2022届高三数学一轮复习 第三章 函数专练4—单调性

第三章 函数专练 4—单调性（1） 一、单选题 1．下列函数中，在 ( ,0) 上单调递减的是 ( ) A． sin2 xy  B． 2 3 1 xy x   C． 3 1log ( )y x   D． 2 4y x x  2．函数 ( ) sinf x x x  ， 1( )3a f ln ， ( 3)b f lg ， 1 2(2 )c f ，则 a ，b ，c 的大小关系为 ( ) A． a b c  B． a c b  C． b c a  D． b a c  3．函数 2( ) 1 xf x x   的单调递增区间是 ( ) A． ( , 1)  B． ( 1,1) C． (1, ) D． ( , 1)  和 (1, ) 4．函数 ( )f x 对于任意 x R ，恒有 1( ) ( )2f x f x  ，那么 ( ) A．可能不存在单调区间 B． ( )f x 是 R 上的增函数 C．不可能有单调区间 D．一定有单调区间 5．若函数 | |y x a   与 1 ay x   在区间[1，2]上都是严格减函数，则实数 a 的取值范围为 ( ) A． ( ,0) B． ( 1 ， 0) (0 ，1] C． (0,1) D． (0 ，1] 6．若幂函数 ( )f x 的图象过点 2 1( , )2 2 ，则函数 ( )( ) x f xg x e  的递减区间为 ( ) A． (0,2) B． ( ,0) 和 (2, ) C． ( 2,0) D． ( ， 0) (2 ， ) 7．已知函数 (3 1) 1, 2( ) log ( 1) , 2a a x xf x x a x       „ 是定义在 R 上的减函数，则实数 a 的取值范围为 ( ) A． 1(0, )3 B． 1(0, )2 C． 1( ,1)2 D． 1 1[ , )5 3 8．已知实数 0a  ， 1a  ，函数 2 , 1 ( ) 4 , 1 xa x f x x alnx xx      … 在 R 上单调递增，则实数 a 的取值 范围是 ( ) A． 2 5a„ „ B． 5a  C． 3 5a  D．1 2a „ 二、多选题 9．下列函数 ( )f x 中，满足对任意 1x ， 2 (1, )x   ，有 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x   的是 ( ) A． 2( ) 2( 1) 2f x x    B． 3( ) 1f x x   C． 1( ) 1f x x   D． ( ) | 4 |f x x  10．函数 2( ) 1 x af x x   在区间 ( , )b  上单调递增，则下列说法正确的是 ( ) A． 2a   B． 1b   C． 1b … D． 2a   11．已知实数 x ， y 满足 3 3 1 1log log ( ) ( )3 3 x yx y   ，则下列结论正确的是 ( ) A． 1 1 x y  B． 3 3x y C． 2 1x y  D． ( ) 0ln y x  12 ． 定 义 域 为 R 的 函 数 ( )y f x ， 对 任 意 两 个 不 相 等 的 实 数 1x ， 2x ， 都 有 1 1 2 2 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )x f x x f x x f x x f x   ，则称函数为“ Z 函数”，现给出如下函数，其中为“ Z 函数”的有 ( ) A． 3 1y x x    B． 3 2(sin cos )y x x x   C． 2 (2 )x xy e ln e   D． 1 sin x xy e e     三、填空题 13．函数 2( ) 2f x x x  的单调递增区间是 ． 14．已知函数 1 5( ) | | ( 0)2f x x xx     ，则 ( )f x 的递减区间是 ． 15．已知定义在 R 上的函数 ( )f x 满足 ( ) (2 )f x f x  ，且对任意的 1x ， 2 [1x  ， ) ，当 1 2x x 时 ， 都 有 1 1 2 2 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )x f x x f x x f x x f x   成 立 ． 若 ( 2)a f ln ， 0.2(log 0.03)b f ， 0.7(2 )c f ，则 a ， b ， c 的大小关系为 ．（用符号“  ”连接） 16．已知函数 2 1 , 1( ) 2 ( 2), 1a x ax xf x log x x          „ 是减函数，则实数 a 的取值范围为 ． 四、解答题 17．已知函数 f ( x ) | |x a  ，g ( x ) x 2 2 1ax  ( a 为正常数），当 0x  时， 函数 f ( x ) g ( x ) ． （1）求 a 的值； （2）求函数 f ( x ) g ( x ) 的单调递增区间． 18．已知定义域为实数集 R 的函数 1 1 2( ) 2 2 x xf x    ． （1）判断函数 ( )f x 在 R 上的单调性，并用定义证明． （2）若不等式 2 2(2 3 ) (2 )f t t f t   成立，求实数 t 的取值范围． 19．已知函数 3 2( ) log 2 xf x x   ． （Ⅰ）求函数 ( )f x 的定义域； （Ⅱ）讨论函数 ( )f x 的奇偶性； （Ⅲ）证明：函数 ( )f x 在定义域上单调递减． 20．设 a 为实数，函数 2( ) ( ) | | ( 1)f x x a x a a a      ． （1）若 (0) 1f „ ，求 a 的取值范围； （2）讨论 ( )f x 的单调性． 第三章 函数专练 4—单调性（1）答案 1．解：由于 siny x 在 ( ,0) 不单调， sin2 xy  在 ( ,0) 上不单调， A 错误； 2 3 521 1 xy x x     在 ( ,0) 上不单调， B 错误； 根据复合函数的单调性可知， 3 1log ( )y x   在 ( ,0) 上单调递增， C 错误； 2 4y x x  的开口向上，对称轴 2x  ， 根据二次函数的性质可知 2 4y x x  在 ( ,0) 上单调递减， D 正确． 故选： D ． 2．解： ( ) sinf x x x  ， ( ) 1 cos 0f x x    … ， ( )f x 在 R 为增函数， 1 3 10lg lg lg  ， 0 3 1lg   ， 又 1 1 03ln ln  ，  1 2 12 3 3lg ln  ， c b a   ． 故选： A ． 3．解： 0x  时， 1( ) 1f x x x   ，  1y x x   在 ( 1,0) ， (0,1) 上单调递减， ( )f x 在 ( 1,1) 上单调递增，即 ( )f x 的单调递增区间是 ( 1,1) ． 故选： B ． 4．解：根据题意，函数 ( )f x 对于任意 x R ，恒有 1( ) ( )2f x f x  ， 则 ( )f x 的解析式可以为 2,1 1.5 ( ) 1,0.5 1 0,0 0.5 x f x x x        „ „ „ ，满足 1( ) ( )2f x f x  ，不是增函数，没有单调 区间， 也可以为 ( )f x x ，满足 1( ) ( )2f x f x  ，是增函数，其递增区间为 R ， 则 ( )f x 可能存在单调区间，也可能不存在单调区间，则 A 正确， BCD 错误； 故选： A ． 5．解：因为 | |y x a   与 1 ay x   在区间[1， 2]上都是严格减函数， 所以 1 0 a a    „ ， 故 0 1a „ ． 故选： D ． 6．解：设幂函数 ( )f x x ，它的图象过点 2( 2 ， 1)2 ， 2 1( )2 2   ， 2  ； 2( )f x x  ； 2 ( ) x xg x e   ，则 2 2 2 (2 )( ) x x x x xe x e x xg x e e     ， 令 ( ) 0g x  ，即 (2 ) 0x x  ，解得： 2x  或 0x  ， 故 ( )g x 在递减区间是 ( ,0) 和 (2, ) ， 故选： B ． 7．解：因为函数 (3 1) 1, 2( ) log ( 1) , 2a a x xf x x a x       „ 是定义在 R 上的减函数， 所以有 3 1 0 0 1 2 (3 1) 1 (2 1)a a a a log a            … ，解得 1 1 5 3a „ ， 所以实数 a 的取值范围为 1 1[ , )5 3 ． 故选： D ． 8．解：函数 ( )f x 在 R 上单调递增， 当 1x  时，有 1a  ； 当 1x… 时， 3 2 2 4 2 4( ) 2 0a x axf x x x x x       … 恒成立， 令 3( ) 2 4g x x ax   ， [1x ， ) ，则 2( ) 6g x x a   ， 0a  ， ( ) 0g x  ，即 ( )g x 在[1， ) 上单调递增， ( )g x g … （1） 2 4 2a a     ， 要使当 1x… 时， ( ) 0f x … 恒成立，则 2 0a  … ，解得 2a… ． 函数 ( )f x 在 R 上单调递增，还需要满足 1 41 11a aln „ ，即 5a„ ， 综上， a 的取值范围是 2 5a„ „ ． 故选： A ． 9．解：若 ( )f x 对任意 1x ， 2 (1, )x   ，有 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x   ， 则 ( )f x 在 (1, ) 递减， 对于 : ( )A f x 的对称轴是 1x  ，开口向下， 故 ( )f x 在 (1, ) 递减，符合题意，故 A 正确； 对于 B ：函数 ( )f x 在 (1, ) 递增，故 B 错误； 对于 : ( )C f x 在 (1, ) 递减，符合题意，故 C 正确； 对于 : ( )D f x 在 (1,4) 递减，在 (4, ) 递增，不合题意，故 D 错误； 故选： AC ． 10．解：根据题意， 2 2( 1) 2 2( ) 21 1 1 x a x a af x x x x           ， 可以由函数 2 ay x   的图象向左平移一个单位，向上平移 2 个单位得到， 若函数 2( ) 1 x af x x   在区间 ( , )b  上单调递增，必有 (2 ) 0a   且 1b … ， 解可得： 2a   且 1b … ， 故选： AC ． 11．解：根据题意，设 3 1( ) log ( )3 xf x x  ，易得 ( )f x 在区间 (0, ) 上为增函数， 若 3 3 1 1log log ( ) ( )3 3 x yx y   ， 则 有 3 3 1 1log ( ) log ( )3 3 x yx y   ， 即 ( ) ( )f x f y ， 则 有 0 x y  ， 依次分析选项： 对于 A ，若 0 x y  ，必有 1 1 x y  ，正确， 对于 B ，若 0 x y  ，必有 3 3x y ，正确， 对于 C ，若 0 x y  ，则 0x y  ，必有 2 1x y  ，正确， 对于 D ，若 0 x y  ，则 0y x  ，但 ( )ln y x 无法判断符号，错误， 故选： ABC ． 12．解：由 1 1 2 2 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )x f x x f x x f x x f x   得 1 2 1 2( )[ ( ) ( )] 0x x f x f x   ， 所以 ( )f x 在 R 上单调递增， 3: ( ) 1A y f x x x     ，由于 f （1） 1 ， f （2） 5  ， f （1） f （2），不满足在 R 上单调递增，不符合题意； : ( ) 3 2(sin cos )B y f x x x x    ， ( ) 3 2(cos sin ) 3 2 2 cos( ) 04f x x x x         恒成立， 即 ( )f x 在 R 上单调递增，符合题意； C ：根据复合函数的单调性可知 2 (2 )x xe ln e   在 R 上单调递增，符合题意； 1 sin: ( ) x xD y f x e e      ， (0) 0f  ， f （2） 0 ，不满足单调递增，不符合题意． 故选： BC ． 13．解：设 22t x x  ，则 y t 为增函数， 由 22 0x x … ，得 0 2x„ „ ，即函数的定义域为[0 ， 2]， 函数 22t x x  的对称轴为 1x  ， 要求 ( )f x 的单调递增区间，即求函数 22t x x  的单调递增区间， 22t x x  的单调递增区间为[0 ，1]， 函数 ( )f x 的单调递增区间为[0 ，1]， 故答案为：[0 ，1] 14．解：画出函数 ( )f x 的图象，如图示： ， 结合图象，函数 ( )f x 在 1(0, )2 ， (1,2) 递减， 故答案为： 1(0, )2 ， (1,2) ． 15．解： ( ) (2 )f x f x  ，函数图象关于 1x  对称， ( 2) (2 2)a f ln f ln    1 1 2 2 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )x f x x f x x f x x f x   ， 1 2 1 2( ) [ ( ) ( )] 0x x f x f x     ， ( )f x 在[1， ) 上为减函数 2ln e ln lne  ， 12 (2ln  ，1) ， 32 2 (1, )2ln   ，  0.03 0.04 0.2 0.2log log 2  ， 0.73 2 22   ，  0.03 0.7 0.2log 2 2 2ln   ， b c a   ． 故答案为： b c a  ． 16．解：要使 ( )f x 为减函数，则当 1x   时为减函数，则 0 1a  ， 当 1x „ 时为减函数，则 12 a … ，即 2a„ ， 同时满足 2 1( 1) log ( 1 2)2 aa    … ， 即 1 02 a … ， 得 1 2a„ ， 综上 0 1 2 1 2 a a a          „ „ ，即 10 2a „ ， 即实数 a 的取值范围是 10 2a „ ， 故答案为： 10 2a „ ． 17．解：（1）由题意， f ( 0 ) g ( 0 ) ， 即| | 1a  又 0a  ， 所以 1a  ； （2） f ( x ) g ( x 2) | 1| 2 1x x x     ， 当 1x… 时， f ( x ) g ( x 2) 3x x  ， 它在[1， ) 上单调递增； 当 1x  时， f ( x ) g ( x 2) 2x x   ， 它在 1[ 2  ，1 ) 上单调递增． 则函数 f ( x ) g ( x ) 的单调递增区间为[1， 1) [ 2   ，1 1) [ 2   ， ) ． 18．解：（1） 1 1 2 1 1( ) 2 2 2 1 2 x x xf x       ，知 ( )f x 在 R 上为减函数， 证明：设 1x ， 2x R ，且 1 2x x ， 所以 2 1 1 2 1 21 2 1 1 2 2( ) ( ) 1 2 1 2 (1 2 )(1 2 ) x x x x x xf x f x        ， 由于 1 2x x ， 2xy  在 R 上单增 所以 2 12 2 0x x  ，且 2 0x  所以 1 2( ) ( )f x f x ， 所以 ( )f x 在 R 上单调递减． （2） 2 2(2 3 ) ( )f t t f k t   恒成立， ( )f x 在 R 上为减函数， 2 22 3t t k t    在 R 上恒成 立， 即对于一切 t R 有 22 2 0t t k   恒成立，判别式△ 2( 2) 4 2 0k      ， 1 2k  ． 故实数 k 的取值范围是 1(2 ， ) ． 19．解： ( )I 根据题意得， 2 02 x x   ， 解得 2 2x   ，即函数的定义域为 ( 2,2) ． ( )II 根据题意，函数 ( )f x 为奇函数， 证明：函数 ( )f x 的定义域为 ( 2,2) ， 则 1 3 3 3 2 2 2( ) log log ( ) log ( )2 2 2 x x xf x f xx x x            ， 则函数 ( )f x 为奇函数． ( )III 证明：根据题意， ( )f x 的定义域为 ( 2,2) 设 1 22 2x x    ，则 1 2 1 2 3 3 1 2 2 2( ) ( ) log log2 2 x xf x f x x x      1 2 1 2 2 1 3 3 1 2 1 2 2 1 ( 2 )(2 ) 4 2( )log log(2 )(2 ) 4 2( ) x x x x x x x x x x x x           ， 又由 1 2x x ，则 2 1 0x x  ，则 1 2 2 1 1 2 2 1 4 2( ) 14 2( ) x x x x x x x x       ， 故 1 2 2 1 1 2 3 3 1 2 2 1 4 2( )( ) ( ) log log 1 04 2( ) x x x xf x f x x x x x         ， 即 1 2( ) ( )f x f x ， 故函数 ( )f x 在定义域上单调减． 20．解：（1）函数 2( ) ( ) | | ( 1)f x x a x a a a      ， (0) 1f „ 2 2(0) (0 ) | | ( 1) | | ( 1) | | 1f a x a a a a a a a a a             „ 当 0a„ 时，不等式为 0 1„ 恒成立，满足条件， 当 0a  时，不等式为 1a a „ ， 10 2a  „ ， 综上所述 a 的取值范围为 ( ， 1]2 ． （2）当 x a 时，函数 2( ) (2 1) 2f x x a x a    ， 其对称轴为 2 1 1 2 2 ax a a    ， 此时 ( )y f x 在 ( , )a 时是减函数， 当 x a… 时， 2( ) (1 2 )f x x a x   ， 其对称轴为： 1 2x a a   ， ( )y f x 在 ( , )a  时是增函数， 综上所述， ( )f x 在 ( , )a  上单调递增，在 ( , )a 上单调递减．