轴长， 从而可求出椭圆 N 的方程； （2）设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，结合弦长公式，即可得出 结果. 【详解】 （1）由椭圆 M ： 2 2 2 19 x y b   （ 0b  ）的一个焦点为 2,0 ，得 2c  ，且 2 2 2 9 4 5b a c     ， ∴椭圆 N 的焦点为  0, 5 ， 0, 5 ．又椭圆 N 过点 2 , 32       ， 10 ∴椭圆 N 的长轴长为     2 2 2 22 20 3 5 0 3 5 2 62 2                     ． ∴椭圆 N 的半长轴长为 6 ，半焦距为 5 ，则短半轴长为1． ∴ N 的方程为 2 2 16 yx   ； （2）设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ， 联立 2 2 2 16 y x yx     消去 y ，整理得 27 4 2 0x x   ， 则 1 2 4 7x x  ， 1 2 2 7x x   ， ∴   2 2 1 2 1 2 4 2 122 4 2 47 7 7AB x x x x                  . 【点睛】 本题主要考查求椭圆的标准方程，考查求椭圆的弦长，属于常考题型. 20．已知抛物线  2: 2 0C y px p  上的点  5,M m 到焦点 F 的距离为 6. （1）求 ,p m 的值； （2）过点  2,1P 作直线l 交抛物线C 于 ,A B 两点，且点 P 是线段 AB 的中点，求直线l 方程. 【答案】（1） 2p  ， 2 5m   ；（2） 2 3 0x y   . 【解析】 【分析】 （1）利用抛物线焦半径公式可求得 p ，将  5,M m 代入抛物线方程可求得 m ； （2）利用点差法可求得直线l 斜率，由点斜式可求得直线 l 的方程. 【详解】 （1）由抛物线焦半径公式知： 5 62 pMF    ，解得： 2p  ， 2: 4C y x  ， 2 5 4 20m    ，解得： 2 5m   . （2）设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ， 则 2 1 1 2 2 2 4 4 y x y x     ，两式作差得：    1 2 1 2 1 24y y y y x x    ， 1 2 1 2 1 2 4 l y yk x x y y     ，  2,1P 为 AB 的中点， 1 2 2y y   ， 2lk  ， 直线l 的方程为：  1 2 2y x   ，即 2 3 0x y   . 【点睛】 本题考查抛物线焦半径公式的应用、点差法求解中点弦方程的问题；关键是熟练掌握点差法. 21．已知椭圆C ： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的长轴长是短轴长的 2 倍，且经过点  2,1 . （1）求 C 的标准方程； （2）C 的右顶点为 A ，过C 右焦点的直线l 与C 交于不同的两点 M ， N ，求 AMN 面积的最 大值. 【答案】（1） 2 2 14 2 x y  ；（2） 2 2 ． 【解析】 【分析】 （1）利用已知条件，结合椭圆方程求出 ,a b ，即可得到椭圆方程． （2）设出直线方程，联立椭圆与直线方程，利用韦达定理，弦长公式，列出三角形的面积，再利 用基本不等式转化求解即可． 11 【详解】 （1）解：由题意 2 2 2 , 2 1 1, a b a b     解得 2a  ， 2b  ， 所以椭圆的标准方程为 2 2 14 2 x y  ． （2）点 (2,0)A ，右焦点  2,0F ，由题意知直线l 的斜率不为 0， 故设 l 的方程为 2x my  ，  1 1,M x y ，  2 2,N x y ， 联立方程得 2 2 14 2 2 x y x my       ， ， 消去 x ，整理得 2 2( 2) 2 2 2 0m y my    ， ∴ 216( 1) 0m    ， 1 2 2 2 2 2 my y m     ， 1 2 2 2 2y y m    ，       2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 24 2 8 1m my y y y y y m m m              16（ 2 1 2 2 4 1 2 my y m       1 2 1 2 22AMNS y y        2 2 12 2 2 2 m m       2 2 12 2 2 2 211 1 m m       „ ， 当且仅当 0m  时等号成立，此时 l ： 2x  ， 所以 AMN 面积的最大值为 2 2 ． 【点睛】 本题考查椭圆的性质和方程的求法，考查联立直线方程和椭圆方程消去未知数，运用韦达定理化简 整理和运算能力，属于中档题． 22．已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a b a b   过点  0, 1A ，且离心率为 3 2 ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）过 A 作斜率分别为 1 2, k k 的两条直线，分别交椭圆于点 , M N ，且 1 2 2k k  ，证明：直线 MN 过定点． 【答案】（1） 2 2 14 x y  ；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)把  0,1A 代入   2 2 2 2: 1 0x yC a b a b   中，求出 1b  ，再根据离心率为 3 2 和 2 22a cb  可 解. (2) 直线 MN 斜率不存在时，容易求出 MN 方程；当直线 MN 斜率存在时，设直线方程为 y kx b  ，联立直线方程和椭圆方程，表示出两根之和与两根之积，利用 1 2 2k k  ，找到 1k b  ，代入到原直线方程中，利用分离参数法，可求定点. 【详解】 解:（1）由题意，椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a b a b   过点  0,1A ，即 2 1 1b  ，解得 1b  ， 12 由离心率为 3 2 c a  ，又由 2 22a cb  ，解得 2a  ，所求椭圆方程为： 2 2 14 x y  . （2）当直线 MN 斜率不存在时，设直线方程为 x t ，则    , , ,M t s N t s ， 则 1 2 1 1,s sk kt t     ，所以 1 2 1 1 2 2s sk k t t t         ，解得 1t   ， 直线 MN 方程为 1x   当直线 MN 斜率存在时，设直线方程为 y kx b  ， 联立方程组 2 24 4x y y kx b       ，得 2 2 2(4 1) 8 4 4 0k x kbx b     ， 设 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y ，则 2 1 2 1 22 2 8 4 4,4 1 4 1 kb bx x x xk k       （*）， 则    1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 ( 1)1 1 y x x y x x kx x b x xy yk k x x x x x x            ， 将*式代入化简可得： 2 8 8 24 4 kb k b   ，即  1 1 0k b b    ， 1b  时， M 或 N 与 A 重合，不符合题意，所以 1k b  ， 代入直线 MN 方程，得    1 1y b x b b x x      ， 即  1 0b x x y    ，联立方程组 1 0x y x     ，解得 1, 1x y    ，恒过定点 1, 1  显然 1x   也通过 1, 1  . 所以直线 MN 过定点 1, 1  ． 【点睛】 考查求椭圆的标准方程以及直线过定点问题，难题.