统考版2022届高考数学一轮复习第九章9.5椭圆课时作业理含解析

高考 - 1 - / 12 课时作业 51 椭圆 [基础达标] 一、选择题 1．[2021·某某省某某市第一中学周测]设 F1，F2 分别是椭圆 x2 25 ＋ y2 16 ＝1 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是 F1P 的中点，|OM|＝3，则 P 点到椭圆左焦点的距离为( ) A．4B．3 C．2D．5 2．[2021·某某某某中学检测]椭圆 x2 9 ＋ y2 4＋k ＝1 的离心率为 4 5 ，则 k 的值为( ) A．－21B．21 C．－ 19 25 或 21D. 19 25 或 21 3．[2021·某某省名校高三教学质量检测]椭圆 E： x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别 为 F1，F2，过点 F1 的直线交椭圆于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，若 F1，C 是线段 AB 的三等 分点，△F2AB 的周长为 4 5，则椭圆 E 的标准方程为( ) A. x2 5 ＋ y2 4 ＝1B. x2 5 ＋ y2 3 ＝1 C. x2 5 ＋ y2 2 ＝1D. x2 5 ＋y2＝1 4．[2021·某某某某诊断]已知 F1，F2 为椭圆 C： x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点，B 为 C 的短轴的一个端点，直线 BF1 与 C 的另一个交点为 A，若△BAF2 为等腰三角形，则 |AF1| |AF2| ＝ ( ) 高考 - 2 - / 12 A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D．3 5．[2021·某某市高中毕业生学习质量检测]已知点 P 在椭圆Γ： x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0)上， 点 P 在第一象限，点 P 关于原点 O 的对称点为 A，点 P 关于 x 轴的对称点为 Q，设PD→ ＝ 3 4 PQ→ ， 直线 AD 与椭圆Γ的另一个交点为 B，若 PA⊥PB，则椭圆Γ的离心率 e＝( ) A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 3 3 二、填空题 6．[2021·某某省某某市高三调研试题]设椭圆 C： x2 100 ＋ y2 48 ＝1 的左、右焦点分别为 F1， F2，点 Q 在椭圆 C 上，且满足|QF1|＝ 2 3 |QF2|，则△QF1F2 的面积为________． 7．[2019·全国卷Ⅲ]设 F1，F2 为椭圆 C： x2 36 ＋ y2 20 ＝1 的两个焦点，M 为 C 上一点且在第 一象限．若△MF1F2 为等腰三角形，则 M 的坐标为________． 8．[2021·某某市高三年级模底考试]已知直线 x－ 3y＋ 3＝0 过椭圆 x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a＞b ＞0)的左焦点 F，交椭圆于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，若FA→＝2FC→，则该椭圆的离心率是________． 三、解答题 9．已知椭圆的两焦点为 F1(－ 3，0)，F2( 3，0)，离心率 e＝ 3 2 . 高考 - 3 - / 12 (1)求此椭圆的方程； (2)设直线 l：y＝x＋m，若 l 与此椭圆相交于 P，Q 两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求 m 的值． 10.[2021·某某某某调研]已知椭圆 C： x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0)，离心率 为 2 2 ，直线 y＝k(x－1)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N. (1)求椭圆 C 的方程； (2)当△AMN 的面积为 10 3 时，求 k 的值． 高考 - 4 - / 12 [能力挑战] 11．[2021·某某市高三年级阶段训练题]某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点 的椭圆，其轨道的离心率为 e，设地球半径为 R，该卫星近地点离地面的距离为 r，则该卫星 远地点离地面的距离为( ) A. 1＋e 1－e r＋ 2e 1－e RB. 1＋e 1－e r＋ e 1－e R C. 1－e 1＋e r＋ 2e 1＋e RD. 1－e 1＋e r＋ e 1＋e R 12．[2021·某某市高三调研考试]已知椭圆 x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的短轴长为 2，上顶点为 A，左顶点为 B，左、右焦点分别为 F1，F2，且△F1AB 的面积为 2－ 3 2 ，点 P 为椭圆上的任意 一点，则 1 |PF1| ＋ 1 |PF2| 的取值 X 围为( ) 高考 - 5 - / 12 A．[1,2] B．[ 2， 3] C．[ 2，4] D．[1,4] 13．[2021·某某市重点高中高三毕业班摸底考试]已知 F1，F2 分别是椭圆 C： x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a ＞b＞0)的左、右焦点，B 是短轴的一个端点，线段 BF2 的延长线交椭圆 C 于点 D，若|BD|＝ |DF1|，则椭圆 C 的离心率为________． 课时作业 51 1．解析：连接 PF2，由题意知，a＝5，在△PF1F2 中，|OM|＝ 1 2 |PF2|＝3， 高考 - 6 - / 12 ∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.故选 A. 答案：A 2．解析：若 a2＝9，b2＝4＋k，则 c＝ 5－k，由 c a ＝ 4 5 ，得 5－k 3 ＝ 4 5 ，得 k＝－ 19 25 ； 若 a2＝4＋k，b2＝9，则 c2＝k－5，由 c a ＝ 4 5 ，得 k－5 4＋k ＝ 16 25 ，得 k＝21.综上可知，选 C. 答案：C 3．解析：由椭圆的定义，得|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△F2AB 的周长为|AF1| ＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4 5，所以 a＝ 5，所以椭圆 E： x2 5 ＋ y2 b2 ＝1. 不妨令点 C 是 F1A 的中点，点 A 在第一象限，因为 F1(－c,0)，所以点 A 的横坐标为 c， 所以 c2 5 ＋ y2 b2 ＝1，得 A c， b2 5 ，所以 C 0， b2 2 5 ，B －2c，－ b2 2 5 .把点 B 的坐标代入椭圆 E 的方程，得 4c2 5 ＋ b4 20 b2 ＝1，即 4c2 5 ＋ b2 20 ＝1，化简得 b2＝20－16c2.又 b2＝5－c2，所以 20－ 16c2＝5－c2，得 c2＝1，所以 b2＝4，所以椭圆 E 的标准方程为 x2 5 ＋ y2 4 ＝1. 答案：A 4．解析：如图，不妨设点 B 在 y 轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF1|＋|BF2|＝2a， |AF1|＋|AF2|＝2a，由题意知|AB|＝|AF2|，|BF1|＝|BF2|＝a，所以|AF1|＝ a 2 ，|AF2|＝ 3a 2 .所以 |AF1| |AF2| ＝ 1 3 .故选 A. 高考 - 7 - / 12 答案：A 5．解析： 如图，设 P(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意有 A(－x1，－y1)，Q(x1，－y1)，D x1，－ y1 2 ， x2 1 a2 ＋ y2 1 b2 ＝1 ① x2 2 a2 ＋ y2 2 b2 ＝1 ② ， ①－②得 x1＋x2x1－x2 a2 ＝－ y1＋y2y1－y2 b2 ， 所以 y1－y2 x1－x2 ＝－ b2 a2 · x1＋x2 y1＋y2 ，所以 kPB＝－ b2 a2 · x1＋x2 y1＋y2 . 因为 kAD＝kAB，所以 y1 4x1 ＝ y1＋y2 x1＋x2 ，所以 kPA＝ y1 x1 ＝ 4y1＋y2 x1＋x2 . 因为 PA⊥PB，所以 kPA·kPB＝－1，所以－ 4b2 a2 ＝－1，因为 a2＝b2＋c2，所以 3a2＝4c2， 所以 e2＝ c2 a2 ＝ 3 4 ，又 e＝ c a ∈(0,1)，所以 e＝ 3 2 ，故选 C. 答案：C 6．解析：因为|QF1|＝ 2 3 |QF2|，|QF1|＋|QF2|＝20，所以|QF1|＝8，|QF2|＝12.又|F1F2|2＝ 4×(100－48)＝208，所以|QF1|2＋|QF2|2＝|F1F2|2，所以△QF1F2 是直角三角形，所以 S△QF1F2 高考 - 8 - / 12 ＝ 1 2 ×|QF1|×|QF2|＝ 1 2 ×8×12＝48. 答案：48 7．解析：不妨令 F1，F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点，根据题意可知 c＝ 36－20＝4. 因为△MF1F2 为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，设 M(x，y)， 则 x2 36 ＋ y2 20 ＝1， |F1M|2＝x＋42＋y2＝64， x>0， y>0， 得 x＝3， y＝ 15， 所以 M 的坐标为(3， 15)． 答案：(3， 15) 8．解析：因为直线 x－ 3y＋ 3＝0 过椭圆 x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1 的左焦点 F，所以 F(－ 3，0)， 则右焦点 F′( 3，0)，即 c＝ 3，直线 x－ 3y＋ 3＝0 与 y 轴交于点 C(0,1)，由FA→＝2FC→， 知 C 为 AF 的中点，故 A( 3，2)，因为点 A 在椭圆上，所以由椭圆的定义得 2a＝|AF|＋|AF′ |＝6，即 a＝3，所以 e＝ c a ＝ 3 3 . 答案： 3 3 9．解析：(1)设椭圆方程为 x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0)，则 c＝ 3， c a ＝ 3 2 ，所以 a＝2，b＝1， 所求椭圆方程为 x2 4 ＋y2＝1. (2)由 x2 4 ＋y2＝1， y＝x＋m， 消去 y，得 5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，则Δ>0，得 m20 恒成立． 设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则 y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)， x1＋x2＝ 4k2 1＋2k2 ，x1x2＝ 2k2－4 1＋2k2 ， 所以|MN|＝ x2－x12＋y2－y12 ＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2] ＝ 2 1＋k24＋6k2 1＋2k2 . 又点 A(2,0)到直线 y＝k(x－1)的距离 d＝ |k| 1＋k2 ， 高考 - 10 - / 12 所以△AMN 的面积 S＝ 1 2 |MN|·d＝ |k| 4＋6k2 1＋2k2 ，由 |k| 4＋6k2 1＋2k2 ＝ 10 3 ，得 k＝±1. 所以当△AMN 的面积为 10 3 时，k＝±1. 11．解析：设该卫星远地点离地面的距离为 r′，则由题意分析可知 a－c＝r＋R a＋c＝r′＋R ，所 以 a＝ r＋r′＋2R 2 c＝ r′－r 2 ，所以离心率 e＝ c a ＝ r′－r r＋r′＋2R ，解得 r′＝ 1＋e 1－e r＋ 2e 1－e R，故选 A. 答案：A 12．解析：解法一 由已知得 2b＝2，故 b＝1.∵△F1AB 的面积为 2－ 3 2 ，∴ 1 2 (a－c)b＝ 2－ 3 2 ，∴a－c＝2－ 3，又 a2－c2＝(a－c)(a＋c)＝b2＝1，∴a＝2，c＝ 3，∴ 1 |PF1| ＋ 1 |PF2| ＝ |PF1|＋|PF2| |PF1||PF2| ＝ 4 |PF1|4－|PF1| ＝ 4 －|PF1|2＋4|PF1| ，又 2－ 3≤|PF1|≤2＋ 3，∴1≤－|PF1|2＋4|PF1|≤4，∴1≤ 1 |PF1| ＋ 1 |PF2| ≤4，即 1 |PF1| ＋ 1 |PF2| 的取值 X 围为[1,4]．故选 D. 解法二 依题意得 2b＝2，b＝1.由△F1AB 的面积为 2－ 3 2 得 1 2 (a－c)b＝ 2－ 3 2 ，a－c ＝2－ 3.又 a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝b2＝1，∴a＝2，c＝ 3.设点 P(x0，y0)，其中－2≤x0≤2， 高考 - 11 - / 12 则|PF1|＝a＋ex0＝2＋ 3 2 x0，|PF2|＝a－ex0＝2－ 3 2 x0， 1 |PF1| ＋ 1 |PF2| ＝ 1 2＋ 3 2 x0 ＋ 1 2－ 3 2 x0 ＝ 16 16－3x2 0 ∈[1,4]，即 1 |PF1| ＋ 1 |PF2| 的取值 X 围是[1,4]，选 D. 解法三 依题意得 2b＝2，b＝1.由△F1AB 的面积为 2－ 3 2 得 1 2 (a－c)b＝ 2－ 3 2 ，a－c ＝2－ 3.又 a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝b2＝1∴a＝2，c＝ 3.设点 P(x0，y0)，其中－2≤x0≤2， 则|PF1|＝a＋ex0＝2＋ 3 2 x0，|PF2|＝a－ex0＝2－ 3 2 x0，|PF1|·|PF2|＝4－ 3 4 x2 0∈[1,4]， ∴ 1 |PF1| ＋ 1 |PF2| ＝ |PF1|＋|PF2| |PF1|·|PF2| ＝ 4 |PF1|·|PF2| ∈[1,4]，即 1 |PF1| ＋ 1 |PF2| 的取值 X 围是[1,4]，选 D. 答案：D 13．解析： 如图，不妨设点 B 是椭圆短轴的上端点，则点 D 在第四象限内，设点 D(x，y)． 由椭圆的定义得|DF1|＋|DF2|＝2a，|BF1|＝|BF2|＝a， 又|DF1|＝|DB|＝|DF2|＋|BF2|＝|DF2|＋a， ∴(|DF2|＋a)＋|DF2|＝2a，解得|DF2|＝ a 2 . 作 DE⊥x 轴于 E， 则有|DE|＝|DF2|sin∠DF2E＝ a 2 × b a ＝ b 2 ， 高考 - 12 - / 12 |F2E|＝|DF2|cos∠DF2E＝ a 2 × c a ＝ c 2 ， ∴|OE|＝|OF2|＋|F2E|＝c＋ c 2 ＝ 3c 2 ， ∴点 D 的坐标为 3c 2 ，－ b 2 . 又点 D 在椭圆上， ∴ 3c 2 2 a2 ＋ － b 2 2 b2 ＝1，整理得 3c2＝a2， ∴e＝ c a ＝ 3 3 . 答案： 3 3