2020-2021学年海南省海口市第四中学高二上学期期中考试数学试题 Word版

- 1 - 海口市第四中学 2020-2021 学年高二上学期期中考 试数学试题 考试时间：120 分钟，满分：150 分 命题人：许乔 初审人：杨红俊 终审人：韩敏 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。） 1、已知集合   ， ， ， ， ， h ，  ሼ ሼ h ，则 BA 中元素的个数为 （ ） A. 2 B.3 C. 4 D. 5 2、若   iiz  11 ，则 z （ ） A. i1 B. i1 C. i D. i 3、过点  31， 且垂直于 032  yx 的直线方程为（ ） A. 012  yx B. 072  yx C. 052  yx D. 052  yx 4、若不等式 022  bxax 的解集为        4 12 xx ，则 ba  等于（ ） A. 18 B. 8 C. 13 D. 1 5、直线 032  kyx 和 012  kyx 的交点在 y 轴上，则 k 的值为（ ） A. 24 B. 6 C. 6 D. 6 6、已知曲线 xyC sin1 ： ，曲线       32sin2 xyC ： ，则下列结论正确的是（ ） A. 把曲线 1C 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 3  个 单位长度，得到曲线 2C B. 把曲线 1C 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6  个 单位长度，得到曲线 2C C. 把曲线 1C 上各点的横坐标缩短到原来的 2 1 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 3  个 单位长度，得到曲线 2C D. 把曲线 1C 上各点的横坐标缩短到原来的 2 1 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6  个 单位长度，得到曲线 2C - 2 - 7、若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线 034  yx 和 x 轴都相切，则该圆的标准 方程是（ ） A.     113 22  yx B.     112 22  yx C.     112 22  yx D.     112 22  yx 8、如图，在正方体 1111 DCBAABCD 中，点 FE, 分别是棱 11DC , 11DA 上的动点．给出下面 四个命题： ①若直线 AF 与直线CE 共面，则直线 AF 与直线CE 相交； ②若直线 AF 与直线CE 相交，则交点一定在直线 1DD 上； ③若直线 AF 与直线CE 相交，则直线 1DD 与平面 ACE 所成角的 正切值最大为 2 2 ；④直线 AF 与直线CE 所成角的最大值是 3  ． 其中，所有正确命题的序号是（ ） A. ①④ B. ②④ C. ①②④ D.②③④ 二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。） 9、已知 nm， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ） A. 若  nm ，// ，则 nm// ； B.若  //nm ， ，则 nm  ； C. 若  //，，  nm ，则 nm// ； D.若   ，，nnm ，则 m ； 10、下面关于       32sin2)( xxf 叙述中正确的是（ ） A. 关于点      06 ， 对称 B. 关于直线 6 x 对称 C. 在区间     30 ， 上单调递增 D.函数 )(xf 的零点为  Zkk   6 11、已知 0ab ，O 为坐标原点，点  baP ， 是圆 222 ryx  外一点，过点 P 作直线 OPl  ， 直线 m 的方程是 2rbyax  ，则下列结论正确的是     A. lm// B. lm  C. m 与圆相离 D. m 与圆相交 12、已知 00  ba ， ，且 1ba ，则（ ） - 3 - A. 2 122  ba B. 2 12 ba C. 2loglog 22  ba D. 2 ba 三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。） 13、设向量    32111  mmba ，，， ，若 ba // ，则 m ________. 14、已知 2cos2sin cossin     ，则 2tan 的值为________. 15、如图，在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心， 圆锥的底面是圆柱的另一个底面.若圆柱的母线长为 6，底面半径为 2，则 该组合体的表面积等于________. 16、设  21，A ，  13，B ，若直线 2 kxy 与线段 AB 有公共点，则实数 k 的 取值范围是________. 四、解答题（本题共 6 题，共 70 分） 17、如图，在三棱锥 ABCS  中， ED， 分别为 BCAB， 的中点， 点 F 在 AC 上，且 SD 底面 ABC （1）求证： //DE 平面 SAC ； （2）若 ACSF  ，求证：平面 SFD 平面 SAC 18、在 ABC 中，内角 CBA 、、 所对的边分别为 cba ，， ， 3a ，且 BaAb sin2sin  （1）求 A ； （2）若 5 3sin B ，求 c ； 19、已知函数   2 1cossin3cos)(  xxxxf （1）求 )(xf 的最小正周期及其对称轴； （2）当     20 ，x 时，不等式 2)(  cxfc 恒成立，求实数 c 的取值范围． 20、已知圆     411 22  yxC： ，若直线  043  bbyx 与圆C 相切.求： （1）实数b 的值； （2）过  b，0 的直线l 与圆C 交于 QP， 两点，如果 4PQ ，求直线l 的方程. - 4 - 21、2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政 府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工 复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在 2020 年举行某产 品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用 m 万 元 0m 满足 14  m kx （ k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是 2 万件.已知生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产一万件该产品需要再投入 16 万元，厂家 将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍（此处每件产品年平均成本按 x x168 元来计算） （1）将 2020 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数； （2）该厂家 2020 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 22、如图：在三棱锥 ABCP  中，平面 PAC 平面 ABC ， 90BAC ， 30ACP ，且 12AC ， 6 APAB （1）若点 D 为 BP 上的一动点，求证： ADPC  ； （2）若 EPCE 2 ，求二面角 CEBA  的平面角的余弦 值． 海口四中 2020-2021 学年第一学期期中考试高二 数学试题答案 一、单选题和多选题（多选题答案少选得 3 分，错选或多选不得分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D A C C D B D BC ACD AD ABD 三、填空题 13 题： 3 2 14 题： 12 5 15 题： (4 0 + 8) π 16 题： ( − ∞ , − ] ∪ [4, + ∞ )四、解答题 17. （1）解：在三角形 ABC 中，由中位线定理知：DE//AC，又 DE 面 SAC，AC 面 SAC 所以 DE//平面 SAC; （2）解：由 SD⊥平面 ABC，知 SD⊥AC，又 SF⊥AC，SD 与 SF 交于点 S， 所以，AC⊥平面 SFD，所以，平面 SAC⊥平面 SFD 18.（1）解： sin  sin由正弦定理可知： sinsincos  sinsin 0ሼ + ݕ 得  0 ，即 ݕ 得  0ሼ 所以直线 l 的方程为 ， 0  0 得()  所以 l 的斜率为 所以直线 l 过圆心， ， ᦙ䁪4 （2）解：因为圆的半径为 2，弦  得 ，解得  +4 4 所以 与圆 C 相切， ሼ + 4ݕ  ( ʹ 0) 因为直线 ，半径为 2 (, ) 的圆心为  4 + (ݕ + ) (ሼ ) 20. （1）解：圆 C：   ，解得  + ʹ  则 恒成立， (ሼ) + 由不等式 ，  (ሼ)  ，所以  ) sin(ሼ  所以 ， ሼ 时，则 ] ሼ [0, （2）解：当 ,( ) +  ሼ 对称轴为  的最小正周期为 (ሼ) 所以 ， ,( ) +  ሼ ，解得 + ,( )  ሼ 由 ，    的最小正周期 (ሼ) 所以 ， ) cosሼ  sin(ሼ  sinሼ   ሼ +  sinሼcosሼ cos  (ሼ)cosሼ( sinሼ cosሼ)+ 19. （1）解： +  0 4 + × ×  sin sin  0由正弦定理得： 4 +  ×  + 4 ×  sin  sin( + )  sincos + cossin  + +  4  cos   sin sin sin  sin  sin （2）解：  (0,)   sinsin 0 cos - 5 - ， ሼ  0 ݕ +  0 得  0 Ͳ  0 由 ，  (ሼ,ݕ,) 设平面 EAB 的一个法向量为 ， (0,0,0) ， (0,,0) ， (,0,0) ， ᦙ(0,, ) ， Ͳ(0,, ) 易得 知，E 为 PC 的三等分点， Ͳ  Ͳᦙ 由 轴，AB，AC 为 x，y 轴建立空间直角坐标系． 以 l 为 则 l 垂直平面 ABC， 平面 ABC，在平面 PAC 中过 A 点作 AC 的垂线 l， ᦙ （2）解：∵平面 ． ᦙ 所以 平面 ABP， 平面 ABP，而 ᦙ ∴ ，  ᦙ ，又 ᦙ 平面 APC，则 故 ° ，   得0 平面 ABC，交线为 AC， ∠ ᦙ ∵平面 ， ᦙ ᦙ ° ，即 ᦙ  得0 得 ∠ ， ᦙ ∠ sin   ° sin0 中由正弦定理 ᦙ 22.（1）解：在 △ ݕmax  得（万元）. 故该厂家 2018 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大为 29 万元 万元时，  ，即  +  +  ， 当且仅当 ݕ 8 +  得  时等号成立. ，当且仅当 + + ( + )   8  ， +  ʹ 0 时， 0 当 （2）解： . + ( 0)   8 ሼ ሼ 8+ሼ × ݕ  格ሼ 2018 年的利润 （元）， ሼ 8+ሼ × 格 . 所以每件产品的销售价格为 + ሼ  4 ，  ，解得  4 （万件），则  ሼ 时，  0 解：由题意知，当（1）.21 - 6 - ． 4  cos ，则 的平面角为 Ͳ  设二面角 ， 4   〉 , 〈 cos 则 ．  (,, ) ，  ሼ ，  ，则   ݕ 令 ， ݕ  0 ሼ + ݕ  0 ，得 Ͳ  0   0 由 ，  (ሼ,ݕ,) 设平面 EBC 一个法向量为 ，  (0, , ) ，  ，则   ݕ 令 - 7 -