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第八节 函数与方程
1．函数的零点
(1)函数零点的定义：
对于函数 y＝f(x)，把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．
(2)函数零点的判定(零点存在性定理)：
如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)＜0，那
么，函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方
程 f(x)＝0 的根．
2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)
与 x 轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点
零点个数 2 1 0
1．两个注意点
(1)函数的零点不是点，是方程 f(x)＝0 的实根．
(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不
变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点
的充分不必要条件．
2．三个结论
(1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
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(3)连续不断的函数图象在零点两侧时，函数值可能变号，也可能不变号．
3．三个等价关系
方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点⇔函数 y＝f(x)有零点．
1．(基础知识：零点个数)函数 f(x)＝lg x＋x－6 的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：B
2．(基础知识：零点区间判断)函数 f(x)＝ex－1＋4x－4 的零点所在区间为( )
A．(－1，0) B．(0，1)
C．(1，2) D．(2，3)
答案：B
3．(基本方法：二分法求函数零点)下列函数图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求
图中函数零点的是( )
答案：A
4．(基本应用：利用零点个数求参数)若函数 f(x)＝x2－4x＋a 存在两个不同的零点，则实
数 a 的取值 X 围是________．
答案：(－∞，4)
5．(基本能力：求零点)函数 f(x)＝2sin x－sin 2x 在[0，π]内的零点为________．
答案：0 或π
题型一 确定函数零点所在区间
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1．设 f(x)＝ln x＋x－4，则 f(x)的零点所在区间为( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
解析：f(2)＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3－1＞0，
零点在(2，3)内．
答案：C
2．设函数 f(x)＝
1
3
x－ln x，则函数 y＝f(x)( )
A．在区间
1
e
，1
，(1，e)内均有零点
B．在区间
1
e
，1
，(1，e)内均无零点
C．在区间
1
e
，1
内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间
1
e
，1
内无零点，在区间(1，e)内有零点
解析：令 f(x)＝0 得
1
3
x＝ln x．作出函数 y＝
1
3
x 和 y＝ln x 的图象，如图所示，
显然 y＝f(x)在
1
e
，1
内无零点，在(1，e)内有零点．
答案：D
方法总结
确定函数零点所在区间的方法
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(1)解方程法：当对应方程 f(x)＝0 易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定
的区间上．
(2)图象法：把方程转化为两个函数，看它们的交点所在区间．
(3)利用函数零点的存在性定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再
看是否有 f(a)·f(b)＜0.若有，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(4)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断．
题型二 函数零点的个数
[典例剖析]
[典例] (1)已知函数 f(x)＝
x＋1，x≤0，
log2x，x>0，
则函数 y＝f(f(x))＋1 的零点的个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：由 f(f(x))＋1＝0 得 f(f(x))＝－1，
由 f(－2)＝f
1
2 ＝－1 得 f(x)＝－2 或 f(x)＝
1
2
.
若 f(x)＝－2，则 x＝－3 或 x＝
1
4
；
若 f(x)＝
1
2
，则 x＝－
1
2
或 x＝ 2.
综上可得，函数 y＝f(f(x))＋1 的零点的个数是 4.
答案：A
(2)已知函数 f(x)＝
1
2
x
－cos x，则 f(x)在[0，2π]上的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
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解析：函数 f(x)＝
1
2
x
－cos x＝0 的零点个数为
1
2
x
＝cos x 的根的个数，即函数 h(x)＝
1
2
x
与 g(x)＝cos x 的图象的交点个数．如图所示，在区间[0，2π]上交点个数为 3.
答案：C
(3)函数 f(x)＝
x2－2，x≤0，
2x－6＋ln x，x＞0
的零点个数是________．
解析：当 x≤0 时，令 x2－2＝0，
解得 x＝－ 2(正根舍去)，
所以在(－∞，0]上，f(x)有一个零点；
当 x＞0 时，f′(x)＝2＋
1
x
＞0 恒成立，
所以 f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
又因为 f(2)＝－2＋ln 2＜0，f(3)＝ln 3＞0，所以 f(x)在(0，＋∞)上有一个零点．综上，
函数 f(x)的零点个数为 2.
答案：2
方法总结
函数零点个数的判断方法
方法 解读 适合题型
直接法 令 f(x)＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点 基本初等函数
图象法
画出函数 f(x)的图象，函数 f(x)的图象与 x 轴的交点个数即
为函数 f(x)的零点个数
分段函数、绝对值
函数
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转化法
将函数 f(x)拆成两个常见函数 h(x)和 g(x)的差，从而 f(x)＝0
⇔h(x)－g(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数 f(x)的零点个数即为
函数 y＝h(x)与函数 y＝g(x)的图象的交点个数
复杂函数
[对点训练]
函数 f(x)＝2x＋x3－2 在区间(0，1)内的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：法一：∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1＜0，且函数在定义域上单调递增且连续，
∴函数 f(x)在区间(0，1)内有且只有 1 个零点．
法二：设 y1＝2x，y2＝2－x3，
在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，
在区间(0，1)内，两图象的交点个数即为 f(x)的零点个数．
故函数 f(x)在区间(0，1)内有且只有 1 个零点．
答案：B
题型三 函数零点的应用
[典例剖析]
类型 1 已知函数零点或方程根的个数求参数
[例 1] 已知函数 f(x)＝
（x－1）3，x≥0，
－（x＋1）ex，x＜0.
若函数 g(x)＝f(x)－a 有 3 个零点，则实数
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a 的取值 X 围是( )
A．
0，
1
e2 B．
－1，
1
e2
C．(－e2，－1) D．(－∞，－1)
解析：x＜0 时，f(x)＝－(x＋1)ex，f′(x)＝－(2＋x)ex，由 f′(x)＞0，得 x＜－2，由 f′(x)
＜0，得 x＞－2，∴f(x)在(－∞，－2)上递增，在(－2，0)上递减，故 f(x)max＝f(－2)＝
1
e2
，且
x＜－1 时，f(x)＞0，画出 y＝f(x)的图象如图所示，由图知当 0＜a＜
1
e2
时，y＝f(x)与 y＝a 的
图象有三个交点，即 g(x)有三个零点，∴实数 a 的取值 X 围是
0，
1
e2 .
答案：A
类型 2 已知函数在某区间上有零点求参数
[例 2] 已知定义在 R 上的偶函数．f(x)满足 f(x－4)＝f(x)，且在区间[0，2]上 f(x)＝x，
若关于 x 的方程 f(x)＝logax 有三个不同的实数根，则 a 的取值 X 围为________．
解析：由 f(x－4)＝f(x)知，函数的周期为 4，又函数为偶函数，
所以 f(x－4)＝f(x)＝f(4－x)，
所以函数图象关于 x＝2 对称，且 f(2)＝f(6)＝f(10)＝2，
要使方程 f(x)＝logax 有三个不同的根，
则满足
a＞1，
loga6＜2，
loga10＞2，
如图所示，
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解得 6＜a＜ 10.
故 a 的取值 X 围是( 6， 10).
答案：( 6， 10)
类型 3 函数零点的实际意义
[例 3] 某条公共汽车线路收支差额 y 与乘客量 x 的图象如图①所示．
(1)试说明图①上点 A、B 的实际意义；
(2)由于目前本条线路亏损，根据图②提出扭亏为盈的建议．
解析：(1)A 是当 x＝0(无乘客)亏损 1 个单位．
B 是当 x＝1.5 时，y＝0 收支持平(为函数的零点).
(2)由题图②知，函数图象向上平移；
函数零点变小，收支持平时，乘客数变小，
其建议可以是票价不变，降低运行成本，
如换新能源车，延长每趟车次发车的时间差等．
方法总结
1．解决已知函数零点的存在情况求参数的取值 X 围问题时，应该根据零点的存在情况，
利用函数零点的存在性定理、二次函数的判别式等得到关于参数的不等式(组)，然后求解即
可．破解此类题的关键点：
(1)转化，把已知函数零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况；
(2)列式，根据零点存在性定理或结合函数图象列式；
(3)下结论，求出参数的取值 X 围或根据图象得出参数的取值 X 围．
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2．已知根或零点的区间求参数，要根据区间建立不等关系，其关键点为：
(1)构造方程或函数(反解参数)；
(2)利用零点区间，求解函数的值域或不等式；
(3)确定参数 X 围．
[题组突破]
1．(2020·某某某某模拟)函数 f(x)＝x2－ax＋1 在区间
1
2
，3
上有零点，则实数 a 的取值
X 围是( )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．
2，
5
2 D．
2，
10
3
解析：由 x2－ax＋1＝0 得 a＝x＋
1
x
，其中 x∈
1
2
，3
.
∵函数 y＝x＋
1
x
在
1
2
，1
上为减函数，在(1，3)为增函数，
∴ymin＝2，ymax<
10
3
.∴a∈
2，
10
3 .
答案：D
2．已知函数 f(x)＝
|x|，x≤m，
x2－2mx＋4m，x＞m，
其中 m＞0.若存在实数 b，使得关于 x 的方
程 f(x)＝b 有三个不同的根，则 m 的取值 X 围是________．
解析：函数 f(x)的大致图象如图所示，根据题意知只要 m＞4m－m2 即可，又 m＞0，解
得 m＞3，故实数 m 的取值 X 围是(3，＋∞).
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答案：(3，＋∞)
3．若函数 f(x)＝xln x－a 有两个零点，则实数 a 的取值 X 围是________．
解析：令 g(x)＝xln x，h(x)＝a，则问题可转化成函数 g(x)与 h(x)的图象有两个交点．g′
(x)＝ln x＋1，令 g′(x)＜0，即 ln x＜－1，可解得 0＜x＜
1
e
；令 g′(x)＞0，即 ln x＞－1，可
解得 x＞
1
e
，∴当 0＜x＜
1
e
时，函数 g(x)单调递减；当 x＞
1
e
时，函数 g(x)单调递增，由此可知
当 x＝
1
e
时，g(x)min＝－
1
e
.在同一坐标系中作出函数 g(x)和 h(x)的简图如图所示，据图可得－
1
e
＜a＜0.
答案：
－
1
e
，0
再研高考 极端思维求参数
(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数ƒ(x)＝
ex，x≤0，
ln x，x＞0，
g(x)＝ƒ(x)＋x＋a.若 g(x)存在 2 个零点，则 a 的取值 X 围是( )
A.[－1，0) B．[0，＋∞)
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C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：令 h(x)＝－x－a，
则 g(x)＝ƒ(x)－h(x).
在同一坐标系中画出 y＝ƒ(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．若 g(x)存在 2 个零点，
则 y＝ƒ(x)的图象与 y＝h(x)的图象有 2 个交点，平移 y＝h(x)的图象，可知当直线 y＝－x－a
过点(0，1)时，有 2 个交点，
此时 1＝－0－a，a＝－1.
当 y＝－x－a 在 y＝－x＋1 上方，即 a＜－1 时，仅有 1 个交点，不符合题意．
当 y＝－x－a 在 y＝－x＋1 下方，即 a＞－1 时，有 2 个交点，符合题意．
综上，a 的取值 X 围为[－1，＋∞).
答案：C
素养升华 与零点有关的参数问题
(2021·某某某某两校第一次联考)已知函数 f(x)＝log2(x＋1)＋3x＋m 的零点在(0，1]上，
则实数 m 的取值 X 围为( )
A．(－4，0)
B．(－∞，－4)∪(0，＋∞)
C．(－∞，－4]∪[0，＋∞)
D．[－4，0)
解析：易知函数 f(x)＝log2(x＋1)＋3x＋m 在定义域上单调递增，
由函数 f(x)在(0，1]上存在零点，得
f（0）＜0，
f（1）≥0，
即
log2（0＋1）＋3×0＋m＜0，
log2（1＋1）＋3×1＋m≥0，
解得－4≤m＜0，
优选
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即实数 m 的取值 X 围为[－4，0).
答案：D
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