高考大题专项(四) 立体几何
2022
【考情分析】
从近五年的高考试题来看,立体几何是历年高考的重点,约占整个试卷的
15%,通常以一大两小的模式命题,以中、低档难度为主.简单几何体的表面
积与体积、点、线、面位置关系的判定与证明以及空间角的计算是考查
的重点内容,前者多以客观题的形式命题,后者主要以解答题的形式命题考
查.着重考查推理论证能力和空间想象能力,而且对数学运算的要求有加强
的趋势.转化与化归思想贯穿整个立体几何的始终.
【必备知识】
1.证明线线平行和线线垂直的常用方法
(1)证明线线平行常用的方法:①利用平行公理,即证两直线同时和第三条
直线平行;②利用平行四边形进行平行转换;③利用三角形的中位线定理证
线线平行;④利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.
(2)证明线线垂直常用的方法:①利用等腰三角形底边上的中线即高线的性
质;②勾股定理;③线面垂直的性质:要证两线垂直,只需证明一线垂直于另
一线所在的平面即可,即l⊥α,a
⊂
α
⇒
l⊥a.
2.垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型
(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.
(4)证明面面垂直,需转化为证明线面垂直,进而转化为证明线线垂直.
3.求几何体的表面积或体积
(1)对于规则几何体,可直接利用公式计算.对于某些三棱锥,有时可采用等
体积转换法求解.
(2)对于不规则几何体,可采用割补法求解.
(3)求解旋转体的表面积和体积时,注意圆柱的轴截面是矩形,圆锥的轴截
面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形,要注意应用这些轴截面.
4.解决平面图形的翻折问题,关键是抓住平面图形翻折前后的不变性,即两
条直线的平行与垂直关系以及相关线段的长度、角度等的不变性.
5.空间中的角的计算,可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的
夹角的计算,也可以构建空间角,把角的计算归结为平面图形中的角的计算.
利用空间向量解题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标
系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法
向量,利用两向量垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置
关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
突破1 空间中的位置关系与表面积、体积
【例题】 (2020安徽高三三模)如图,边长为2的等边三角形ABC所在平面
与菱形A1ACC1所在平面互相垂直,且BC∥B1C1,BC=2B1C1,A1C= AC1.
(1)求证:A1B1∥平面ABC;
(2)求多面体ABC-A1B1C1的体积.
(1)证明∵四边形A1ACC1是菱形,
∴AC∥A1C1.
∵AC
⊂
平面ABC,A1C1
⊄
平面ABC,∴A1C1∥平面ABC,同理得,B1C1∥平面
ABC.
∵A1C1,B1C1在平面A1B1C1中,且A1C1∩B1C1=C1,∴平面ABC∥平面
A1B1C1.∵A1B1
⊂
平面A1B1C1,
∴A1B1∥平面ABC.
(2)解∵∠ACB与∠A1C1B1满足AC∥A1C1,BC∥B1C1,且两个角的对应边方
向相同,∴∠A1C1B1=∠ACB=60°,
∵A1C1=AC=2,2B1C1=BC=2,则B1C1=1,
解题心得处理体积问题的思路
(1)“转”:指的是转换底面与高,将原来不易求面积的底面转换为易求面积的
底面,或将原来不易看出的高转换为易看出并易求解长度的高;
(2)“拆”:指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体,便于计算;
(3)“拼”:指的是将小几何体嵌入一个大几何体中,如将一个三棱锥复原成一
个三棱柱,将一个三棱柱复原成一个四棱柱,这些都是拼补的方法.
对点训练如图,五边形ABSCD中,四边形ABCD为长方形,三角形SBC为边长
为2的正三角形,将三角形SBC沿BC折起,使得点S在平面ABCD上的射影恰
好在AD上.
(1)当AB= 时,证明:平面SAB⊥平面SCD;
(2)当AB=1时,求四棱锥S-ABCD的侧面积.
(1)证明作SO⊥AD,垂足为O,依题意得SO⊥平面ABCD,
∴SO⊥AB,SO⊥CD,又AB⊥AD,∴AB⊥平面SAD,
则AB⊥SA,AB⊥SD.
∴SA⊥SD,∴SD⊥平面SAB.又SD
⊂
平面SCD,
∴平面SAB⊥平面SCD.
突破2 空间角和距离
题型一 空间中的位置关系与异面直线所成的角
【例1】 在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,
底面四边形ABCD为直角梯形,AD∥BC,AD⊥AB,
PA=AD=2,AB=BC=1,Q为PD的中点.
(1)求证:PD⊥BQ;
(2)求异面直线PC与BQ所成角的余弦值.
(1)证明由题意知,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面
ABCD,底面四边形ABCD为直角梯形,AD⊥AB,
以A为原点,分别以AB,AD,AP为x轴,y轴,z轴,建立空间
直角坐标系,
则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).因为Q为
PD的中点,所以Q(0,1,1),
解题心得用向量法求异面直线所成角的一般步骤
(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系.
(2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量.
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.
(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.
对点训练1(2020北京人大附中高三月考)如图,
在四棱锥E-ABCD中,平面ADE⊥平面
ABCD,O,M分别为线段AD,DE的中点.四边形
BCDO是边长为1的正方形,AE=DE,AE⊥DE.
(1)求证:CM ∥平面ABE;
(2)求直线CM与BD所成角的余弦值.
(1)证明作SO⊥AD,垂足为O,依题意得SO⊥平面ABCD,∴SO⊥AB,SO⊥CD,
又AB⊥AD,∴AB⊥平面SAD,
则AB⊥SA,AB⊥SD.
题型二 空间的位置关系与线面角
【例2】如图,菱形ABCD与等边三角形BCE所在平面互相垂直,FD⊥平面
ABCD,BC=2,FD= .
(1)证明:EF∥平面ABCD;
(2)若∠CBA=60°,求直线EF与平面AFB所成角的正弦值.
(2)解连接HA.
由(1)得H为BC中点,又∠CBA=60°,∴△ABC为等边三角形,∴HA⊥BC.分别
以HB,HA,HE为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
解题心得求线面角可以用几何法,即“先找,后证,再求”,也可以通过平面的
法向量来求.
利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”:第一,破“建系关”,构建恰当
的空间直角坐标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破
“求法向量关”,求出平面的法向量;第四,破“应用公式关”.
对点训练2(2020辽宁高三三模)如图,在直棱柱ABCD-
A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,AB=BD=2,BB1=2,BD
与AC相交于点E,A1D与AD1相交于点O.
(1)求证:AC⊥平面BB1D1D;
(2)求直线OB与平面OB1D1所成的角的正弦值.
(1)证明∵底面ABCD为菱形,∴AC⊥BD.
∵棱柱ABCD-A1B1C1D1为直棱柱,∴DD1⊥平面ABCD.
∵AC
⊂
平面ABCD,∴AC⊥DD1.
∵AC⊥BD,AC⊥DD1,BD∩DD1=D,
∴AC⊥平面BB1D1D.
题型三 空间中的位置关系与二面角
【例3】 (2020全国1,理18)
如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AE为
底面直径,AE=AD.△ABC是底面的内接正三角形,
P为DO上一点,PO= DO.
(1)证明:PA⊥平面PBC;
(2)求二面角B-PC-E的余弦值.
因此PA2+PB2=AB2,从而PA⊥PB.
又PA2+PC2=AC2,故PA⊥PC.
所以PA⊥平面PBC.
解题心得如图,设平面α,β的法向量分别为n1,n2,二面角的平面角为
θ(0≤θ
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