2020-2021学年河北省黄骅中学高二第一次月考数学试题 word版

- 1 - 黄骅中学 2020-2021 学年高二第一次月考 数学试题 考试范围：必修二：第四章 选修 2-1：第三章 必修三:第二章（不含系统抽样、茎叶图） 一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分。在每个小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的。 1．设 (2, 1), (4,1)A B ，则以线段 AB 为直径的圆的方程是（ ） A． 2 2( 3) 2x y   B． 2 2( 3) 8x y   C． 2 2( 3) 2x y   D． 2 2( 3) 8x y   2．向量 ),1,2,(),,2,1(  ybxa ，若 ,5a 且 ,ba  则 yx  的值为（ ） A． 1 B．1 C． 4 D．4 3．用分层抽样的方法从某校学生中抽取容量为 60 的样本，其中高二年级抽取 15 人，高三年 级抽取 25 人，已知该校高一年级共有 800 人，则该校学生总人数是（ ） A．4800 B．2400 C．1600 D．3200 4．在正方体 1111 DCBAABCD 中，若点 M 是侧面 11CCDD 的中心，且 ABzADyAAxAM  1 ，则 zyx ,, 的值分别为 ( ) A. 2 11,2 1 ， B． 2 11,2 1  ， C． 2 11,2 1 ， D． 2 11,2 1 ， 5．直线 012:  mmyxl 与圆 4)2(: 22  yxC 交于 BA、 两点，则当弦 AB 最短时 直线l 的方程为( ) A． 0142  yx B． 0342  yx C． 0142  yx D． 0342  yx 6.直三棱柱 111 CBAABC  的侧棱 31 CC ,底面 ABC 中， 90ACB , 2 BCAC , 则点 1B 到平面 BCA1 的距离为( ) A. 11 113 B． 11 22 - 2 - C. 11 23 D． 11 223 7．突如其来的疫情打乱了我们的学习节奏，郑老师为检查网课学习情况，组织了一次网络在 线考试，并计算出本次考试中全体学生的平均分为 90，方差为 65；后来有两位学生反应，自 己的成绩被登记错误，一位学生的成绩为 88 分，记录成 78 分，另一位学生的成绩为 80 分， 记录成 90 分，更正后，得到的平均分为 x ，方差为 2s ，则（ ） A． 65,90 2  sx B． 65,90 2  sx C． 65,90 2  sx D． 65,90 2  sx 8．阿波罗尼斯(约公元前 262-190 年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数 )1,0(  kkk 的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点 BA、 间的距离为 4 ,动点 P 满足 3 PB PA ，当 BAP 、、 不共线时， PAB 面积的最大值是（ ） A． 3 34 B． 3 C． 34 D． 3 3 二、选择题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。在每个小题给出的四个选项中有多 项是符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。 9．2020 年 3 月 6 日，在新加坡举行的世界大学生辩论赛中，中国选手以总分 230.51 分获得 冠军. 辩论赛有 7 位评委进行评分，首先这 7 位评委给出某对选手的原始分数，评定该队选手 的成绩时从 7 个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到 5 个有效评分，则 5 个有效 评分与 7 个原始评分相比，可能变化的数字特征是（ ） A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 10．已知圆 :O 922  yx 和圆 :M ： 094622  yxyx 交于 P 、Q 两点，下列说法 正确的是（ ） A．两圆有两条公切线 B．直线 PQ 的方程为 0923  yx C．线段 PQ 的长为 13 136 - 3 - D．所有过点 P 、Q 的圆的方程可以记为 2 2 2 29 ( 6 4 9) 0 R, 1)x y x y x y            （ 11．流行性传染疾病是全人类的公敌.某数学小组记录了某月 14 日至 29 日某流行性疾病在全 国的数据变化情况，根据该折线图，可以得出正确的是（ ） A. 19 日至 29 日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊数量 B．16 天中每日新增确诊病例数量均下降且 18 日的降幅最大 C．16 天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例数量的极差均大于 1500 D．22 日至 29 日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例数量之和 12．已知圆 1)3()1(: 22 1  yxC 和圆 NMyxC ,9)4()2(: 22 2 ， 分别是圆 1C 和圆 2C 上的动点， P 为 x 轴上的动点，则关于 PNPM  的最值，下列正确的是（ ） A． PNPM  无最大值 B． PNPM  既有最大值又有最小值 C． PNPM  无最小值 - 4 - D． PNPM  的最小值为 425  三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．某校高二年级从甲、乙两个班各选出 10 名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩从低到高 排列如下 甲班：74 75 76 81 84 m 88 92 97 98 乙班：79 79 80 82 83 n 91 91 96 98 其中甲班学生成绩的平均分是 85，乙班学生成绩的中位数是 86，则 nm  的值为_______． 14．邢台市物价部门对市区的天一城、北国商城、恒大城、家乐园、中北世纪城 5 家商场的 某件商品在 7 月 15 号一天销售量及其价格进行调查，5 家商场的售价 x 元和销售量 y 件之间 的一组数据如下表所示： 价格 x 8.5 9 m 11 11.5 销售量 y 12 n 6 7 5 已知销售量 y 与价格 x 之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是 402.3ˆ  xy ，且 20 nm ，则其中的 m ______. 15．若过点 )1,1(M 可作圆 03444 222  mmmyyx 的两条切线，则实数 m 的取值范 围为____________． 16. 已知结论：在平行四边形 ABCD中，有 ADABAC  ，且此结论可 以推广到空间,即：在平行六面体 1111 DCBAABCD 中，有 11 AAADABAC  .某结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点 A 为端 点的三条棱长都为 2，且它们彼此的夹角都是 3  ，则其体对角线 CA1 的长 度是__________ 四、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10 分）某同学暑期做社会实践活动.对气温与某饮料的销量之间的关系进行调研，记录连 续 5 天的数据如下: - 5 - （1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图； （2）求出 y 关于 x 的线性回归方程 axby ˆˆˆ  ，试预测气温是 15 度时大约可销售多少杯（取整数）? （注： 1 2 2 1 n i i i n i i x y n x y b n xx            ， a y b x      ） 18.（12 分）正四棱锥 ABCDV  中，底面正方形 ABCD的边长为 2 ，点O 是底面中心. hOV  . 且VC 的中点 E . (1) 求 ;,cos  DEBE (2) 若 ,VCBE  求 .,cos  DEBE 19.（12 分）已知直线 012  yx 平分圆 08: 22  EyDxyxC 的圆周，且该圆被 y 轴截得的弦长是圆的一条最长的弦. （1）求圆 C 的标准方程； （2）已知动点 M 在直线 9y 上，过点 M 引圆C 的两条切线 MBMA、 ，切点分别为 BA、 . 记四边形 MACB的面积为 S ，求 S 的最小值. 气温 x( C ) 9 10 12 11 8 销量 y(杯) 22 25 29 26 20 - 6 - 20.（12 分）如图，在正三棱柱 111 CBAABC  中， ABC 边长为 4， 61 AA ， ED、 分别 为 BCAB、 的中点. （1）求证：平面 1AEB 平面 11BBCC ； （2）求锐二面角 11 AAEB  的余弦值. 21.（12 分）“中华好诗词”河北赛区有 40 名选手参加初选，测试成绩（单位：分）分组如下： 第 1 组[75,80) ，第 2 组[80,85) ，第 3 组[85,90) ，第 4 组[90,95) ，第 5 组[95,100]，得到 频率分布直方图如图所示. （1）求直方图中 x 的值，若 90 分（含 90 分）为晋级线， 有多少同学晋级？ （2）根据频率分布直方图估计成绩的众数和平均值； （3）用分层抽样的方法从成绩在第 3 组到第 5 组的选手中 抽取 6 名同学组成一个小组，每组中应抽取多少人？ 22.（12 分）如图所示在四棱锥 ABCDP  中 ADPD  ，底面 ABCD是边长为 2 的菱形， 3 2ADC ，点 F 为棱 PD 的中点． （1）在棱 BC 上是否存在一点 E ，使得 //CF 平面 PAE ，并说明理由； （2）若 ACBF  ，平面 BAF 与平面 DAF 所成锐二面角的正切值为 5 时，求直线 AF 与 - 7 - 平面 BCF 所成的角的正弦值． 答案 1-6 ACBD BD 5．B 由题得，           1 2 1 01 012,0)1()12( y x y xymx 所以直线l 过定点 )1,2 1(P . 当 CP⊥l 时，弦 AB 最短.由题得 2 1 12,1 20 2 CP lk k      , 所以 1 12 ,2 4m m     .所以直线 l 的方程为 2 4 3 0x y   . 故选：B 7【答案】B 由于 78 90 88 80   ，因此更正前后样本的平均数不发生改变，即 90x  ； 由于 222 )8090()8890()7890(  ，因此更正后样本的方差变小，即 652 s ； 8【答案】C 以经过 ,A B 的直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系； - 8 - 则： A(-2,0), B(2,0) 设 P(x, y) , 2 2 2 2 ( 2)| | ,| | ( 2 3 3 ) x yPA PB x y        ， 两边平方并整理得： 2 2 2 28 4 0 ( 4) 12x y x x y        ， 当点 P 到 AB（x 轴）的距离最大时，三角形 PAB 的面积最大，此时面积为 1 4 2 3 4 32    9 【答案】BCD 因为 7 个有效评分是 9 个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，所以中位数不变，平均 数、方差、极差可能发生变化，所以变化的数字特征是平均数、方差、极差， 10【答案】AB A. 因为圆O ： 922  yx 和圆 M ： 094622  yxyx 相交于 P 、Q 两点，所以两圆 有两条公切线，故正确； B. 圆O ： 922  yx 和圆 M ： 094622  yxyx 的方程相减得： 0923  yx ， 所以直线 PQ 的方程为 0923  yx ，故正确； C. 圆心O 到直线 PQ 的距离为： 13 139 49 9   d ，所以线段 PQ 的长为 13 1312 13 81922 22  drPQ ，故错误； D. 因为 , 1R    ，所以      0946 9 22 22 yxyx yx 可知，该园方程恒过 PQ 两点，方程可 化为， 01 99 1 4 1 622         yxyx 而 0)1( 3616 1 994)1 4()1 6( 2 2 22            所以方程 )1,0)946(9 2222   Ryxyxyx （ 表示圆，但不包括圆 M， 故不正确. 故答案为：AB 11【答案】ACD 对 A，19 至 27 日，每日新增治愈病例数量均大于新增确诊数量，且差距较大， 27 至 29 日每日新增确诊数大于新增治愈病例数量，且差距较很小，综合可得， 19 日至 29 日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊数量，故 A 正确 对 B，19 日至 20 日新增确诊病例数量上升，故 B 错； 对 C，16 天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例数量的极差分别约为：2300、1800、 - 9 - 2500，均大于 1500，故 C 正确； 对 D，由图可知 22 日至 29 日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例数量之 和 故选：ACD. 12【答案】AD 4212211  PCPCrPCrPCPNPM 25)43()21( 22 212121  CCPCPCPCPC 425  PNPM 结合图形可得 PNPM  无最大值 故选：AD． 13【答案】174 89,85  nm 14 【答案】10 依题意 40 30,5 5 m nx y   ，代入回归直线方程得 30 403.2 405 5 n m     ①，根据 题意 20m n  ②，解①②组成的方程组得 10m n  ，故填10. 15【答案】 03444 222  mmmyyx 表示圆则 4 30)34(  mm 解得 又因为点 )1,1(M 在圆外则 2 1 2 10344411 2  mmmmm 或解得 ,所以 4 3 2 1 2 1  mm 或 16. 2 11111 2 1 )( DABAAACA  )222( 1111111111 2 11 2 11 2 1 DABADAAABAAADABAAA  2 1222)2 1(222)2 1(222444  8 故 221 CA 17【答案】 （1）散点图 - 10 - ----3 分 （2） 105 81211109 x ， 4.245 2029262522 y ， 1242208291226112510229 5 1  i ii yx ， 51081112109 22222 5 1 2  i ix - ----5 分 ∴ 2.21005510 4.241051242ˆ  b ， 4.2102.24.24ˆ a ， -----8 分 ∴回归直线方程： 4.22.2ˆ  xy ， -----9 分 - 11 - 令 15x ，得 354.354.2152.2ˆ y ， ∴预测气温是 15 度时大约可销售 35 杯. -----10 分 18.（1）如图建立直角坐标系， )2,2 1,2 1(),0,1,1(),0,1,1(),,0,0( hECBhV  )0,1,1(D ),1,1(),2,2 1,2 3(),2,2 3,2 1( hVChDEhBE  ---------3 分 10 6 44 10 44 3 4 3 ,cos 2 2 2 2      h h h h DEBE ----------6 分 （2） ,VCBE  则 022 3 2 1 2  hVCBE 得 2h ----------9 分 由（1）可知 3 1 102 62 10 6,cos 2 2    h hDEBE ----------12 19.（1）由题意知，圆心 ,2 2 D EC      在直线 2 1 0x y   上，即 1 02 ED    ， 又因为圆心C 在 y 轴上，所以 02 D  ，由以上两式得： 0D  ， 2E   ，------------3 分 所以. 08222  yyx 故圆C 的标准方程为. 9)1( 22  yx ------------5 分 （2）如图，圆C 的圆心为 )1,0( ，半径 3r ，因为 MBMA、 是圆C 的两条切线， 所以CA MA ，CB MB ，故 9222  MCrMCMBMA 又因为 9332 2   MCMASS ACM ， ------------8 分 根据平面几何知识，要使 S 最小，只要 MC 最小即可. - 12 - 易知，当点 M 坐标为 )9,0( 时， min 8MC  . ----------10 分 此时 553min S . ----------12 分 20 解：（1）证明：连接 CDABBEAE 、、、 1 在三棱柱 111 CBAABC  中，因为 1BB 底面 ABC ， AE 平面 ABC ，所以 AEBB 1 .又 ABC 为等边三角形，E 为 BC 的中点，所以 AEBC  . 因为 BBBBC 1 ，所以 AE 平面 11BBCC 所以平面 1AEB 平面 11BBCC ----------4 分 （2）解：取 1 1A B 中点 F，连结 DF ，则因为 D，F 分别为 AB ， 1 1A B 的中点， 所以 DF AB .由（1）知 CD AB ，CD DF ， 如图建立空间直角坐标系 D xyz ，由题意得 )0,0,2(A ， )0,0,2(B ， )32,0,0(C ， )0,6,2(1A ， )0,6,2(1 B ， )32,6,0(1C ， , )3,0,1(E , )3,0,3(AE ， )0,6,4(1 AB ， -----6 分 设平面 EAB1 的法向量 ),,( zyxn  ， )3,0,3(AE ， )0,6,4(1 AB ， )0,6,0(1 AA 则 , 064 033 1     yxABn zxAEn ，令 ,1x ，则 )3,3 2,1(n . 同理可得平面 AEA1 法向量 ),,( 111 zyxm  . , 06 033 11 11      yAAm zxAEm 令 ,11 x ，则 )3,0,1(m . -----10 分 所以. 10 103 3139 41 301,cos    nm nmnm 故所求锐二面角的余弦值是 10 103 ---12 分 - 13 - 21 （1）因为 (0.01 0.07 0.06 0.02) 5 1x      ，所以 0.04x  ， --------2 分 成绩大于等于 90 人数为 12405)02.004.0(  人 ------4 分 （2）根据频率分布直方图可知众数在第 2 组[80,85) 中取组中值为 82.5（分） ------5 分 所以成绩的平均值为 75 80 85 80 85 90 90 95 95 1000.05 0.35 0.30 0.20 0.10 87.252 2 2 2 2               （分） ---8 分 （2）第 3 组学生人数为 1240506.0  ，第 4 组学生人数为 840504.0  ，第 5 组学生 人数为 440502.0  ，人数之比为 1:2:34:8:12  ------ 10 分 所以各组的抽取认数：第3 组的人数为3人，第 4组学生人数2人，第5 组的人数为1 人 -----12 分 22【答案】（1）在棱 BC 上存在点 E，使得 CF∥平面 PAE，点 E 为棱 BC 的中点. 证明：取 PA 的中点 Q，连结 EQ、FQ，由题意，FQ∥AD 且 1 2FQ AD ，CE∥AD 且 1 2CE AD ， 故 CE∥FQ 且 CE＝FQ.∴四边形 CEQF 为平行四边形. ∴CF∥EQ，又CF  平面 PAE， EQ 在平面 PAE 内， ∴CF∥平面 PAE；------------- 4 分 （2）取 AB 中点 M，以 D 为坐标原点，以 DM，DC，DP 所在 直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系. 设 FD＝a，则 D（0，0，0），F（0，0，a），C（0，2，0）， B（ 3 ，1，0），A（ 3 1 0， ，）.  0 2FC a  ，， ，  3 1 0CB   ， ， .-------------- 6 分 设平面 FBC 的一个法向量为  m x y z ， ， . - 14 - 由 2 0 3 0 m FC y az m CB x y            ，取 x＝1，得 2 31 3m a        ， ， ； 取平面 DFC 的一个法向量为  1 0 0n  ，， .------------------------8 分 由题意 6 6,cos5,tan  nmnm ， 2 6 1 6 121 3 cos m n a      ＜ ， ＞ ，解得 a 6 .-----------------10 分 ∴  3 1 6FA    ， ， . 设直线 AF 与平面 BCF 所成的角为θ， 则 5 5 106 32,cossin      FAm FAm FAm . 即直线 AF 与平面 BCF 所成的角的正弦值为 5 5 .----------------- 12 分