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第六节 对数函数
1．对数的概念
如果 ax＝N(a＞0，且 a≠1)，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x＝logaN．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的性质
①loga1＝0；②logaa＝1．
(2)对数恒等式
alogaN＝N(其中 a＞0，且 a≠1).
(3)对数的换底公式
logbN＝
logaN
logab
(a，b 均大于零且不等于 1，N＞0).
(4)对数的运算法则
如果 a＞0 且 a≠1，M＞0，N＞0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga
M
N
＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R).
3．对数函数的定义、图象与性质
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定义 函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)叫做对数函数
图象
a＞1 0＜a＜1
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：(－∞，＋∞) -
当 x＝1 时，y＝0，即过定点(1，0)
当 0＜x＜1 时，y＜0；
当 x＞1 时，y＞0
当 0＜x＜1 时，y＞
0；
当 x＞1 时，y＜0
在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数
4．反函数
指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)互为反函数，它们的
图象关于直线 y＝x 对称．
1．换底公式的三个重要结论
(1)logab＝
1
logba
；
(2)logambn＝
n
m
logab；
(3)logab·logbc·logcd＝logad.
2．对数函数的图象与底数大小的比较
如图所示，作直线 y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，
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故 0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
1．(基本能力：对数运算)lg 2＋lg 5＝( )
A．10 B．1
C．lg 7 D．lg 2 lg 5
答案：B
2．(基本方法：作对数函数的图象)y＝ln |x|的图象为( )
答案：B
3．(基本应用：比较大小)a＝log23.4，b＝log82，c＝log0.32.7，由大到小的排列顺序为
________．
答案：A＞b＞c
4．(基础知识：定义域)函数 y＝lg (x＋1)＋lg (x－1)的定义域为________．
答案：(1，＋∞)
5．(基本能力：求单调区间)函数 y＝2ln (x＋1)的递增区间为________．
答案：(－1，＋∞)
题型一 对数式的化简与求值
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1．计算
lg 8＋lg 125－lg 2－lg 5
lg 10lg 0.1
的值为________．
解析：
lg 8＋lg 125－lg 2－lg 5
lg 10lg 0.1
＝
lg 1 000－lg 10
1
2
lg 10×（－lg 10）
＝－4.
答案：－4
2．已知 lg x＋lg y＝2lg (2x－3y)，则 log
3
2
x
y
＝________．
解析：因为 lg x＋lg y＝2lg (2x－3y)，
所以
x＞0，
y＞0，
2x－3y＞0，
xy＝（2x－3y）2.
解得
x
y
＝
9
4
或
x
y
＝1(舍).
所以 log
3
2
x
y
＝log
3
2
9
4
＝2.
答案：2
3．设 2a＝5b＝m，且
1
a
＋
1
b
＝2，则 m＝________．
解析：a＝log2m，b＝log5m.
∴
1
a
＋
1
b
＝
1
log2m
＋
1
log5m
＝logm2＋logm5＝logm10，
∴logm10＝2，∴m2＝10，∴m＝ 10.
答案： 10
方法总结
1．不同底的对数运算，利用换底公式化为同底，再结合对数运算性质求解．
此题的普遍规律：logab·logbc·logcd＝logad.
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2．对数的运算方法，主要有两种方法：
一是对数式转化为指数式；
二是利用对数运算法则，进行变形：
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数
最简，然后正用对数运算性质化简合并，正确使用幂的运算法则．
(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化
为同底对数真数的积、商、幂的运算，正确使用对数的运算法则．
(3)注意指数式与对数式的相互转化关系．
题型二 对数函数的图象及应用
[典例剖析]
类型 1 图象的辨认
[例 1](2020·某某潍坊模拟)若函数 f(x)＝ax－a－x(a＞0 且 a≠1)在 R 上为减函数，则函数
y＝loga(|x|－1)的图象可以是( )
解析：由 f(x)在 R 上是减函数，知 0＜a＜1.
又 y＝loga(|x|－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
∴当 x＞1 时，y＝loga(x－1)的图象由 y＝logax 向右平移一个单位得到．因此选项 D 正
确．
答案：D
方法总结
对数函数与绝对值相联系的函数的图象常见有：
(1)y＝|logax|(a>1)的图象如图①.
(2)y＝loga|x|(a>1)的图象如图②.
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(3)y＝|loga|x||(a>1)的图象如图③.
辨认时可通过特殊点、单调性、奇偶性等性质进行．
类型 2 图象的应用
[例 2](一题多解)当 0＜x≤
1
2
时，4x＜logax，则 a 的取值 X 围是( )
A．
0，
2
2 B．
2
2
，1
C．(1， 2) D．( 2，2)
解析：法一：构造函数 f(x)＝4x 和 g(x)＝logax，要使 0＜x≤
1
2
时，4x＜logax，只需 f(x)
在
0，
1
2 上的图象在 g(x)的图象下方即可．当 a＞1 时不满足条件；当 0＜a＜1 时，画出两个
函数在
0，
1
2 上的图象，可知只需 f
1
2 ＜g
1
2 ，即 2＜loga
1
2
，则 a＞
2
2
，所以 a 的取值 X 围
为
2
2
，1
.
法二：因为 0＜x≤
1
2
，所以 1＜4x≤2，所以 logax＞4x＞1，所以 0＜a＜1，排除选项 CD；
取 a＝
1
2
，x＝
1
2
，则 4
1
2＝2，log
1
2
1
2
＝1，显然 4x＜logax 不成立，排除选项 A.
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答案：B
方法总结
应用对数型函数的图象可求解的问题
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、
值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．求
参数时往往使其中一个函数图象“动起来”，找变化的边界位置，得参数 X 围．
(3)与绝对值相联系的函数图象．
[题组突破]
1．(2021·某某某某模拟)在同一直角坐标系中，函数 f(x)＝2－ax，g(x)＝loga(x＋2)(a＞
0，且 a≠1)的图象大致为( )
解析：由题意，知函数 f(x)＝2－ax(a＞0，且 a≠1)为单调递减函数，当 0＜a＜1 时，函
数 f(x)＝2－ax 的零点 x＝
2
a
＞2，且函数 g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上为单调递减函数，
选项 CD 均不满足；当 a＞1 时，函数 f(x)＝2－ax 的零点 x＝
2
a
＜2，且 x＝
2
a
＞0，又 g(x)＝loga(x
＋2)在(－2，＋∞)上是增函数，排除选项 B，综上只有选项 A 满足．
答案：A
2．若不等式 x2－logax＜0 对 x∈
0，
1
2 恒成立，某某数 a 的取值 X 围．
解析：显然 0＜a＜1，
当 y＝logax 过点
1
2
，
1
4 时，
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即 loga
1
2
＝
1
4
，∴a＝
1
16
，如图所示，显然满足 x2－logax＜0，令 y＝logax 绕(1，0)顺时
针转动时，满足 x2－logax＜0，∴
1
16
≤a＜1.
题型三 对数函数的性质及其应用
[典例剖析]
类型 1 比较大小
[例 1] (1)(2021·某某某某联考)设 a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )
A．c＞b＞aB．b＞c＞a
C．a＞c＞bD．a＞b＞c
解析：因为 a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32，b＝log510＝log55＋log52＝1＋
log52，c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72，因为 log32＞log52＞log72，所以 a＞b＞c.
答案：D
(2)(2020·某某某某模拟)如果 log
1
2
x＜log
1
2
y＜0，那么( )
A．y＜x＜1 B．x＜y＜1
C．1＜x＜yD．1＜y＜x
解析：因为 y＝log
1
2
x 在(0，＋∞)上为减函数，所以 x＞y＞1.
答案：D
方法总结
比较对数式大小的类型及相应的方法
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(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则
需对底数进行分类讨论．
(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．
(3)若底数与真数都不同，则常借助 1，0 等中间量进行比较．
类型 2 与对数有关的不等式
[例 2] (1)解不等式 2loga(x－4)＞loga(x－2).
解析：当 a＞1 时，原不等式等价于
（x－4）2＞x－2，
x－4＞0，
x－2＞0，
解得 x＞6.
当 0＜a＜1 时，原不等式等价于
（x－4）2＜x－2，
x－4＞0，
x－2＞0，
解得 4＜x＜6，
所以当 a＞1 时，不等式的解集为(6，＋∞)；
当 0＜a＜1 时，不等式的解集为(4，6).
(2)已知当 0＜x≤
1
2
时，不等式 logax＜－2 恒成立，则实数 a 的取值 X 围是( )
A．( 2，2) B．(1， 2)
C．
2
2
，1
D．(0， 2)
解析：当 0＜x≤
1
2
时，不等式 logax＜－2 恒成立，所以 logax＜0.又 0＜x≤
1
2
，所以 a＞1，
因此 y＝logax 是增函数，故 x＜a－2 恒成立，所以
1
2
＜a－2，得 1＜a＜ 2.
答案：B
方法总结
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解对数不等式的类型及方法
(1)形如 logax＞logab 的不等式，借助 y＝logax 的单调性求解，如果 a 的取值不确定，
需分 a＞1 与 0＜a＜1 两种情况讨论．
(2)形如 logax＞b 的不等式，需先将 b 化为以 a 为底的对数式的形式．
类型 3 对数性质的综合应用
[例 3] (1)已知函数 f(x)＝loga(8－ax)(a＞0，且 a≠1).若 f(x)＞1 在区间[1，2]上恒成立，
则实数 a 的取值 X 围为________．
解析：当 a＞1 时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由 f(x)＞1 恒成立，则 f(x)min
＝loga(8－2a)＞1，解得 1＜a＜
8
3
.若 0＜a＜1 时，f(x)在 x∈[1，2]上是增函数，
由 f(x)＞1 恒成立，则 f(x)min＝loga(8－a)＞1，
∴0＜8－a＜a，∴4＜a＜8，无解．
综上，a 的取值 X 围为
1，
8
3 .
答案：
1，
8
3
(2)已知函数 f(x)＝log4(ax2＋2x＋3).
①若 f(1)＝1，求 f(x)的单调区间；
②是否存在实数 a，使 f(x)的最小值为 0？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由．
解析：①因为 f(1)＝1，
所以 log4(a＋5)＝1，因此 a＋5＝4，a＝－1，
这时 f(x)＝log4(－x2＋2x＋3).
由－x2＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3，
函数 f(x)的定义域为(－1，3).
令 g(x)＝－x2＋2x＋3，
则 g(x)在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减．
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又 y＝log4x 在(0，＋∞)上单调递增，
所以 f(x)的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是(1，3).
②假设存在实数 a 使 f(x)的最小值为 0，
则 h(x)＝ax2＋2x＋3 应有最小值 1，
因此应有
a＞0，
3a－1
a
＝1，解得 a＝
1
2
.
故存在实数 a＝
1
2
，使 f(x)的最小值为 0.
方法总结
1．(1)形如函数 y＝logaf(x)求定义域，要在 a＞0，a≠1 的前提下，使 f(x)＞0；
(2)判断 y＝logaf(x)型的奇偶性要结合对数的运算：logaf(x)＋logaf(－x)及 logaf(x)－
logaf(－x)，其单调性利用复合函数 y＝logan，n＝f(x)的单调性的法则．
2．求形如 y＝logaf(x)的单调区间，首先求定义域：f(x)＞0，同时结合复合函数“同增异
减”的法则．
[题组突破]
1．(2021·某某某某模拟)已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数，若 a＝－f
log2
1
5 ，b＝f(log2
4.1)，c＝f(20.8)，则 a，b，c 的大小关系为( )
A．a＜b＜cB．b＜a＜c
C．c＜b＜aD．c＜a＜b
解析：依题意 a＝f
－log2
1
5 ＝f(log25)且 log25＞log24.1＞20.8，结合函数的单调性有
f(log25)＞f(log24.1)＞f(20.8)，即 a＞b＞c.
答案：C
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2．设函数 f(x)＝
log2x，x＞0，
log1
2
（－x），x＜0.若 f(a)＞f(－a)，则实数 a 的取值 X 围是( )
A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1)
解析：由题意可得
a＞0，
log2a＞－log2a
或
a＜0，
log1
2
（－a）＞log2（－a），
解得 a＞1 或－1＜a＜0.
答案：C
3．(2020·某某某某七校联考)若函数 f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函
数，则实数 a 的取值 X 围是( )
A．(－∞，4) B．(－4，4]
C．(－∞，4)∪[2，＋∞) D．[－4，4)
解析：由题意得 x2－ax－3a>0 在区间(－∞，－2]上恒成立且函数 y＝x2－ax－3a 在(－
∞，－2]上递减，则
a
2
≥－2 且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得实数 a 的取值 X 围是[－4，4).
答案：D
4．(母题变式)将例 2(1)改为：若 2loga(a－4)＞loga(a－2)，求 a 的取值 X 围．
解析：原不等式等价为
a＞1，
（a－4）2＞a－2，
a－4＞0，
a－2＞0，
或
0＜a＜1，
（a－4）2＜a－2，
a－4＞0，
a－2＞0，
得 a＞6 或∅ ，
故 a 的取值 X 围是(6，＋∞).
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再研高考 创新思维
1．(2018·高考全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数 y＝ln x 的图象关于直线 x＝1 对称
的是( )
A．y＝ln(1－x) B．y＝ln (2－x)
C．y＝ln (1＋x) D．y＝ln (2＋x)
解析：函数 y＝ƒ(x)的图象与函数 y＝ƒ(a－x)的图象关于直线 x＝
a
2
对称，令 a＝2 可得与
函数 y＝ln x 的图象关于直线 x＝1 对称的是函数 y＝ln (2－x)的图象．
答案：B
2．(2019·高考某某卷)在同一直角坐标系中，函数 y＝
1
ax
，y＝loga
x＋
1
2 (a>0，且 a≠1)
的图象可能是( )
解析：当 0
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