2022届高考数学统考一轮复习微专题二十三数列综合应用学案文含解析新人教版

优选 - 1 - / 5 微专题(二十三) 数列综合应用 专题 1 等差数列与等比数列的综合 [例 1] [2021·某某某某二中检测]已知等比数列{an}的各项均为正数，且 3a1， 1 2 a3,2a2 成 等差数列，则下列说法错误的是( ) A．a1＞0 B．q＞0 C. a3 a2 ＝3 或－1 D. a6 a4 ＝9 解析：设等比数列{an}的公比为 q，由题意得 2 1 2 a3 ＝3a1＋2a2，即 a1q2＝3a1＋2a1q. 因为数列{an}的各项均为正数，所以 a1＞0，且 q＞0，故 A，B 正确；由 q2－2q－3＝0，解 得 q＝3 或 q＝－1(舍)，所以 a3 a2 ＝ a1q2 a1q ＝q＝3， a6 a4 ＝ a1q5 a1q3 ＝q2＝9，故 C 错误，D 正确，故选 C. 答案：C 名师点评等差数列或等比数列问题常用“基本量法”：(1)等差数列均统一为关于 a1，d 的 等式；等比数列均统一为关于 a1，q 的等式；(2)等差或等比数列常用方程思想分析问题． 专题 2 数列与函数交汇 [例 2] 已知数列{an}满足 an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*，且 a5＝ π 2 ，若函数 f(x)＝sin 2x ＋2cos2x 2 ，记 yn＝f(an)，则数列{yn}的前 9 项和为( ) A．0 B．－9 C．9 D．1 解析：由题意知数列{an}是等差数列． 优选 - 2 - / 5 ∵a5＝ π 2 ，∴a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝π. f(x)＝sin 2x＋2cos2x 2 ， ∴f(x)＝sin 2x＋cos x＋1. ∴f(a1)＋f(a9)＝sin 2a1＋cos a1＋1＋sin 2a9＋cos a9＋1＝2. 同理 f(a2)＋f(a8)＝f(a3)＋f(a7) ＝f(a4)＋f(a6)＝2. ∵f(a5)＝1， ∴数列{yn}的前 9 项和为 9. 答案：C 名师点评在涉及函数与数列的综合题时，不仅要正确审题深抠函数的性质与数列的定义， 还要明确等差、等比数列的通项、求和公式的特征． 专题 3 数列与不等式交汇 [例 3] [2021·某某威海模拟]公比为 2 的等比数列{an}中存在两项 am，an 满足 aman＝ 16a2 1，则 1 m ＋ 4 n 的最小值为( ) A. 3 2 B. 5 3 C. 4 3 D. 13 10 解析：由等比数列的通项公式知 am＝a1×2m－1，an＝a1×2n－1，由 aman＝16a 2 1可得 a2 1× 2m＋n－2＝16a2 1，易知 a1≠0，故 2m＋n－2＝16，解得 m＋n＝6，则 1 m ＋ 4 n ＝ 1 6 (m＋n)· 1 m ＋ 4 n ＝ 1 6 1＋ 4m n ＋ n m ＋4 ≥ 1 6 5＋2 4m n × n m ＝ 3 2 (当且仅当 m＝2，n＝4 时取等号)，故选 A. 答案：A 优选 - 3 - / 5 名师点评在涉及数列与不等式的综合问题时，一般采取化归的思想将问题转化为我们较 熟悉的问题来解决，如基本不等式法、裂项相消求和、错位相减求和等． 专题 4 数列与数学文化 [例 4] 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健 步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”意思为： 有一个人要走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半， 走了 6 天恰好到达目的地，请问第三天走了( ) A．192 里 B．48 里 C．24 里 D．96 里 解析：由题意可知此人每天走的步数构成公比为 1 2 的等比数列， ∴由等比数列的求和公式可得， a1 1－ 1 2 6 1－ 1 2 ＝378， 解得 a1＝192， ∴a3＝a1q2＝192× 1 2 2＝48.故选 B. 答案：B 名师点评对于数学文化中所涉及到的数列模型，解题时应认真审题，从问题背景中提取 相关信息并分析归纳，然后构造恰当的数列模型，再根据等差或等比数列的有关公式求解作 答，必要时要进行检验． [变式练 1] 设函数 f(x)＝(x－3)3＋x－1，{an}是公差不为 0 的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋… ＋f(a7)＝14，则 a1＋a2＋…＋a7＝( ) A．0 B．7 C．14 D．21 优选 - 4 - / 5 [变式练 2] [2021·某某省实验中学、某某实验中学、某某一中、四校联考]已知 等差数列{an}的公差不为零，Sn 为其前 n 项和，S3＝9，且 a2－1，a3－1，a5－1 构成等比数 列，则 S5＝________. 微专题(二十三) 变式练 1 解析：∵f(x)＝(x－3)3＋x－1， ∴f(x)－2＝(x－3)3＋(x－3)． 令 g(x)＝f(x)－2， ∴g(x)关于(3,0)对称． ∵f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝14， ∴[fa1－2]＋[fa2－2]＋…＋[fa7－2]＝0， ∴g(a1)＋g(a2)＋…＋g(a7)＝0. ∴g(a4)为 g(x)与 x 轴的交点． 又 g(x)关于(3,0)对称，∴a4＝3. ∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝21. 答案：D 变式练 2 解析：设等差数列{an}的公差为 d，d≠0，S3＝3a2＝9，解得 a2＝3，所以 2,2＋d,2＋3d 优选 - 5 - / 5 构成等比数列，则(2＋d)2＝2(2＋3d)，解得 d＝2 或 d＝0(舍去)，则 S5＝5a3＝5(a2＋d)＝25. 答案：25