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考点 31 空间几何体的表面积与体积
【命题趋势】
空间几何体的表面积与体积的求解是高考的重点，会单纯出现在选择题或填空题中，我们要
重点了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.
【重要考向】
一、柱体、锥体、台体的表面积
二、柱体、锥体、台体的体积
三、球的表面积和体积
四、空间几何体表面积和体积的最值
柱体、锥体、台体的表面积
柱体、锥体、台体的表面积
1．旋转体的表面积
圆柱（底面半径为 r，
母线长为 l）
圆锥（底面半径为 r，
母线长为 l）
圆台（上、下底面半径分别为
r′,r,母线长为 l）
侧面展开
图
底面面积 2π底S r 2π底S r 2 2,π π上底 下底S r S r
侧面面积 2π侧S rl π侧S rl π侧S l r r
表面积 2π表S r r l π表S r r l 2 2π表S r r r l rl
2．多面体的表面积
多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积.棱锥、棱台、棱柱的侧面
2
积公式间的联系：
【巧学妙记】
1．已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何
体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．
2．多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部
分的处理，以确保不重复、不遗漏.
3．求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体
的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.
【典例】
1.（2021·江西抚州市·高三其他模拟）如图为某几何体的三视图，则该几何体的的表面积为
（ ）
A．18 4 2 B．18 6 2 C．28 D．30
【答案】B
【分析】
先由三视图还原几何体为三棱锥，利用三视图中的数据，根据表面积公式计算即可．
【详解】
解：由三视图可知，原几何体是如图所示的三棱锥 A-BCD，其中 AB 平面 BCD，BC CD ，
3
因为 AB 平面 BCD，所以 AB DC ，
又 AB BC B ，所以 DC 平面 ABC ，所以 DC AC ，
所以该几何体的表面积为： 1 1 1 13 3 3 4 3 2 4 3 5 18 6 22 2 2 2S ．
故选：B．
2.（2021·高三其他模拟）一个空间几何体的主视图，侧视图是周长为 8，
一个内角为 60的菱形，俯视图是圆及其圆心（如图），那么这个几何体的表面积为
__________.
【答案】 4
【分析】
由三视图还原几何体，该几何体由两个有公共底面且全等的圆锥构成，圆锥的底面直径为 2，
母线长度为 2，可得答案.
【详解】
由三视图可知，该几何体由两个有公共底面且全等的圆锥构成，
由主视图，侧视图是周长为 8，一个内角为 60的菱形可得，这两个圆锥的底面半径为 2，
母线长为 2，
所以每个圆锥的底面圆的周长为 2
每个圆锥的侧面积为： 1 2 2 22
4
所以该几何体的表面积为 2 2 4
故答案为： 4
3.（2021·全国高一课时练习）一个圆柱的底面面积是 S，其侧面积展开图是正方形，那么该
圆柱的侧面积为____.
【答案】4πS
【分析】
根据底面面积可得底面半径 R＝ S
，从而求得周长，在根据侧面积展开图是正方形即可得
解.
【详解】
设圆柱的底面半径为 R，则 S＝πR2，
所以 R＝ S
，底面周长 c＝2πR.
故圆柱的侧面积为 S＝c2＝(2πR)2＝4π2· S
＝4πS.
故答案为：4πS
柱体、锥体、台体的体积
柱体、锥体、台体的体积
1．柱体、锥体、台体的体积公式
几何体 体积
5
柱体 柱体V Sh (S 为底面面积，h 为高), 2π圆柱V r h (r 为底面半径，h 为高)
锥体 1
3锥体V Sh (S 为底面面积，h 为高)， 21
3 π圆锥V r h (r 为底面半径，h 为高)
台体
(1
3 )台体V S S S S h (S′、S 分别为上、下底面面积，h 为高)，
2 2
3 π1
圆台V h r r r r (r′、r 分别为上、下底面半径，h 为高)
2．柱体、锥体、台体体积公式间的关系
【巧学妙记】
（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差；
（2）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等.
【典例】
4.（2021·河南高一期中）在三棱锥 P ABC 中， 5PA PB BC AC ，
2AB PC ，则三棱锥 P ABC 的体积为（ ）
A． 2 2
3
B． 2 3
3
C． 2
3 D． 2 5
3
【答案】C
6
【分析】
将三棱锥 P ABC 可放置在适当的长方体中，即可根据题中数据，求出结果.
【详解】
由题意知，三棱锥 P ABC 可放置在如图所示的长方体中，
则三棱锥 P ABC 的体积为 P ABCV 1 1 21 2 1 4 1 2 13 2 3
.
故选： C .
5.（2021·全国高三其他模拟）如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几
何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．19π
2 B． 38π
2 C．19π D．38π
【答案】B
【分析】
根据三视图可得该几何体为一圆台的一半，然后进行计算可得答案.
【详解】
根据三视图可得该几何体为一圆台的一半，
对应圆台的上底面半径 1 2r ，下底面半径 3R ，高 4h ，
则该几何体的体积 2 21 π 38π2 2 3 3 42 3 3V .
故答案为：B.
【点睛】
关键点点睛：解题的关键是由三视图确定直观图的形状，再利用相应的体积公式求解即可，
7
属于简单题．
6.（2021·全国高一课时练习）如图所示，某几何体的下半部分为正方体 ABCD A B C D ，
上半部分为正四棱锥 S ABCD ，若几何体的高为 5 ，棱 2AB ，则该几何体的体积为
_______.
【答案】12
【分析】
本题可通过正方体的体积与正四棱锥的体积得出结果.
【详解】
正方体的体积 3
1 2 8V ，
正四棱锥的体积 ( )2
1 2 2 5 2 43V = 创 � = ，
则该几何体的体积 1 2 12V V V= + = ，
故答案为：12 .
球的表面积和体积
球的表面积和体积
1．球的表面积和体积公式
设球的半径为 R，它的体积与表面积都由半径 R 唯一确定，是以 R 为自变量的函数，其
表面积公式为 24πR ，即球的表面积等于它的大圆面积的 4 倍；其体积公式为 34 π3 R .
8
2．球的切、接问题（常见结论）
（1）若正方体的棱长为 a ，则正方体的内切球半径是 1
2 a ；正方体的外接球半径是 3
2 a ；
与正方体所有棱相切的球的半径是 2
2 a ．
（2）若长方体的长、宽、高分别为 a ，b ，h ，则长方体的外接球半径是 2 2 21
2 a b h ．
（3）若正四面体的棱长为 a ，则正四面体的内切球半径是 6
12 a ；正四面体的外接球半
径是 6
4 a ；与正四面体所有棱相切的球的半径是 2
4 a ．
（4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直
径．
（5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．
【巧学妙记】
1．确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积
和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径.
2．球与几种特殊几何体的关系：(1)长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对
角线长；(2)正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为 3∶1；(3)直棱柱
的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，
直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)球与圆柱的底面
和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；(5)球与圆台
的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．
3．与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水
的容积之间的关系，正确建立等量关系.
4．有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的
有关问题解决.球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面圆的半径 r 之间满足关系
式： 2 2d R r .
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【典例】
7.（2021·四川遂宁市·高三三模）已知在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，且
2, .6a A 又点 , ,A B C 都在球O 的球面上，且点O 到平面 ABC 的距离为 5 ，则球O 的
体积为（ ）
A．12 B． 63
2
C．36 D． 45
【答案】C
【分析】
设三角形 ABC 的外接圆的圆心为 O',根据球的截面性质可知 OO'⊥平面 ABC,利用正弦定理求
得 AO',计算球的半径，进而求得体积.
【详解】
设三角形 ABC 的外接圆的圆心为 O',根据球的截面性质可知 OO'⊥平面 ABC,
如图所示，∵ 2, 6a A ,∴AO'= 22
a
sinA
,
∴OA= '2 '2 22 5 3,AO OO
∴球的体积为 34 363V R ,
故选：C.
8.（2021·浙江高二期末）某几何体的三视图如图，正视图和侧视图是两个全等的半圆，俯视
图中圆的半径为 1，则该几何体的体积为（ ）
10
A． 4
3
B． 2
3
C． 4 D． 2
【答案】B
【分析】
由三视图可知，该几何体是半径为 1 的半球，即可求出体积.
【详解】
由三视图可知，该几何体是半径为 1 的半球，如图，
则该几何体的体积为 31 4 212 3 3
.
故选：B.
9.（2021·贵州高三期末）在三棱锥 S ABC 中， 90SBA SCA ，底面 ABC 是等边
三角形，三棱锥 S ABC 的体积为 3 ，则三棱锥 S ABC 的外接球表面积的最小值是
（ ）
A．12 B． 24 C． 6 D．10
11
【答案】A
【分析】
分别设出三棱锥的底面边长和高，利用体积为 3 ，则可得出其关系式.再利用三棱锥的底面
边长和高表示出三棱锥 S ABC 的外接球半径，即可利用基本不等式得出其半径的最小值，
即可求出其表面积的最小值.
【详解】
设三棱锥外接球的球心为O ，三棱锥底面边长和高分别为 a ，h .底面 ABC 的外接圆半径为
r ，则 3
3r a .
由题意可知 SA是三棱锥 S ABC 的外接球的一条直径，则 21 3 33 4S ABCV a h ，即
2 12a h .
设三棱锥 S ABC 的外接球半径为 R ，球心到底面 ABC 的距离为
2
hd .则
2 2
2 2 2 2 21 1 4 2 2 33 4 4 4
h hR r d a h h h h
，
故三棱锥 S ABC 的外接球表面积为 24 12R .
故选：A.
空间几何体表面积和体积的最值
求解空间几何体表面积和体积的最值问题
有两个思路：
一是根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面
图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；
二是利用基本不等式或是建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数的方法或者利
用导数方法解决.
【典例】
10.（2021·辽宁高三月考）已知球与棱长为 2 的正方体的各条棱都相切，则球内接圆柱的侧
12
面积的最大值为（ ）
A． 2 B． 4 C． 6 D． 20
【答案】B
【分析】
由题意可知球的直径等于正方体的面对角线长，即 2R ，得出
圆柱高与 R 的关系，结合圆柱侧面积公式和二次函数的性质即可得出结果.
【详解】
由题意知球的直径等于正方体面的对角线长，
所以球的半径 2R ，设圆柱的高为 h ，则底面圆半径
2 2
2r= = 22 4
h hR
，
所以 2 221=2 =2 2 h=2 4 44 4
hS rh h 侧面积
当 2 4h 时取得最大值，且最大值为 4 .
故选 B
【点睛】
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接
点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为
正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球
面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
11.（2021·全国高三二模）已知长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 外接球的体积为36 ， 1 2 5AA ，
则矩形 ABCD 面积的最大值为__________．
【答案】8
【分析】
先根据条件分析出外接球的半径，然后根据长方体外接球的半径与棱长的关系，求解出
2 2AB AD 的值，利用基本不等式可求解出 ADAB 的最大值，从而矩形 ABCD 面积的最
大值可求.
【详解】
设长方体的外接球的半径为 R ，
13
又长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 外接球的体积为36 ，所以 34 363 R ，所以 3R ，
又因为长方体的体对角线为外接球的直径，所以 2 2 2 2
12 =R AA AB AD ，
所以 2 2 4 9 20 16AB AD ，所以 2 16AB AD ，
所以 8AB AD ，取等号时 2 2AB AD ，
所以矩形 ABCD 面积的最大值为8 ，
故答案为：8 .
【点睛】
结论点睛：长方体、正方体的外接球的半径和棱长的关系：
（1）已知长方体的长、宽、高分别为 , ,a b c ，则长方体外接球的半径
2 2 2
2
a b cR ；
（2）已知正方体的棱长为 a ，则正方体外接球的半径为 3
2
aR .
12.（2021·江苏高一月考）《九章九术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早
一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，
一侧棱垂直于底面的四棱锥，如图，在堑堵 1 1 1ABC A B C 中， 1, 2AC BC A A AB ，
则阳马 1 1B A ACC 体积的最大值为（ ）
14
A． 8
3 B． 4
3 C． 2
3 D． 1
3
【答案】B
【分析】
设 ,AC x BC y ，可得到阳马 1 1B A ACC 体积的表达式，进而根据 2 2 4x y ，并结
合基本不等式，可求出阳马体积的最大值.
【详解】
根据题意，设 ,AC x BC y ，
∵ 1AA 底面 ABC ，且 BC 平面 ABC ，
∴ 1AA BC ，
又∵ BC AC ，且 1AC AA A∩ ， 1,AC AA 平面 1 1A ACC ，
∴ BC 平面 1 1A ACC ，
∴阳马 1 1B A ACC 体积为 1 23V xy ，
又∵ 2 2 4x y ，
根据基本不等式得， 2 2 2 2 22x y x y xy ，当且仅当 2x y 时取等号，
即 2xy ，
∴阳马 1 1B A ACC 体积为 1 423 3V xy .
故选：B.
15
一、单选题
1．木升子是一种民间称量或盛装粮食的工具(如图所示)，呈正棱台形，一般由四块梯形木
和一块正方形木组成，其上口是一个正方形，下面是一个封口较小的正方形.现有一木升子
(厚度忽略不计)，其上口周长为 52 cm ，下口周长为 40 cm ，侧面等腰梯形腰长为 8 cm ，则
该木升子的侧面积约为（ ）(结果精确到 0.1 2cm ，参考数据： 247 15.72 )
A．90.4 2cm B．180.8 2cm C．361.6 2cm D．368.0 2cm
2．若一个圆锥和一个圆柱的轴截面分别是边长为 m 的正三角形和边长为 m 正方形，则这两
个旋转体的侧面积之比为（ ）
A．1:3 B．1: 2 C． 3 : 4 D． 3 : 2
3．如图为某几何体的三视图，则该几何体的的表面积为（ ）
A．18 4 2 B．18 6 2 C．28 D．30
4．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为 16，当细沙全部在上面
的圆锥内时，其高度为圆锥高度的 1
2
（中间衔接的细管长度忽略不计）．当细沙全部漏入下
部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积为（ ）
16
A． 4 5 B．8 5 C．32 17 D．16 17
5．某四棱台的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A． 44 12 3 B． 40 12 5
C． 40 12 3 D． 44 12 5
6．《九章算术》卷五《商功》中，把正四棱台形状的灿筑物称为“方亭”，沿“方亭”上底面的
一对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组
成的几何体称为“刍甍”.现记截面之间几何体体积为 1V ，“刍甍”的体积为 2V ，若 2
1
1
3
V
V
，则“方
亭”的上､下底面边长之比为（ ）
A． 5 1
2
B． 5 1
4
C． 5 1
2
D． 5 1
4
7．已知表面积为 48 的球O 有一内接正方体 1 1 1 1ABCD A B C D ， E 为棱 BC 的中点，则
OAE△ 的面积为（ ）
17
A．3 B． 2
3
C． 4 6 D． 2 6
8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为 2 的等腰直角三角形，
俯视图是圆心角为 π
2
的扇形，则该几何体的表面积为（ ）．
A． π 22
B． 2π 22
C． 1 2 1 π 22
D． 1 2 2 π 22
9．如图所示是某几何体的三视图，图中的四边形都是边长为 a 的正方形，侧视图和俯视图
中的两条虚线都互相垂直，已知几何体的体积为 20
3
，则 a=（ ）
A．3 B． 3 C．2 D． 2
二、填空题
18
10．已知 E、F 分别是长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱 AB、 1 1A B 的中点，若 2 2AB ，
1 2AD AA ，则四面体 1C DEF 的外接球的体积为________．
11．如图，在三棱锥 P ABC 中， 6PB PC AB AC ， 2 2BC ， 2AP ，
则三棱锥 P ABC 外接球的表面积为______．
12．已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 1，以顶点 A 为球心，以 1 为半径作一个球，
球面将正方体分割的两部分，则两部分几何体体积差的绝对值为___________．
13．已知正三棱柱木块 1 1 1ABC A B C ，其中 2AB ， 1 3AA ，一只蚂蚁自 A 点出发经过
线段 1BB 上的一点 M 到达点 1C ，当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，两部分几何体的
体积比为______.
14．圆柱内接于球，圆柱的底面半径为 3，高为 8，则球的表面积为____.
三、双空题
15．已知圆台的体积为14 2
3
π cm3，母线长为 3cm，高为 2 2 cm，则圆台的侧面展开图（扇
环）的圆心角的大小为______，它的侧面积为______cm2．
16．阿基米德是古希腊的一位著名的数学家，有一种空间几何体便以他的名字命名为“阿基
米德立体”.“阿基米德立体”是一种高度对称的“半正多面体”(如图)，并且都是可以从正多面体
经过截角､截半､截边等操作构造而成，它的所有顶点都是正多面体各棱的中点，且它的三个
视图全都一样.现将一个棱长为 10 cm 的正方体木块加工成一个“阿基米德立体”工艺品，则
所得的“阿基米德立体”工艺品共有___________个面，其表面积为___________ 2cm .
19
四、解答题
17．如图，平面四边形 ABPC ，其中 6, 10AB BC AC CP BP ．将 PBC 沿 BC
折起，使 P 在面 ABC 上的投影即为 1A A, 在线段 PA 上，且 14PA PA ， 1B 为 PB 中点，过
1 1A B 作平面 ，使 BC 平行于平面 ，且平面 与直线 ,AB AC 分别交于 D、E，与 PC 交
于 G．
（1）求 AD
DB
的值；
（2）求多面体 1B BCGDE 的体积．
一、单选题
1．（2019·浙江高考真题）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不
容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh柱体 ，其中S 是柱体的底面积，
h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是
20
A．158 B．162
C．182 D．32
2．（2020·全国高考真题（理））已知 , ,A B C 为球 O 的球面上的三个点，⊙ 1O 为 ABC 的
外接圆，若⊙ 1O 的面积为 4π ， 1AB BC AC OO ，则球O 的表面积为（ ）
A． 64π B． 48π C．36π D．32π
3．（2020·浙江高考真题）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单
位：cm3）是（ ）
A． 7
3 B． 14
3 C．3 D．6
4．（2020·北京高考真题）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表
面积为（ ）．
21
A． 6 3 B． 6 2 3 C．12 3 D．12 2 3
5．（2020·天津高考真题）若棱长为 2 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积
为（ ）
A．12 B． 24 C．36 D．144
6．（2021·浙江高考真题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A． 3
2 B．3 C． 3 2
2
D．3 2
7．（2019·全国高考真题（理））已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，
△ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，∠CEF=90°，则球 O 的体积为
A．8 6 B． 4 6 C． 2 6 D． 6
22
8．（2020·全国高考真题（理））已知△ABC 是面积为 9 3
4
的等边三角形，且其顶点都在球 O
的球面上.若球 O 的表面积为 16π，则 O 到平面 ABC 的距离为（ ）
A． 3 B． 3
2 C．1 D． 3
2
9．（2021·全国高考真题（理））已如 A，B，C 是半径为 1 的球 O 的球面上的三个点，且
, 1AC BC AC BC ，则三棱锥O ABC 的体积为（ ）
A． 2
12
B． 3
12
C． 2
4
D． 3
4
二、填空题
10．（2020·江苏高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已
知螺帽的底面正六边形边长为 2 cm，高为 2 cm，内孔半径为 0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的
体积是____cm.
11．（2020·海南高考真题）已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，M、N 分别为 BB1、AB 的
中点，则三棱锥 A-NMD1 的体积为____________
12．（2011·全国高考真题（理））已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上，且
6, 2 3AB BC ，则棱锥O ABCD 的体积为_____．
13．（2016·天津高考真题（理）） 已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥
的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.
23
三、解答题
14．（2019·上海高考真题）如图，在正三棱锥 P ABC 中，
2, 3PA PB PC AB BC AC
（1）若 PB 的中点为 M ， BC 的中点为 N ，求 AC 与 MN 的夹角；
（2）求 P ABC 的体积.
一、单选题
1．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））古希腊数学家欧几里德在其著作《几何
原本》中定义了相似圆锥：两个圆锥的高与底面的直径之比相等时，则称这两个圆锥为相似
圆锥.已知圆锥 SO 的底面圆O 的半径为 3，其母线长为 5.若圆锥 S O 与圆锥 SO 是相似圆锥，
且其高为 8，则圆锥 S O 的侧面积为（ ）
A．15 B． 60 C．96 D．120
2．（2021·山东泰安市·高一月考）四棱锥 P ABCD ，底面 ABCD 为平行四边形，点Q 满
足 3PC PQ ，设四棱锥 P ABCD 的体积为V ，则三棱锥 Q PBD 的体积为（ ）
A．
4
V B．
8
V C．
3
V D．
6
V
24
3．（2021·重庆高三其他模拟）已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 2，E 为 A1B1 的中点，
下列说法中正确的是（ ）
A．ED1 与 B1C 所成的角大于 60°
B．点 E 到平面 ABC1D1 的距离为 1
C．三棱锥 E﹣ABC1 的外接球的表面积为 125 2
24
D．直线 CE 与平面 ADB1 所成的角为
4
4．（2021·河南商丘市·高二月考（理））如图，在三棱锥 D ABC 的平面展开图中，B ，A ，
2D 三点共线，C ，A ， 1D 三点共线， 1AB AC ， 1 2AD ， 3
4cos 5BD C ， 3BCD△
的面积为 3
2
，则三棱锥 D ABC 的外接球表面积为（ ）
A． 4 B． 6 C．12 D． 24
5．（2021·辽宁沈阳市·高一月考）直三棱柱 ABC A B C ， AB AC ， AB ， AC ， AA
分别为 2，3，4，则它的外接球表面积为（ ）
A． 29 2 B． 29 C． 25 2 D． 200
二、多选题
6．（2021·重庆高三其他模拟）在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E、F 分别为 BB1、
DD1 的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．平面 A1BD⊥平面 A1ACC1
B．直线 BC1 与平面 ACC1A1 所成角为 30°
C．直线 A1E 与直线 AC 所成角为 45°
D．四棱锥 A﹣A1ECF 的体积为 1
3
7．（2021·黑龙江大庆市·高一月考）在南方不少地区，经常看到一种用木片、
竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩
斗笠”，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标
25
进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长 20 厘米，帽底宽 20 3 厘米，关于此斗笠，下列
说法不正确的是（ ）
A．斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为 120°
B．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为100 3 平方厘米
C．若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为1600 平方厘米
D．此斗笠放在平面上，可以完全盖住的球（保持斗笠不变形）的最大半径为 20 3 30 厘
米
8．（2021·福建高三三模）已知正四棱锥的侧面积为 4 3 ，当该棱锥的体积最大时，以下结
论正确的是（ ）
A．棱锥的高与底面边长的比为 2
2
B．侧棱与底面所成的角为 60
C．棱锥的每一个侧面都是等边三角形
D．棱锥的内切球的表面积为 8 4 3
9．（2021·全国高三其他模拟）如图，在棱长为 2 的正四面体 P-ABC 中，D､E 分別为 AB､AC
上的动点(不包含端点)，F 为 PC 的中点，则下列结论正确的有（ ）
26
A．DE+EF 的最小值为 3 ；
B．若 E 为 AC 中点，则 DF 的最小值为 2 ；
C．若四棱锥 F-BDEC 的体积为 2
4
，则 DE 的取值范围是 131, 2
D．若 1
2BE FE ，则 CE=1
三、填空题
10．（2021·河南商丘市·高二月考（理））已知球 O 内有一圆锥，圆锥的顶点及底面圆周在球
面上，且球的半径与圆锥底面圆的半径的比值为 2 3
3
，则球的体积与圆锥的体积的比值为
___________.
11．（2021·黑龙江大庆市·高一月考）已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长均
为 2，其内有 9 个小球，球 1O 与正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的六个面都相切，球 2O ， 3O ，
4O ， 5O ， 6O ， 7O ， 8O ， 9O 与正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 三个面和球 1O 都相切，则球 2O
的半径等于____________．
四、双空题
12．（2021·全国高三其他模拟）将三个边长为 6 的正方形分别沿相邻两边中点裁剪而成(1､2)
部分，与正六边形组合后图形如图所示，将此图形折成封闭的空间几何体，则这个几何体的
体积是___________，外接球表面积为___________.
27
13．（2021·山东泰安市·高一月考）如图，平面四边形
, 90 , 120 , 2ABCD B D A AB AD ，将 ACD 沿 AC 折起到 PAC 的位
置，此时二面角 B AC P 的大小为 60 ，连接 BP ，则三棱锥 P ABC 外接球的表面积
为______;三棱锥 P ABC 的体积为___________.
14．（2021·济南市·高一期中）球面几何是几何学的一个重要分支，在刚海､
航空､卫星定位等方面都有广泛的应用.如图，A，B，C 是球而上不在同一大圆(大圆是过球心
的平面与球面的交线)上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为 AB，BC，CA，
由这三条劣弧组成的图形称为球面△ABC.已知地球半径为 R，北极为点 N，P､Q 是地球表面
上的两点.
①若 P，Q 在赤道上，且经度分别为东经 40°和东经 100°，则球面△NPQ 的面积为
___________.②若 2 6
3NP NQ PQ R ，则球面 NPQ△ 的面积___________.
15．（2021·江苏高一月考）每年的农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称
棕籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时
期楚国大臣､爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为 1 的正三角形
构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，该六面体由正四面体
M ABC 和 N ABC ，则其中正四面体 M ABC 的内切球半径为___________；若该六
面体内有一球，则该球半径的最大值为___________.
28
参考答案
跟踪训练
1．C
【分析】
先求侧面梯形的的高，即可求出该木升子的侧面积.
【详解】
由题意可得该木升子上口边长约为 13cm，下口边长约为 10cm，故侧面等腰梯形的高
h=
2(13 10) 24764 4 2
(cm)，
所以该木升子的侧面积为 2
247(13 10) 24 361.6 cm2S
.
故选：C.
2．B
【分析】
由已知圆锥和圆柱的轴截面形状，分别得到圆锥、圆柱的底面半径和母线长，根据圆锥和圆
柱的侧面积公式，即可求解.
【详解】
圆锥轴截面是边长为 m 的正三角形，
所以圆锥的底面半径为
2
m ，母线长为 m ，
29
侧面积
2
1 2 2
m mS m ，
圆柱的轴截面是边长为 m 正方形，
所以圆柱的底面半径为
2
m ，母线长为 m ，
侧面积 2
2 2 2
mS m m ，
所以 1
2
1
2
S
S
.
故选：B.
3．B
【分析】
先由三视图还原几何体为三棱锥，利用三视图中的数据，根据表面积公式计算即可．
【详解】
解：由三视图可知，原几何体是如图所示的三棱锥 A-BCD，其中 AB 平面 BCD，BC CD ，
因为 AB 平面 BCD，所以 AB DC ，
又 AB BC B ，所以 DC 平面 ABC ，所以 DC AC ，
所以该几何体的表面积为： 1 1 1 13 3 3 4 3 2 4 3 5 18 6 22 2 2 2S ．
故选：B．
4．D
【分析】
首先求得细沙在上部容器时小圆锥的底面半径为 4，进而求出小棱锥的体积，接着求出流入
下部后的圆锥形沙堆的高，最后求出沙堆的侧面积.
【详解】
细沙在上部容器时的体积 21 1284 83 3V ，
30
流入下部后的圆锥形沙堆底面半径为 8，设高为 1h ，
则 2
1
1 12883 3h ，
所以 1 2h ，
下部圆锥形沙堆的母线长 2 28 2 2 17l ，
故此沙堆的侧面积 8 2 17 16 17S 侧 ．
故选：D.
【点睛】
圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面
积是侧面积与底面圆的面积之和．
5．D
【分析】
先通过三视图找到几何体的原图，再求几何体的表面积.
【详解】
由三视图还原几何体，如图所示：
该是棱台的上底面是边长为 2 的正方形，面积 1 2 2 4S
下底面是边长为 4 的正方形，面积 2 4 4 16S
面 1 1A B BA 与面 1 1A D DA都是直角梯形，上底为 2，下底为 4，高为 4，面积
3
(2 4) 42 242S
面 1 1B C CB 与面 1 1C D DC 是直角梯形，上底为 2，下底为 4，高为 2 22 4 2 5 ，
31
4
(2 4) 2 52 12 52S
所以该几何体的表面积为 4 16 24 12 5 44 12 5S
故选：D
【点睛】
方法点睛：本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际
形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线
在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确
定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.
6．A
【分析】
设“方亭”的上底面边长为 a ，下底面边长为b ，高为 h ，通过 2 21 ( )3V h a ab b ，转化求
解体积的比值即可．
【详解】
解：设“方亭”的上底面边长为 a ，下底面边长为b ，高为 h ，
则 2 21 ( )3V h a ab b ，
2
1
1 1( ) ( )2 2V ha a b h a ab ，
2 2 2 2 2
2 1
1 1 1( ) ( ) ( 2 )3 2 6V V V h a ab b h a ab h a ab b ，
2 2 2
2
2 21
1 (2 ) 2 ( )1 16
1 3 3( ) ( )2
a ah b a abV b b
a aV h a ab b b
．即 2 22 ( ) ( )a a a a
b b b b
解得 5 1
2
a
b
或 5 1
2
a
b
（舍去）
故选： A ．
7．D
【分析】
根据球的表面积可求出球的半径，即可得出正方体的边长.再由O E、 在正方体内的为支持
关系可求出OA OE AE、 、 的长度，即可求出 OAE△ 的面积.
32
【详解】
因为球O 的表面积为 48 ，
所以球的半径 2 3R ，
所以内接正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长 4a ，
球心O 为正方体的体对角线的中点，即为 1AC 的中点，
所以 2 3OA ，
因为 E 为 BC 的中点，
所以 2 2 2 24 2 2 5AE AB BE ，
设 F 为正方形 ABCD 的中心，
所以
2 2
2 2
1
1 1 2 2 2 22 2OE AB AA
，
在 OAE△ 中， 2 22 2 22 3 2 2 20OA OE AE ，
所以OA OE ，
所以 1 2 62OAES OA OE △
故选：D.
8．C
【分析】
根据几何体的三视图转换为直观图为 1
4
的圆锥，进一步求出答案.
【详解】
根据几何体的三视图转换为直观图为：以底面半径 2r ，高 2h 的圆锥的 1
4 ,
33
母线长为：l 2 2
2 + 2 =2
故 21 1 1 1π 2 2 π 2 2 2 2 2 1 π 24 4 2 2S 表 ．
故选：C．
9．C
【分析】
首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用割补法的应用求出几何体的体积.
【详解】
根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为一个棱长为 a 的正方体挖去一个底面为边
长为 a 的长方形，高为
2
a 的四棱锥构成的几何体 P ABCD ；
如图所示：
故
3
3 21 5
3 2 6
a aV a a = 20
3
，
解得 a=2，
故选：C.
10．13 13
6
【分析】
首先根据锥体的性质，求出外接球的半径，进一步利用公式求出结果．
【详解】
四面体 1C DEF 的外接球就是直三棱柱 1 1DEC D FC 的外接球，
设棱柱 1 1DEC D FC 的底 DEC 的外接圆圆心为G ，三棱柱 1 1DEC D FC 的外接球球心为O ，
34
DEC 的外接圆半径 r ． 22 2(2 ) 2r r ，解得 3
2r ，
外接球的半径 2 2 13
2R OG GC ，
四面体 1C DEF 的外接球的体积为
34 13 13
3 6
R ，
故答案为：13 13
6
11． 28
3
【分析】
画出图形，设 BPC△ ， ABC 的外接圆的圆心分别为 1O ， 2O ，过 1O ， 2O 分别作 PD ，
AD 的垂线相交于点O ，证明 1OO 平面 PBC ， 2OO 平面 ABC ，则O 为三棱锥
P ABC 外接球的球心，最后求出表面积．
【详解】
如图，取 BC 的中点 D ，连 PD ， AD ，可得 2CD BD ， 6 2 2PA AD ，
可得 PAD△ 为等边三角形，设 BPC△ ， ABC 的外接圆的圆心分别为 1O ， 2O ，有
2 2 2
1 1O B BD O D ，有 2 2
1 12 (2 )O B O B ，解得 1
3
2O B ，同理可知 2
3
2O B ，在
APD△ 所在平面中过 1O ， 2O 分别作 PD ， AD 的垂线相交于点O ，由 BC AD ，
BC PD⊥ 可知 BC 平面 PAD ，可知 1OO 平面 PBC ， 2OO 平面 ABC ，故O 为三
35
棱锥 P ABC 外接球的球心，由 1 30ODO ， 1
1
2O D ，可知 1
3
6OO ，
2 2 2 2
1 1
3 3 7( ) ( )2 6 3
OP OO O P ，可知三棱锥 P ABC 外接球的表面积为
2 7 284 4 3 3OP ．
故答案为： 28
3
12． 13
【分析】
求出两部分的体积，再求出差的绝对值，即可得到答案；
【详解】
1 2
1 4 , 18 3 6 6V V ，
1 2| | | (1 ) | 16 6 3V V ，
故答案为： 13
.
13．1:1
【分析】
将正三棱柱 1 1 1ABC A B C 的侧面沿棱 1BB 展开成平面，连接 1AC 与 1BB 的交点即为满足
1AM MC 最小时的点 M ，可知点 M 为棱 1BB 的中点，即可计算出沿着蚂蚁走过的路径
截开木块时两几何体的体积之比.
【详解】
36
将正三棱柱 1 1 1ABC A B C 沿棱 1BB 展开成平面，连接 1AC 与 1BB 的交点即为满足
1AM MC 最小时的点 M .
由于 2AB ， 1 3AA ，再结合棱柱的性质，可得，
一只蚂蚁自 A 点出发经过线段 1BB 上的一点 M 到达点 1C ，当沿蚂蚁走过的最短路径，
M 为 1BB 的中点，因为三棱柱是正三棱柱，所以当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，
两部分几何体的体积比为： 1 1 1 1
: 1:1C AMB A A CBMCV V .
故答案为：1:1.
【点睛】
本题考查棱柱侧面最短路径问题，涉及棱柱侧面展开图的应用以及几何体体积的计算，考查
分析问题解决问题能力，是中档题．
14．100π
【分析】
作出圆柱的轴截面矩形，矩形的外接圆是球的大圆，由轴截面计算出球的半径可得表面积．
【详解】
如图矩形 ABCD 是圆柱的轴截面，矩形的外接圆是球的大圆，O 是球心，也是矩形对角线
交点， AB 中点 1O 是圆柱底面圆心，由圆柱的性质知：O1A＝3，OO1＝4，所以 OA＝5，所
37
以球的表面积为 24 5S 100π.
故答案为：100π．
15． 2π
3 9π
【分析】
设圆台的上下底面半径为 ,r R ( )R r ，利用圆台的体积公式得到 2 2 7R r Rr ，再根
据勾股定理得到 1R r ，联立可得 1, 2r R ，则可得圆台的侧面积，在侧面展开图中可
求出圆心角.
【详解】
设圆台的上下底面半径为 ,r R ( )R r ，
则 2 21 14 22 2( )3 3R r Rr ，化简得 2 2 7R r Rr ，
又因为母线 3l cm，高 2 2h cm，
所以 2 2 2( ) 3 (2 2) 1R r ，即 1R r ，
所以 2 2( 1) ( 1) 7r r r r ，即 2 2 0r r ，解得 1r 或 2r （舍），
所以 1 2R r ，
所以圆台的侧面积为 ( ) 3 (2 1) 9l R r ，
圆台的侧面展开图如图：
38
设小扇形的半径为l ，圆心角为 ，
则 2 2r R
l l l
，所以 2 4
3l l
，
所以 2(3 ) 4l l ，所以 3l ，所以 2
3
，
故答案为： 2π
3
；9π
16．14 100 3 33
【分析】
根据正方体结构特征可知：“阿基米德立体”工艺品共有 8+6=14 个面；
其中包括 8 个全等的等边三角形和 6 个全等的正方形，根据棱长可计算表面积.
【详解】
解：∵正方体有 8 个顶点､6 个面，
∴所得的“阿基米德立体”工艺品共有 8 个全等的三角形面和 6 个正方形面组成，
共计 14 个面；
表面积为： 2 218 (5 2) sin60 6 (5 2) (100 3 300)2
cm2.
故答案为：14；100 3 33 .
【点睛】
本题考查空间几何体的表面积算法，考查数学运算能力和空间想象能力.
17．（1） 3AD
DB
；（2）18 3 ．
【分析】
（1）由线面平行的性质可得 / /BC DE ，过 1A 做 1 / /A M AB ，交 PB 于 M，易得 12BD A M ，
14AB A M ，即可求 AD
DB
；
39
（2）连接 1B C 与 1B E ，可知 1 1 1B BCGDE B BCED G B CEV V V 且
1 1
1
2G B CE B BCEV V ，结合已知
条件分别求出 1B BCEDV 、 1B BCEV ，即可求 1B BCGDE 的体积．
【详解】
（1）∵ / /BC 面 ，且 BC 面 ABC ，面 ABC 面 DE ，
∴ / /BC DE ，
过 1A 做 1 / /A M AB ，交 PB 于 M．得 1 1
1
1
2
A M B M
BD BB
，而 1 1
4
A M
AB
，
∴ 12BD A M ， 14AB A M ，即 16AD A M
∴ 3AD
DB
．
（2）连接 1B C 与 1 1 11 , B BCGDE B BCED G B CEB E V V V ，
由题意知： 1 3B G ， 1B 到面 ADE 的距离
2
PA ，而 2 2 8PA PB AB ，且 9DE ，
又△ BCE 、△ BDE 分别在 BC 、 DE 上的高均为 3 3
2
.
∴ 1 3 3 9 362 2 2BCES
， 1 3 3 27 392 2 4BDES
，则
45 3
4BCED BCE BDES S S .
∴
1
1 4 15 33
45 3
4B BCEDV ，且
1
1 4 6 33
9 3
2B BCEV ，而
40
1 1 1 1
3 31 1
2 2G B CE E B CG E B BC B BCEV V V V ，
∴综上：
1
18 3B BCGDEV ．
【点睛】
关键点点睛：第二问，将多面体拆分为两个棱锥的体积之和，根据已知条件及相关棱锥的体
积的比例关系分别求 1B BCEDV 、 1B BCEV ，进而求出多面体的体积.
真题再现
1．B
【分析】
本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.
常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.
【详解】
由三视图得该棱柱的高为 6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为
4，下底为 6，高为 3，另一个的上底为 2，下底为 6，高为 3，则该棱柱的体积为
2 6 4 63 3 6 1622 2
.
【点睛】
易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、
细心算.
41
2．A
【分析】
由已知可得等边 ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出 1OO 的值，根据球的截面性
质，求出球的半径，即可得出结论.
【详解】
设圆 1O 半径为 r ，球的半径为 R ，依题意，
得 2 4 , 2r r ， ABC 为等边三角形，
由正弦定理可得 2 sin60 2 3AB r ，
1 2 3OO AB ，根据球的截面性质 1OO 平面 ABC ，
2 2 2 2
1 1 1 1 1, 4OO O A R OA OO O A OO r ，
球O 的表面积 24 64S R .
故选：A
【点睛】
本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
3．A
【分析】
根据三视图还原原图，然后根据柱体和锥体体积计算公式，计算出几何体的体积.
【详解】
由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，
且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为 1，
棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为 2，
42
所以几何体的体积为：
1 1 1 1 72 1 1 2 1 2 23 2 2 3 3
.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查根据三视图计算几何体的体积，属于基础题.
4．D
【分析】
首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.
【详解】
由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为 2 的等边三角形，侧面为三个边长为 2 的正方形，
则其表面积为： 13 2 2 2 2 2 sin 60 12 2 32S .
故选：D.
【点睛】
(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从
三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而
表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
43
5．C
【分析】
求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.
【详解】
这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
即 2 2 2
2 3 2 3 2 3
32R
，
所以，这个球的表面积为 2 24 4 3 36S R .
故选：C.
【点睛】
本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础
题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢
复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球
可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，
再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作
两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.
6．A
【分析】
根据三视图可得如图所示的几何体，根据棱柱的体积公式可求其体积.
【详解】
几何体为如图所示的四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D ，其高为 1，底面为等腰梯形 ABCD ，
该等腰梯形的上底为 2 ，下底为 2 2 ，腰长为 1，故梯形的高为 1 21 2 2
，
故 1 1 1 1
1 2 32 2 2 12 2 2ABCD A B C DV ，
故选：A.
44
7．D
【分析】
先证得 PB 平面 PAC ，再求得 2PA PB PC ，从而得 P ABC 为正方体一部分，
进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.
【详解】
解法一: ,PA PB PC ABC 为边长为 2 的等边三角形， P ABC 为正三棱锥，
PB AC ，又 E ， F 分别为 PA 、 AB 中点，
/ /EF PB ， EF AC ，又 EF CE ， ,CE AC C EF 平面 PAC ， PB
平面 PAC ， 2APB PA PB PC ， P ABC 为正方体一部分，
2 2 2 2 6R ，即 36 4 4 6 6, 62 3 3 8R V R ，故选 D．
45
解法二:
设 2PA PB PC x ， ,E F 分别为 ,PA AB 中点，
/ /EF PB ，且 1
2EF PB x ， ABC 为边长为 2 的等边三角形，
3CF 又 90CEF 2 13 , 2CE x AE PA x
AEC 中余弦定理 2 24 3
cos 2 2
x x
EAC x
，作 PD AC 于 D ， PA PC ，
DQ 为 AC 中点， 1cos 2
ADEAC PA x
，
2 24 3 1
4 2
x x
x x
，
2 2 1 22 1 2 2 2x x x ， 2PA PB PC ，又 = = =2AB BC AC ，
, ,PA PB PC 两两垂直， 2 2 2 2 6R ， 6
2R ，
34 4 6 6 63 3 8V R ，故选 D.
【点睛】
本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两
互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．
8．C
【分析】
根据球O 的表面积和 ABC 的面积可求得球O 的半径 R 和 ABC 外接圆半径 r ，由球的
性质可知所求距离 2 2d R r .
【详解】
46
设球O 的半径为 R ，则 24 16R ，解得： 2R .
设 ABC 外接圆半径为 r ，边长为 a ，
ABC 是面积为 9 3
4
的等边三角形，
21 3 9 3
2 2 4a ，解得： 3a ，
2
22 2 99 33 4 3 4
ar a ，
球心O 到平面 ABC 的距离 2 2 4 3 1d R r .
故选：C.
【点睛】
本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键
是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.
9．A
【分析】
由题可得 ABC 为等腰直角三角形，得出 ABC 外接圆的半径，则可求得O 到平面 ABC
的距离，进而求得体积.
【详解】
, 1AC BC AC BC ， ABC 为等腰直角三角形， 2AB ，
则 ABC 外接圆的半径为 2
2
，又球的半径为 1，
设O 到平面 ABC 的距离为 d ，
则
2
2 2 21 2 2d
，
47
所以 1 1 1 2 21 13 3 2 2 12O ABC ABCV S d .
故选：A.
【点睛】
关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到
截面距离的勾股关系求解.
10．12 3 2
【分析】
先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.
【详解】
正六棱柱体积为 236 2 2=12 34
圆柱体积为 21( ) 22 2
所求几何体体积为12 3 2
故答案为： 12 3 2
【点睛】
本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.
11． 1
3
【分析】
利用 1 1A NMD D AMNV V 计算即可.
【详解】
因为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，M、N 分别为 BB1、AB 的中点
48
所以
1 1
1 1 11 1 23 2 3A NMD D AMNV V
故答案为： 1
3
【点睛】
在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些.
12．8 3
【分析】
由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形所在平面的距离，满足勾股定理，
求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积．
【详解】
矩形的对角线的长为： 2 26 (2 3) 4 3
所以球心到矩形所在平面的距离为： 2 24 (2 3) 2
所以棱锥O ABCD 的体积为： 1 6 2 3 2 8 33
本题正确结果：8 3
【点睛】
本题是基础题，考查球内接几何体的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．
13．2
【详解】
试题分析：由三视图知四棱锥高为 3，底面平行四边形的一边长为 2，其对应的高为 1，
因此所求四棱锥的体积 1 (2 1) 3 23V ．故答案为 2．
【考点】三视图、几何体的体积
【名师点睛】①解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出
其直观图．
②三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相
关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．
14．（1） 3arccos 4
；（2） 3
4
49
【分析】
（1）由中位线可知 / /MN PC ，从而所求夹角即为 PCA ，根据余弦定理，可求得余弦值，
从而得到 PCA 的大小；（2）根据正三棱锥的性质，可求得几何体的高 3PO ，再根据
棱锥体积公式求得结果.
【详解】
（1） ,M N 分别为 ,PB BC 中点，可知： / /MN PC
AC 与 MN 夹角即为 AC 与 PC 夹角 PCA
在 PCA 中，由余弦定理可得：
2 2 2 4 3 4 3cos 2 42 2 3
PC AC PAPCA PC AC
3arccos 4PCA
即 AC 与 MN 的夹角为 3arccos 4
（2）作 PO 面 ABC ，连接 AN ，如下图所示：
三棱锥为正三棱锥
O 为 ABC 的中心且落在 AN 上
2 22 2 2 33 13 3 3 4AO AN AB BN
2 2 4 1 3PO PA AO
1 1 1 3 33 3 33 3 2 2 4P ABC ABCV S PO
50
【点睛】
本题考查异面直线所成角、空间几何体体积的求解问题.求解异面直线所成角问题的关键在
于能够通过平行关系将直线进行平移，转化为相交直线所成角的问题.
模拟检测
1．B
【分析】
根据题意，求得圆锥 SO 的底面直径和高，根据圆锥 S O 与圆锥 SO 是相似圆锥，且其高为
8，可得圆锥 S O 的底面直径，进而可得其母线长，代入侧面积公式，即可得答案.
【详解】
由题意得：圆锥 SO 的底面直径为 6，高为 2 25 3 4 ，
所以高与底面直径之比为 4 2
6 3
，
因为圆锥 S O 与圆锥 SO 是相似圆锥，且其高为 8，
所以圆锥 S O 的底面直径为
8 122
3
，则底面半径为 6，
所以圆锥 S O 的母线长为 2 28 6 10 ，
所以圆锥 S O 的侧面积为 1 2 6 10 602
.
故选：B
2．D
【分析】
根据底面为平行四边形，可知对角线平分底面 ABCD ，三棱锥 P BCD 体积为四棱锥体积
的一半，再根据 3PC PQ 得 2
3Q BCD P BCDV V ，进而得到答案.
【详解】
51
四棱锥 P ABCD ，底面 ABCD 为平行四边形，则 2P ABCD P BCDV V ，
且 3PC PQ ，则 2
3Q BCD P BCDV V ，
那么 1 1
3 6Q PBD P BCD Q BCD P BCD P ABCDV V V V V ，
即三棱锥Q PBD 的体积为
6
V .
故选：D
3．D
【分析】
利用平行线转移求异面直线成角的正切值，判断 A 错误；利用平行线上点到平面的距离相
等求点到面距离，判断 B 错误；先判断三棱锥 1E ABC 的外接球即四棱锥 1 1E ABC D 的外
接球，再结合球中几何关系求球的半径，再求表面积，判断 C 错误；利用线面成角的定义求
正弦值，判断 D 正确.
【详解】
对于 A，取 DC 中点 F，连接 1,EF D F ，则 1D EF 为 ED1 与 B1C 所成的角，因为
1 1 5, 2 2D F D E EF ，所以
2
2
1
1
1
2 3tan 31 2
2
D E EF
D EF
EF
，故
1 60D EF ，即 A 错误；
52
对于 B，由 1 1 //A B 平面 1 1ABC D 知， 1B 到平面 1 1ABC D 的距离等于 E 到平面 1 1ABC D 的距
离，连接 1B C ，交 1BC 于G ，则 1B G 平面 1 1ABC D ，而 1 2B G ，故 E 到平面 1 1ABC D
的距离为 2 ，即 B 错误；
对于 C，三棱锥 1E ABC 的外接球即四棱锥 1 1E ABC D 的外接球.因为四边形 1 1ABC D 是矩
形， 1 1 12, 2 2, 5AB BC EA EB EC ED ，四棱锥 1 1E ABC D 的高为 2 ，设
四棱锥 1 1E ABC D 的外接球半径为 R，则 2 22 3 2R R ，解得 5 2
4
R .
所以三棱锥 1E ABC 的外接球的表面积为
2
2 5 2 254 4 4 2S R
，即 C 错误；
对于 D，连接 1DC ，取 1DC 的中点 H，连接 1DB ，交 EC 于 K，连接 CH，HK，因为 1 //EB DC ，
所以 CKH 是直线 CE 与平面 ADB1 所成的角， 1
1 1,2 2EB DC EK CK ，故 2
3CK CE ，
在直角三角形 CKH 中， 2 2, 23CK CE CH ， 2sin 2
CHCKH CK
，
4CKH ，即 D 正确.
故选：D.
4．B
【分析】
首先根据还原的直观图，分析可得 , ,AB AC AD 三条线两两垂直，再利用补体计算求得外接
球的表面积.
【详解】
53
首先根据平面展开图，还原三棱锥的直观图，由条件可知 ABD ACD ，
所以设 BD DC a ，因为 3
4cos 5BD C ，所以 3
3sin sin 5BD C BDC ，
21 3 3
2 5 2BDCS a ，得 5a ，
因为 2AD ， 1AB AC ，所以 2 2 2AB AD BD ，即 AD AB ，
同理， AD AC ，
根据条件 2, ,B A D 三点共线，所以 AB AC ，
所以 , ,AB AC AD 三条线两两垂直，那么三棱锥的外接球的半径满足
2 2 22 6R AB AC AD ，得 6
2R ,
所以三棱锥外接球的表面积 24 6S R .
故选：B
5．B
【分析】
结合直三棱柱的特点，底面为直角三角形，则侧面 1 1BCB C 的对角线 1BC 为外接球的直径，
即可求出球的半径，得到表面积.
【详解】
根据题意可知，直三棱柱底面为直角三角形，斜边为 BC，
则侧面 1 1BCB C 的对角线 1BC 为外接球的直径，
2 2 2
1 1 4 9 16 29BC AB AC AA ，则半径为 29
2
，
54
外接球表面积为 2294 ( ) 292
.
故选：B
6．ABD
【分析】
根据正方体性质证明 BD⊥平面 A1ACC1，即证平面 A1BD⊥平面 A1ACC1，判断 A 正确；结合
BD⊥平面 A1ACC1，利用线面角的定义判断 B 正确；根据 E 在线段 BB1 中点上，判断
1 1 90A EC ，即知 1 1EAC 不为 45，判断 C 错误；利用体积公式计算四棱锥的体积即
可判断 D 正确.
【详解】
对于 A，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中， 1AA 底面 ABCD ，则 1AA BD ，又 AC BD ，
1AA 与 AC 相交于平面 A1ACC1 内，故 BD⊥平面 A1ACC1，故平面 A1BD⊥平面 A1ACC1，选项 A
正确；
对于 B，BD⊥平面 A1ACC1，直线 BC1 与平面 ACC1A1 所成角为 1OC B ，而 1BDC 是等边三
角形， 1 60OBC ，故 1 30OC B ，故选项 B 正确；
对于 C， 1 1A EC△ 为等腰三角形，E 为 BB1 的中点，易见 1 1 90A EC ，故 1 1EAC 不为 45，
故直线 A1E 与直线 AC 所成角，即直线 A1E 与直线 1 1AC 所成角 1 1EAC ，不为 45°，选项 C
错误；
对于 D，如图，菱形 A1ECF 的面积为 1 1 62 32 2 2S EF AC ，
55
易见 //EF BD，故 EF⊥平面 A1ACC1，平面 A1ECF⊥平面 A1ACC1，故点 A 到平面 A1ACC1 的距
离 h ，即直角三角形 1AAC△ 中，点 A 到底边 1AC 的距离，即 1
1
1 2 2
3 3
AA ACh AC
，
故四棱锥 A﹣A1ECF 的体积为 1 1 6 2 1
3 3 2 33
V Sh ，故选项 D 正确.
故选：ABD.
7．ACD
【分析】
根据母线长与底面半径用正弦可求顶角；当顶角为90 是面积最大；根据顶角与母线长即可
求外接球半径；根据三角开内切圆几何关系即可求解半径．
【详解】
对 A 选项，设顶角为 ，则 10 3 3sin 2 20 2
，得 602
，所以顶角为 120 = ° ，A
正确；
对 B 选项，因为顶角为 90 时，则截面三角形的最大面积为 21 20 sin90 2002
平
方厘米，B 错误；
对 C 选项，因为顶角为 120 = ° ，则 602
，所以外接球半径等于圆锥母线长，即 20R ，
则该球的表面积为 24 1600R 平方厘米，C 正确；
对 D 选项，设球的最大半径为 r ，因为顶角为120，则 15OCD ，所以
tan 45 tan30tan15 10 3 1 tan 45 20 3 30tan30r CD
，D 正确．
56
故选：ACD
8．ACD
【分析】
设底面边长为 2a ，侧棱长为b ，求出棱锥体积，通过构造函数，求导可知当 1a ，及 2b
时棱锥体积最大，然后再逐项判断即可.
【详解】
设底面边长为 2a ，侧棱长为b ，则 2 2 2 214 2 4 4 32 a b aS b a a 侧面 ，即
2 2 3a b a ，
而
2 2 2
2 2 2 21 4 2(2 )3 3
a b aV a b a a ，又 2 2 3a b a ，
故
2
2 2 6
2
4 3 4 33 3
aV a a aa
，
设 2 6 4( ) 3 (0 3)f a a a a ，则
5 4 26 6 6 1 6 1 (1 )( )' 1a a a a af aa a a ，
易知函数 f a 在 0,1 单调递增，在 4(1, 3) 单调递减，
∴当 1a 时， f a 取得最大值，此时棱锥的体积最大，且 2b ，
∴底面边长为 2，侧棱长为 2， 3PE ， 2OP ，
∴棱锥的高与底面边长的比为 2
2
，选项 A 正确；
侧棱与底面所成的角为 PBO ，而 2sin 2
OPPBO PB
，则 45PBO ，选项 B 错
误；
由于底面边长与侧棱长均为 2，故侧面为等边三角形，选项 C 正确；
57
设内切球的半径为 r ，由于 4 2
3P ABCDV ， 1 34 4 2 2 4 4 32 2S
表 ，
∴ 4 2 2 6 2
24 4 3 1 3
3Vr S
表
，
∴
2( 6 2)4 (8 4 3)4S 内 ，选项 D 正确.
故选：ACD.
9．BC
【分析】
（1）将平面 PAC 和平面 BAC 沿 AC 边展开为平面四边形 PABC 即可求解；
（2）设 PD=m，易知 m≥ 3 ，又有 PAD CAD，所以 CD=PD=m，又 DF⊥PC，根据勾股
定理即可求解；
（3）由 1 1
3 2F BDEC BDECV PO S 得 3 3
4BDECS ，又
1 sin2 3ADE ABC BDECS AD AE S S ，所以 1,AD AE ，又 0 2AE ，可得
1 22 AD ，再利用余弦定理及均值不等式即可求解 DE 的取值范围；
（4）由 ·BE FE BC CE FC CE 即可求解.
【详解】
解：对于 A 选项，如下展开图
58
易知 AF⊥AB，则有 DE+EF≥AF= 3 ，又因为 D､E 不能是端点，故有 DE+EF> 3 ，没有最小值，
A 错误；
对于 B 选项，设 PD=m，易知 m≥ 3 ，又有 PAD CAD，所以 CD=PD=m，
连接 DF，则有 DF⊥PC，故 2 1 2DF m ，B 正确；
对于 C 选项，设等边 ABC 的中心为 O，连接 PO，
易知 PO⊥平面 ABC，则 4 2 64 3 3PO ，
所心 1 1 6 2
3 2 9 4F BDEC BDEC BDECV PO S S 得 3 3
4BDECS ，
所以 3
4ADE ABC BDECS S S
，又 1 sin2 3ADES AD AE ，
则有 1,AD AE ，又 0 2AE ，可得 1 22 AD ，
所以 2 2 2
2
1 131 1, 2DE AD AE AD AE AD AD
，C 正确；
对于 D 选项，设 CE=t， 2 3 1· 1 2 2BE FE BC CE FC CE t t ，
59
解得 1
2t 或 1，即 1
2CE 或 1，D 错误；
故选：BC.
10． 32
9
或 32
3
【分析】
根据题意，找出球心到圆锥底面圆距离 d 与圆锥底面圆的半径 r 的关系，结合勾股定理与体
积公式，即可求解.
【详解】
根据题意，设球O 的半径为 R ，圆锥高为 h ，底面圆的半径为 r ，故 2 3
3R r ，
因球O 的球心到圆锥底面圆的距离： d h R ，
所以由勾股定理得： 2 2 2d r R ，即 3h r 或 3
3h r ，
又因
3
2
4 32 3
3 9
1
3
R rV
V hr h
球
圆锥
，
所以 32
9
V
V
球
圆锥
或 32
3 .
故答案为： 32
9
或 32
3 .
11． 2 3
【分析】
根据题意，可得球 2O 与球 1O 的球心在一条直线上，且在对角线上，根据图象，结合三角
形相似，可求得球 2O 的半径 2R ，即可求得答案.
【详解】
因为其他 8 个球都与正方体三个面和球 1O 都相切，
所以球 2O 与球 1O 的球心在一条直线上，且在对角线上，
60
设球 2O 的球心与在同一条对角线上最近的顶点距离为 x，如图所示，为正方体的一个对角
面，
即 1 2AO x ， 1 1 11, 3R AO
根据相似可得 2 2
1 13
R Rx
R
①，
又 1 2 3x OO ，所以 1 2 3x R R ②，
①②联立解得 2
3 1 2 3
3 1
R
.
故答案为： 2 3 .
12．108 75
【分析】
（1）设 P 在底面的射影为 O，过 O 作 OH⊥EF 过点 H，易得 DE=DC=3 2 ， 3 6
2OH ，
由折叠得到 3 2 9 26 2 2 2PH ，进而求得 PO，PQ,再由 PQ，PR，PS 两两垂直，分
别求得 P QRSV ， Q AKFV ，然后由 P QRS Q AKFV V 求解.
（2）易得多面体球心O 在 OP 上，设球半径为 R，然后由 2 2O A O O OA ，即
2 2 2(3 3 ) (3 2)R R ，求得半径即可.
【详解】
（1）如图所示：
61
设 P 在底面的射影为 O，过 O 作 OH⊥EF 过点 H，DE=DC=3 2 ，
3 6
2OH ，斜线 3 2 9 26 2 2 2PH ，
∴高
2 2
9 2 3 6 3 32 2PO
，
3 6OQ .
2 2 27 54 81 9PQ PO OQ ，
易知 PQ，PR，PS 两两垂直，且 PQ=PR=PS=9，
31 97296 8P QRSV 且 31 99 6 3, 36 2Q AKFQK V ，
∴所求多面体体积 972 9 3 1088 2V .
（2）设 AF，BC，DE 中点分別为 U，V，W
易知 U，V，W 分别为 AKF， BCM， DEN 的外心
∴多面体球心O 在 OP 上，设球半径为 R，
O P O A R ，
3 6 3 23 3 , ,2 2OO R OU UA ，
2 2 2 2(3 3 ) (3 2)O A O O OA R ，
2 2 2(3 3 ) (3 2)R R ，
62
5 327 6 3 18 0 2R R ，
2
5 34 752S
13．16 3
【分析】
根据题意，可知 APC△ 、 ABC 都是以 AC 为斜边的直角三角形，故三棱锥 P ABC 外
接球的球心为 AC 中点，直径为 AC ，即可求出三棱锥 P ABC 外接球的表面积；结合题
意求出点 P 到平面 ABC 的距离，即可得到三棱锥 P ABC 的体积.
【详解】
由 90B D ，可知三棱锥 P ABC 外接球的直径为 AC ，
三棱锥 P ABC 外接球的半径 cos60 22 2
AB
ACR ，
故三棱锥 P ABC 外接球的表面积 24 16S R ；
由题意得点 P 到直线 AC 的距离 sin 60 3d AP ，
因二面角 B AC P 的大小为 60 ，
所以点 P 到平面 ABC 的距离 3sin 60 2h d ，
故三棱锥 P ABC 的体积 1 1 2 2 3 3 33 3 2 2ABCV S h .
故答案为：16 ； 3 .
14．
2
3
R 2R
【分析】
利用 PQ 所在的经度求出球面三角形 PNQ 面积，再利用已知可得三角形 PNQ 为等边三角
形，进而可以求解．
【详解】
解： PQ 在赤道上，且经度分别为 40和100 ，
63
上半球面面积为 2 21 4 22 R R ，
球面 PNQV 面积为
2
260 2360 3
RR
，
当 2 6
3
RNP NQ PQ 时， PNQV 为等边三角形，
根据题意构造一个正四面体 N PQS ，如图所示：
其中心为O ，O 是高 NH 的靠近 H 的四等分点，
则 1cos cos 3
OH OHNOP HOP OP ON
，
由余弦定理可得：
2 2 2 2 2
2
2 1cos 2 2 3
ON OP PN R PNNOP ON OP R
，
解得 2 6
3PN R ，正好为题目所给的长度，
所以球面 PNQ 的面积为 2 21 44PNQS R R ，
故答案为：
2
3
R ； 2R ．
15． 6
12
6
9
【分析】
利用等体积法求出内切圆的半径，要使该球体积取最大值时，即球与六个面都相切，由对称
性，可知球心即为 ABC 的中心，设球心为O ，且该球与 MD 相切，过球心O 作OE MD ，
利用等面积法求出OE 即可；
【详解】
解：在棱长为 1 的正四面体 M ABC 中，如图取 BC 的中点 D ，连接 AD ，作 M 在面 ABC
内的射影 1O ，则 3
2AD ，所以
2
2 2 2
1 1
3 61 3 3MO AM AO
，
64
1 3 312 2 4ABCS
设内切球的半径为 r ，由等体积法可得 1 3 6 1 343 4 3 3 4M ABCV r ，解得
6
12r ；
当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，即球与六个面都相切，由对称性，可知球心
即为 ABC 的中心，设球心为O ，且该球与 MD 相切，
过球心O 作OE MD ，则OE 就是球半径，
1 1
2 2MO OD MD OE ，
即 1 6 3 1 3
2 3 6 2 2 OE ，解得 6
9OE
球半径 6
9R OE ，
故答案分别为： 6
12
， 6
9
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