2022版高考数学一轮复习课后限时集训14对数与对数函数含解析

课后限时集训(十四) 对数与对数函数 建议用时：40 分钟 一、选择题 1．(多选)已知 ab＞0，给出下面四个等式，其中不正确的有( ) A．lg(ab)＝lg a＋lg b B．lg a b ＝lg a－lg b C． 1 2 lg a b 2＝lg a b D．lg(ab)＝ 1 logab10 ABD [当 a＜0，b＜0 时，lg(ab)＝lg(－a)＋lg(－b)，lg a b ＝lg(－a)－lg(－b)，故 A， B 错；当 ab＞0 时， a b ＞0， 1 2 lg a b 2＝lg a b ，故 C 正确；当 ab＝1 时，logab10 无意义，故 D 错误．] 2．(2020·张家界模拟)在同一平面直角坐标系中，函数 f(x)＝2－ax 和 g(x)＝loga(x＋2)(a ＞0，且 a≠1)的图象可能为( ) A B C D A [由 a＞0 知，函数 f(x)＝2－ax 为减函数，则排除 C. 当 0＜a＜1 时，函数 f(x)的零点 x＝ 2 a ＞2，则排除 D. 当 a＞1 时，函数 f(x)的零点 x＝ 2 a ＜2，且 x＝ 2 a ＞0，则排除 B.故选 A.] 3．(2020·海口模拟)《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人 从王羲之的书法作品中选取 1 000 个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句， 对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将 1 000 个不同汉字任意排列，大约有 4.02×102 567 种方法，设这个数为 N，则 lg N 的整数部分为 ( ) A．2 566 B．2 567 C．2 568 D．2 569 B [由题可知，lg N＝lg(4.02×102 567)＝2 567＋lg 4.02. 因为 1＜4.02＜10，所以 0＜lg 4.02＜1， 所以 lg N 的整数部分为 2 567.故选 B.] 4．(2020·运城模拟)若 log2x＝log3y＝log5z＜－2，则( ) A．2x＜3y＜5z B．5z＜3y＜2x C．3y＜2x＜5z D．5z＜2x＜3y B [设 k＝log2x＝log3y＝log5z＜－2， 则 x＝2k，y＝3k，z＝5k， ∴2x＝2k＋1,3y＝3k＋1,5z＝5k＋1， 由 k＜－2 知 k＋1＜－1，即函数 y＝xk＋1 在(0，＋∞)上是减函数， ∴5k＋1＜3k＋1＜2k＋1，即 5z＜3y＜2x，故选 B.] 5．已知函数 f(x)＝loga(6－ax)在区间[2,3]上为减函数，则 a 的取值范围是 ( ) A．(1,2) B．(1,2] C．(1,3) D．(1,3] A [由 a＞0 知，函数 y＝6－ax 为减函数，要使 f(x)＝loga(6－ax)在[2,3]上为减函数， 则 a＞1，且 6－ax＞0 在 x∈[2,3]上恒成立， 则有 a＞1， 6－3a＞0， 解得 1＜a＜2，故选 A.] 6．已知函数 f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，则下列说法正确的是( ) ①f(x)在(2,6)上单调递增； ②f(x)在(2,6)上的最大值为 2ln 2； ③f(x)在(2,6)上单调递减； ④y＝f(x)的图象关于直线 x＝4 对称． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ D [f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)＝ln[(x－2)(6－x)]，定义域为(2,6)．令 t＝(x－2)(6－x)， 则 f(x)＝ln t．因为二次函数 t＝(x－2)(6－x)的图象的对称轴为直线 x＝4，又 f(x)的定义域为 (2,6)，所以 f(x)的图象关于直线 x＝4 对称，且在(2,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，当 x ＝4 时，t 有最大值，所以 f(x)max＝ln(4－2)＋ln(6－4)＝2ln 2，故选 D.] 二、填空题 7．计算：log 5 10＋log50.25－ 1 3 log32＝________. 3 2 [log 5 10＋log50.25－ 1 3 log32＝2log510＋log50.25－3－log32＝log5100＋ log50.25－3log3 ＝log525－ 1 2 ＝2－ 1 2 ＝ 3 2 .] 8．若函数 y＝f(x)是函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的反函数，且 f(2)＝1，则 f(x)＝________. log2x [由题意知 f(x)＝logax(a＞0，且 a≠1)． ∵f(2)＝1，∴loga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.] 9．已知 a＞0，且 a≠1，函数 y＝loga(2x－3)＋ 2的图象恒过点 P.若点 P 也在幂函数 f(x)的图象上，则 f(x)＝________. x [设幂函数为 f(x)＝xα，因为函数 y＝loga(2x－3)＋ 2的图象恒过点 P(2， 2)，则 2α＝ 2，所以α＝ 1 2 ，故幂函数为 f(x)＝x .] 三、解答题 10．设 f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，且 a≠1)，且 f(1)＝2. (1)求 a 的值及 f(x)的定义域； (2)求 f(x)在区间 0， 3 2 上的最大值． [解] (1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a＞0，且 a≠1)， ∴a＝2. 由 1＋x＞0， 3－x＞0， 得－1＜x＜3， ∴函数 f(x)的定义域为(－1,3)． (2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x) ＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]， ∴当 x∈(－1,1]时，f(x)是增函数； 当 x∈(1,3)时，f(x)是减函数， 故函数 f(x)在 0， 3 2 上的最大值是 f(1)＝log24＝2. 11．设函数 f(x)＝log3(9x)·log3(3x)，且 1 9 ≤x≤9. (1)求 f(3)的值； (2)求函数 f(x)的最大值与最小值及与之对应的 x 的值． [解] (1)∵函数 f(x)＝log3(9x)·log3(3x)，且 1 9 ≤x≤9， 故 f(3)＝log327·log39＝3×2＝6. (2)令 t＝log3x，则－2≤t≤2，且 f(x)＝(log3x＋2)(1＋log3x)＝t2＋3t＋2， 令 g(t)＝t2＋3t＋2＝ t＋ 3 2 2－ 1 4 ， 故当 t＝－ 3 2 时，函数 g(t)取得最小值为－ 1 4 ，此时求得 x＝3 ＝ 3 9 ； 当 t＝2 时，函数 g(t)取得最大值为 12，此时求得 x＝9. 1．(多选)(2020·山东夏津一中月考)已知函数 f(x)＝－log2x，下列说法正确的是( ) A．函数 f(|x|)为偶函数 B．若 f(a)＝|f(b)|，其中 a＞0，b＞0，a≠b，则 ab＝1 C．函数 f(－x2＋2x)在(1,3)上单调递增 D．若 0＜a＜1，则|f(1＋a)|＜|f(1－a)| ABD [对于 A，f(|x|)＝－log2|x|，f(|－x|)＝－log2|－x|＝－log2|x|＝f(|x|)，所以函数 f(|x|) 为偶函数，故 A 正确； 对于 B，若 f(a)＝|f(b)|，其中 a＞0，b＞0，a≠b，则 f(a)＝|f(b)|＝－f(b)，－log2a＝log2b， 即 log2a＋log2b＝log2ab＝0，得 ab＝1，故 B 正确； 对于 C，函数 f(－x2＋2x)＝－log2(－x2＋2x)，由－x2＋2x＞0，解得 0＜x＜2，所以函 数 f(－x2＋2x)的定义域为(0,2)，因此在(1,3)上不具有单调性，故 C 错误； 对于 D，因为 0＜a＜1，所以 1＋a＞1＞1－a＞0,0＜1－a2＜1，所以 f(1＋a)＜0＜f(1 －a)，故|f(1＋a)|－|f(1－a)|＝|－log2(1＋a)|－|－log2(1－a)|＝log2(1＋a)＋log2(1－a)＝ log2(1－a2)＜0，故 D 正确．故选 ABD.] 2．(2020·全国卷Ⅱ)若 2x－2y＜3－x－3－y，则( ) A．ln(y－x＋1)＞0 B．ln(y－x＋1)＜0 C．ln|x－y|＞0 D．ln|x－y|＜0 A [由 2x－2y