2020-2021学年河北省邯郸市大名县第一中学高二上学期第二次周测数学试题 （解析版）

1 河北省邯郸市大名县第一中学 2020-2021 学年高二上学期第二次 周测数学试题 内容:统计,逻辑，椭圆，双曲线; 时间:50 分钟. 1．双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的一条渐近线方程是 2y x ，则双曲线的离心率是（ ） A． 3 B． 6 2 C．3 D． 2 2．若双曲线 2 2 2 2: 1 ( 0, 0)x yC a ba b     的右顶点 A 到一条渐近线的距离为 2 2 3 a ，则双曲线 的离心率为（ ） A． 2 2 3 B． 1 3 C．3 D． 2 2 3．过点（﹣4，2），且与双曲线 y2 2 2 x  1 有相同渐近线的双曲线的方程是（ ） A． 2 2 18 4 x y  B． 2 2 14 8 x y  C． 2 2 18 4 y x  D． 2 2 14 8 y x  4.圆 2 2 1 :( 1) ( 1) 4C x y    与圆 2 2 2 :( 3) ( 4) 25C x y    的公切线有（ ） A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 5．设 1F ， 2F 分别是双曲线 2 2 19 yx   的左右焦点.若点 P 在双曲线上，且 1 2 0PF PF   ，则 1 2PF PF  等于（ ） A． 2 2 B． 10 C． 4 2 D． 2 10 6．（多选）已知 P 是椭圆 2 2 14 x y  上一点， 1 2,F F 是其两个焦点，则 1 2F PF 的大小可能为（ ） 2 A． 3 4  B． 2 3  C． 2  D． 4  7．（多选）若方程 2 2 13 1 x y t t    所表示的曲线为C ,则下面四个命题中错误的是（ ） A．若 C 为椭圆,则1 3t  B．若C 为双曲线,则 3t  或 1t  C．曲线C 可能是圆 D．若C 为椭圆，且长轴在 y 轴上，则1 2t  8.焦点为    6,0,6,0  ，且经过点  5,2  的双曲线方程为 . 9.双曲线 12 2 2  xy 的渐近线方程为 . 10.已知椭圆 3737 22  yx 的焦点 21, FF ，点 P 在椭圆上，且 321  PFF ,则 21PFF 的面积 为 . 11．过点  1,1P 作直线l 与双曲线 2 2 2 yx   交于 A ， B 两点，若点 P 恰为线段 AB 的中点，则 实数  的取值范围是______. 12．已知命题 02 1: 2  xxP ，则 p  对应的 x 集合为___________． 13．某校高二年级 800 名学生参加了地理学科考试，现从中随机选取了 40 名学生的成绩作为样本， 已知这 40 名学生的成绩全部在 40 分至 100 分之间，现将成绩按如下方式分成 6 组：第一组 40 50， ； 第二组 50 60， ；……；第六组 90100， ，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图． 3 （1）求每个学生的成绩被抽中的概率； （2）估计这次考试地理成绩的平均分和中位数； （3）估计这次地理考试全年级 80 分以上的人数. 14.已知椭圆 E ：   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的右焦点为 F ，短轴长等于焦距，且经过点  0,1P ． （1）求椭圆 E 的方程； （2）设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线与 E 交于 A ， B 两点，线段 AB 的中点为C ， D 是 y 轴上 一点，且CD AB ，求证：线段 CD 的中点在 x 轴上. 4 绝密★启用前 参考答案 1．A 【解析】 【分析】 求出双曲线的渐近线方程 by xa   ，由题意可得 2b a ，运用 a ，b ， c 的关系和离心率公式计 算即可得到所求值． 【详解】 解：双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的渐近线方程为 by xa   ， 一条渐近线的方程为 2y x ，可得 2b a ， 即有 2 2 3c a b a   ， 可得 3 ce a ． 故选：A． 【点睛】 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和 a ，b ， c 的关系，考查运算能力，属于 基础题． 2. C 3. A 4. B 5. D 6．BCD 【解析】 【分析】 设 1 2,PF m PF n  ，由题意的定义得到 2 4m n a   ，然后在 1 2F PF△ 中，由余弦定理得 2 2 1 2 12 2cos 12 m nF PF mn mn      ，然后结合基本不等式 2 42 m nmn     „ 求解. 【详解】 设 1 2,PF m PF n  ，则 0, 0m n  ，且 2 4m n a   ， 5 在 1 2F PF△ 中，由余弦定理可得 2 2 2 1 2 12 ( ) 2 12 2cos 12 2 m n m n mnF PF mn mn mn          ， 因为 2 42 m nmn     „ ， 所以 1 2 1cos 2F PF … ，当且仅当 m n 时取等号， 故 1 2F PF 的最大值为 2 3  ， 所以 1 2F PF 的大小可能为 2 , ,3 2 4    ． 故选：BCD 【点睛】 本题主要考查椭圆的焦点三角形以及椭圆定义的应用和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能 力，属于中档题. 7．AD 【解析】 【分析】 就t 的不同取值范围分类讨论可得曲线C 表示的可能的类型. 【详解】 若 3t  ，则方程可变形为 2 2 11 3 y x t t    ，它表示焦点在 y 轴上的双曲线； 若 1t  ，则方程可变形为 2 2 13 1 x y t t    ，它表示焦点在 x 轴上的双曲线； 若 2 3t  ，则 0 3 1t t    ，故方程 2 2 13 1 x y t t    表示焦点在 y 轴上的椭圆； 若1 2t  ，则 0 1 3t t    ，故方程 2 2 13 1 x y t t    表示焦点在 x 轴上的椭圆； 若 2t  ，方程 2 2 13 1 x y t t    即为 2 2 1x y  ，它表示圆， 综上，选 AD. 6 【点睛】 一般地，方程 2 2 1mx ny  为双曲线方程等价于 0mn  ，若 0, 0m n  ，则焦点在 x 轴上，若 0, 0m n  ，则焦点在 y 轴上；方程 2 2 1mx ny  为椭圆方程等价于 0, 0m n  且 m n ，若 m n ，焦点在 y 轴上，若 m n ，则焦点在 x 轴上；若 0m n  ，则方程为圆的方程. 8. 12016 22  xy 9. 2y X 10. 3 3 11．  1,0 0, 2      【解析】 【分析】 根据中点坐标公式及点差法,可求得直线l 的方程,结合直线与双曲线有两个不同的交点,可得   , 即可求得  的取值范围. 【详解】 因为双曲线方程为 2 2 2 yx   则 0  设  1 1,A x y ,  2 2,B x y 因为点 P 恰为线段 AB 的中点 则 1 2 1 22, 2x x y y    则 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 yx yx         ,两式相减并化简可得 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2y y x x x x y y      即直线l 的斜率为 2 所以直线l 的方程为 2 1y x  7 2 2 2 1 2 y x yx      ,化简可得 22 4 2 1 0x x     因为直线l 与双曲线有两个不同的交点 所以  16 4 2 2 1 0       解得 1 2   且 0  所以  的取值范围为  1,0 0, 2      故答案为:   1,0 0, 2      【点睛】 本题考查了直线与双曲线的位置关系,中点弦问题,根据交点情况求参数的取值范围,属于中档题. 12． 【解析】 试题分析： ，因此 为 ． 考点：命题的否定． 13．（1） 1 20 （2）68 66.67（3）120 【解析】 【分析】 （1）根据共有 800 个学生，抽取 40 个学生的成绩可知，每个学生成绩被抽取的机会均等，即可计 算（2）由各组的频率和等于 1 直接列式计算成绩在[80，90）的学生频率，再估计这次月考数学成 绩的平均分和中位数（3）由频率直方图可知成绩 80 分以上的频率，即可计算全年级 80 分以上的人 数. 【详解】 （1）根据共有 800 个学生，抽取 40 个学生的成绩，每个学生成绩被抽取的机会均等，故 40 1 800 20P   （2）由频率分布直方图得成绩在区间[80，90）内的频率为： 8 1-（0.005+0.015+0.045+0.020+0.005）×10=0.1， 所以平均分=0.05×45+0.15×55+0.45×65+0.20×75+0.10×85+0.05×95=68 由频率分布直方图得：[40，60）的频率为：（0.005+0.015）×10=0.2， [60，70）的频率为：0.045×10=0.45， ∴估计这 40 名学生成绩的中位数为： 0.5 0.260 10 66.670.45    （3）由（1）及频率分布直方图可知，学生成绩 80 分以上的频率为：0.1+0.05=0.15， 故地理考试全年级 80 分以上的人数为800 0.15 120  人. 14．（1） 2 2 12 x y  ；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】 （1）由已知得 1b  ； 1c  ，从而得椭圆 E 的方程． （2）设直线l 的方程为  1 0x ty t   ，  1 1,A x y ，  1 1,B x y ，  0 0,C x y ．直线l 与椭圆的方程 联立得 2 22 2 1 0t y ty    ，由题意，得   ，且 1 2 2 2 2 ty y t     ， 1 2 2 1 2y y t    ，表示 点 2 2 2 ,2 2 tC t t      ．设  0,D u ，根据直线的垂直关系得 2 2 tu t   ．可得证． 【详解】 解：（1）由椭圆 E 经过点  0,1P ，得 1b  ；由短轴长等于焦距，得 2 2b c ，则 1c  ， 所以 2 2 2 21 1 2a b c     ． 故椭圆 E 的方程为 2 2 12 x y  ． （2）设直线l 的方程为  1 0x ty t   ，  1 1,A x y ，  1 1,B x y ，  0 0,C x y ． 由 2 2 1, 2 2, x ty x y      得 2 22 2 1 0t y ty    ，由题意，得   ，且 1 2 2 2 2 ty y t     ， 1 2 2 1 2y y t    ， 则 1 2 0 22 2 y y ty t     ， 0 0 2 21 2x ty t     ，即 2 2 2 ,2 2 tC t t      ． 9 设  0,D u ，由CD AB ，得， 2 2 12 12 2 tu t t t        ，解得 2 2 tu t   ． 所以 0 0y u  ，所以 0 02 y u  ，故线段 CD 的中点在 x 轴上． 【点睛】 本题考查椭圆的简单几何性质，求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系之交点问题，属于中档 题. ．