第三章 函数专练 5—单调性（2）
一、单选题
1．函数 2 21( )2
x xy 的单调递增区间是 ( )
A．[ 1 ， ) B． ( ， 1] C．[1， ) D． ( ，1]
2．若函数 3 2( ) 2 1f x x x mx 在 ( , ) 内单调递增，则 m 的取值范围是 ( )
A． 4
3m
B． 4
3m C． 4
3m D． 4
3m
3．已知函数 ( ) xf x x m
，若函数 ( )f x 在区间 (2, ) 上单调递减，则实数 m 的取值范围为
( )
A． (0,2) B． (0 ， 2] C．[2 ， ) D． (2, )
4．已知定义在[0 ， ) 上的单调减函数 ( )f x ，若 1(2 1) ( )3f a f ，则 a 的取值范围是 ( )
A． 2( , )3
B． 1 2( , )2 3 C． 2( , )3
D． 1 2[ , )2 3
5．已知函数 ( ) | | 2f x x x x ，则下列结论正确的是 ( )
A．递增区间是 (0, ) B．递减区间是 ( , 1)
C．递增区间是 ( , 1) D．递增区间是 ( 1,1)
6．已知函数
5, 1
( ) 1 , 1
ax x
f x
xx
是 R 上的减函数，则 a 的范围是 ( )
A． ( ,0) B．[ 4 ， ) C． ( , 4) D．[ 4 ， 0)
7．已知函数 1( )f x xx
，若 3(log 2)a f ， 0.1( )b f e ， 3
3( )
ln
c f e ，则 a ， b ， c 的
大小关系是 ( )
A． b c a B． a b c C． c b a D． a c b
8．已知定义域为 R 的函数 ( )f x 在[2 ， ) 单调递减，且 (4 ) ( ) 0f x f x ，则使得不等
式 2( ) (2 ) 0f x x f x 成立的实数 x 的取值范围是 ( )
A． 4 1x B． 1x 或 3x C． 3x 或 1x D． 4x 或 1x
二、多选题
9．下列函数中，在 (0,1) 内是减函数的是 ( )
A． | |1( )2
xy B． 2
1
2
logy x C． 1
2 1y x
D． 2log siny x
10．已知函数 3( ) 3xf x x ，若 0 1m n ，则下列不等式一定成立的有 ( )
A． (1 ) ( 1)f m f n B． (2 ) ( )f mn f m n
C． (log ) (log )m nf n f m D． ( ) ( )n mf m f n
11．若函数 ( )f x 同时满足：①对于定义域上的任意 x ，恒有 ( ) ( ) 0f x f x ；②对于定义
域上的任意 1x ， 2x ，当 1 2x x 时，恒有 1 2( ) ( )f x f x ，则称函数 ( )f x 为“理想函数”．下
列四个函数中能被称为“理想函数”的有 ( )
A． 1( )f x x
B． ( ) 2f x x
C． 2( )f x x D．
2
2
, 0( )
, 0
x xf x
x x
12 ． 如 果 定 义 在 R 上 的 函 数 ( )f x ， 对 任 意 两 个 不 相 等 的 实 数 1x ， 2x ， 都 有
1 1 2 2 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )x f x x f x x f x x f x ，则称函数 ( )f x 为“ H 函数”，下列函数是“ H 函数”
的有 ( )
A． 1xy e B． 3 2(sin cos )y x x x
C． 3 23 3 1y x x x D． | |, 0
, 0
ln x xy x x
三、填空题
13．已知函数 | 1|1( ) ( )2
xf x ，则 ( )f x 的单调递增区间是 ．
14．若函数 ( ) 1
axf x x
在区间 (0, ) 是严格增函数，则实数 a 的取值范围是 ．
15．已知函数
2
2
3 , 0( )
3 , 0
x x xf x
x x x
，若 2( 3) (2 ) 0f a f a ，则实数 a 的取值范围为 ．
16．已知函数 3( ) 2 3f x x x ， 2( ) logg x x m ，对任意的 1x ， 2 [1x ，4]有 1 2( ) ( )f x g x
恒成立，则实数 m 的取值范围是 ．
四、解答题
17．已知函数 ( ) ( 0)2
axf x ax
．
（1）判断函数 ( )f x 在区间 ( 2,2) 上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（2）若 f （3） 3 ，求 [ 1x ，1]时函数 ( )f x 的值域．
18．已知函数 1( ) 2 2
x
xf x ．
（1）判断 ( )f x 在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
（2）解关于 x 的不等式 2(log )f x f （1）．
19．已知函数 3 7( ) 2
xf x x
．
（1）求函数的单调区间；
（2）当 ( 2,2)m 时，有 2( 2 3) ( )f m f m ，求 m 的范围．
20．已知函数 2( ) | 1| | 1|f x x m x a 有最小值 f （2） 4 ，
（a）作出函数 ( )y f x 的图象，
（b）写出函数 (1 2 )f x 的递增区间．
第三章 函数专练 5—单调性（2）答案
1．解：令 2 2t x x ，
则 1( )2
ty ，
由 2 2t x x 的对称轴为 1x ，
可得函数 t 在 ( ,1) 递增，[1， ) 递减，
而 1( )2
ty 在 R 上递减，
由复合函数的单调性：同增异减，
可得函数 2 21( )2
x xy 的单调递增区间是[1， ) ，
故选： C ．
2．解：函数 3 2( ) 2 1f x x x mx 在 ( , ) 内单调递增，
2( ) 3 4 0f x x x m
恒成立，
即△ 16 4 3 0m ，
解得 4
3m
；
m 的取值范围是 4
3m
．
故选： A ．
3．解：根据题意，函数 ( ) 1x x m m mf x x m x m x m
，
由函数 my x
向左 ( 0)m 或向右 ( 0)m 平移| |m 个单位，向上平移 1 个单位得到，
若函数 ( )f x 在区间 (2, ) 上单调递减，必有 0
2
m
m
，则 0 2m ，
即 m 的取值范围为 (0 ， 2]，
故选： B ．
4．解：根据题意， ( )f x 是定义在[0 ， ) 上的单调减函数，
若 1(2 1) ( )3f a f ，则有 10 2 1 3a ，解可得 1 2
2 3a ，
即 a 的取值范围为 1[2
， 2)3
，
故选： D ．
5．解：
2
2
2 , 0( ) | | 2
2 , 0
x x xf x x x x
x x x
，
当 0x
时， ( )f x 的开口向下，对称轴为 1x ，
单调递增区间为[0 ，1) ，单调递减区间为 (1, ) ；
当 0x 时， ( )f x 的开口向上，对称轴为 1x ，
单调递增区间为 ( 1,0) ，单调递减区间为 ( , 1) ，
综上，函数 ( )f x 的单调递增区间为 ( 1,1) ，单调递减区间为 ( , 1) 和 (1, ) ．
故选： D ．
6．解：因为函数
5, 1
( ) 1 , 1
ax x
f x
xx
是 R 上的减函数，
所以 0
5 1
a
a
，解得 4 0a ，即 a 的取值范围为[ 4 ， 0) ．
故选： D ．
7．解：根据题意，函数 1( )f x xx
，其定义域为 (0, )
其导数 2 2
1 1 1 1( ) ( ) 0
2 2
f x x xx x
，则 ( )f x 在其定义域上为减函数，
3 3
10 log 2 log 3 2
， 0.1 0 1e e ，
3
3 3
3
ln
e ，则有 3
0.13
3log 2
ln
e e ，
则 b c a ，
故选： A ．
8．解： (4 ) ( ) 0f x f x ，则 ( )f x 关于 (2,0) 对称，
因为 ( )f x 在[2 ， ) 单调递减，
( )f x 在 R 上单调递减，且 ( 1) (3 )f x f x ，
2 2( ) (2 ) 0 ( ) (4 2 ) 0f x x f x f x x f x ，
2( ) (4 2 )f x x f x ，
2 4 2 1x x x x 或 4x ，
故选： D ．
9．解： (0,1)x 时， | |1 1( ) ( )2 2
x xy ， | |1( )2
xy 在 (0,1) 上是减函数；
令 2t x ， (0,1)t ， 2t x 在 (0,1) 上是增函数， 1
2
y log t 在 (0,1) 上是减函数，
2
1
2
y log x 在
(0,1) 上是减函数；
1
2 1y x
在 (0,1) 上是减函数；
令 sint x ， (0,sin1)t ， sint x 在 (0,1) 上是增函数， 2logy t 在 (0,sin1) 上是增函数，
2log siny x 在 (0,1) 上是增函数．
故选： ABC ．
10．解：根据题意，函数 3( ) 3xf x x ，易得 ( )f x 在 R 上为增函数，
对于 A ，无法判断1 m 与 1n 的大小，故 (1 ) ( 1)f m f n 不一定成立， A 错误，
对于 B ，若 0 1m n ，则有 2 mn m n ，则 (2 ) ( )f mn f m n ， B 正确，
对于 C ，当 1
2n ， 2m 时， log log 1m mn n ，则有 (log ) (log )m nf n f m ， C 错误，
对于 D ，若 0 1m n ，则 n mm n ，则有 ( ) ( )n mf m f n ， D 正确，
故选： BD ．
11．解：若：①对于定义域上的任意 x ，恒有 ( ) ( ) 0f x f x ，则 ( ) ( )f x f x ，即 ( )f x
是奇函数，
若；②对于定义域上的任意 1x ， 2x ，当 1 2x x 时，恒有 1 2( ) ( )f x f x ，则函数 ( )f x 为减函
数，
即满足既是奇函数又是减函数的函数为“理想函数”．
A ． 1( )f x x
是奇函数，在定义域上不单调，不满足条件.
B ． ( ) 2f x x 是奇函数，在定义域上是减函数，满足条件，
C ． 2( )f x x 是偶函数，不满足条件．
D ．作出函数 ( )f x 的图象如图：由图象知函数 ( )f x 既是奇函数又是减函数的函数，满足“理
想函数”，
故选： BD ．
12．解：因为对任意两个不相等的实数 1x ， 2x ，都有 1 1 2 2 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )x f x x f x x f x x f x 恒
成立，
所以不等式等价于 1 2 1 2( )[ ( ) ( )] 0x x f x f x 恒成立，
故函数 ( )f x 是 R 上的增函数，
对于选项 A ，函数 1xy e 为 R 上的增函数，
故 1xy e 是“ H 函数”，
故选项 A 正确；
对于选项 B ，函数 3 2(sin cos )y x x x ，
所以 3 2(cos sin ) 3 2 2 sin( ) 04y x x x ，
故函数 3 2(sin cos )y x x x 是 R 上的增函数，
故 3 2(sin cos )y x x x 是“ H 函数”，
故选项 B 正确；
对于选项 C ，函数 3 23 3 1y x x x ，
则 2 23 6 3 3( 1) 0y x x x
，
故函数 3 23 3 1y x x x 是 R 上的增函数，
故 3 23 3 1y x x x 是“ H 函数”，
故选项 C 正确；
对于选项 D ，函数 | |, 0
, 0
ln x xy x x
，
当 0x 时， y lnx 是增函数，
当 0x 时， ( )y ln x 是单调减函数，不符合定义，
故选项 D 错误．
故选： ABC ．
13．解：
1
| 1|
1
1( ) 11( ) ( ) 22 2 1
x
x
x
xf x
x
；
( )f x 在 ( ,1) 上单调递增；
即 ( )f x 的单调递增区间为 ( ,1) ．
故答案为： ( ,1) ．
14．解：设 1 2 0x x ，
则 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
( )( ) ( ) 1 1 ( 1)( 1)
ax ax a x xf x f x x x x x
，
若函数 ( ) 1
axf x x
在区间 (0, ) 是严格增函数，
则 1 2
1 2
1 2
( )( ) ( ) 0( 1)( 1)
a x xf x f x x x
，
1 1 0x ， 2 1 0x ， 1 2 0x x ，
0a ，
故答案为： (0, ) ．
15．解：因为
2
2
3 , 0( )
3 , 0
x x xf x
x x x
的图象如图所示，
故 ( )f x 为单调递增的奇函数，
若 2( 3) (2 ) 0f a f a ，
则 2( 3) (2 ) ( 2 )f a f a f a ，
所以 2 3 2a a ，即 2 2 3 0a a ，
解得， 1a 或 3a ．
故 a 的取值范围{ | 1a a 或 3}a ．
故答案为：{ | 1a a 或 3}a ．
16．解：函数 3 2( ) 2 3 ( 1) 2f x x x x 在[1，4]上单调递增， 2( ) logg x x m 在[1，4]
上单调递增，
对任意的 1x ， 2 [1x ， 4]有 1 2( ) ( )f x g x 恒成立，
则 ( )f x 的最小值大于 ( )g x 的最大值，即 f （1） g （4），即 2 2 m ， 0m ，
故答案为： ( ,0) ．
17．解：（1）当 0a 时，函数 ( )f x 在区间 ( 2,2) 上递增，当 0a 时，函数 ( )f x 在区间 ( 2,2)
上递减，
证明如下：设 1 22 2x x ，
则 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
2 ( )( ) ( ) 2 2 ( 2)( 2)
ax ax a x xf x f x x x x x
，
又由 1 22 2x x ，则 1 2 0x ， 2 2 0x ， 1 2( ) 0x x ，
当 0a 时， 1 2( ) 0a x x ，此时 1 2( ) ( ) 0f x f x ，则 ( )f x 在区间 ( 2,2) 上递减，
同理：当 0a 时，函数 ( )f x 在区间 ( 2,2) 上递增；
（2）若 f （3） 3 ， f （3） 3 3 33 2
a a ，则 1a ，
此时函数 ( )f x 在区间[ 1 ，1]上递增，则 ( )maxf x f （1） 1
3
， ( ) ( 1) 1minf x f ，
即函数的值域为[ 1 ， 1]3
．
18．解：（1） 1( ) 2 2 (2 ) ( )2
x x x
xf x f x ，则函数 ( )f x 是奇函数，
则当 0x
时，设 1 20 x x ，
则
2 1
1 2 1 2
1 2 1 21 2
1 1 2 2( ) ( ) 2 2 2 22 2 2 2
x x
x x x x
x x x xf x f x
1 2
1 2
1 2
2 2 1(2 2 ) 2 2
x x
x x
x x
，
1 20 x x ，
1 21 2 2x x ，即 1 22 2 0x x ， 1 22 2 1x x ，
则 1 2( ) ( ) 0f x f x ，即 1 2( ) ( )f x f x ，
则 ( )f x 在[0 ， ) 上是增函数，
( )f x 是 R 上的奇函数，
( )f x 在 R 上是增函数．
（2） ( )f x 在 R 上是增函数，
不等式 2(log )f x f （1）等价为不等式 2log 1x ，
即 0 2x ．
即不等式的解集为 (0,2) ．
19．解：（1） 2 2
3 6 3 7 1( ) 0( 2) ( 2)
x xf x x x
；
函数 ( )f x 在 ( , 2) ， ( 2, ) 上单调递减，即该函数的单调递减区间是： ( , 2) ，
( 2, ) ；
（2） ( 2,2)m 时， 2 3 ( 1,7)m ， 2 [0m ， 4) ；
即 2 3m 和 2m 都在 ( )f x 的递减区间 ( 2, ) 上；
由 2( 2 3) ( )f m f m 得： 22 3m m ，解得 3m ，或 1m ，又 ( 2,2)m ，
1 2m ；
m 的范围是 (1,2) ．
20．解：（a）当 1x 时， 2( ) 1f x x mx a m
又函数 2( ) | 1| | 1|f x x m x a 有最小值 f （2） 4 ，
故 22
m ，即 4m
则 2( ) 4 5f x x x a
则 f （2） 4 8 5 4a ，故 5a
则 2( ) | 1| 4| 1| 5f x x x
则
2
2
2
4 8, 1
( ) 4 2, 1 1
4 , 1
x x x
f x x x x
x x x
其函数的图象如图：
（b）由（1）我们可得函数 ( )y f x 在区间 ( ， 2] ，[ 1 ， 2]上单调递减，
在区间[ 2 ， 1] ，[1， ) 上单调递增，
又函数 (1 2 )f x 的内函数为减函数，
( )y f x 在区间 ( ， 2] ，[ 1 ，2]上单调递减，故令1 2 (x ， 2] 或1 2 [ 1x ，2]，
得 1[ 2x ，1]或 3[2x ， ) ，
故函数 (1 2 )f x 的递增区间为 1[ 2
，1]， 3[2
， )
微信/支付宝扫码支付