2022版高考数学一轮复习课后限时集训33平面向量的基本定理及坐标表示含解析

课后限时集训(三十三) 平面向量的基本定理及坐标表示 建议用时：25 分钟 一、选择题 1．设平面向量 a＝(－1,0)，b＝(0,2)，则 2a－3b 等于( ) A．(6,3) B．(－2，－6) C．(2,1) D．(7,2) B [2a－3b＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)．] 2．已知平面直角坐标系内的两个向量 a＝(1,2)，b＝(m,3m－2)，且平面内的任一向量 c 都可以唯一的表示成 c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数 m 的取值范围是( ) A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞) D [由题意可知 a 与 b 不共线，即 3m－2≠2m，∴m≠2.故选 D.] 3．已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC→ ＝2AD→ ，则顶点 D 的坐标为( ) A． 2， 7 2 B． 2，－ 1 2 C．(3,2) D．(1,3) A [设 D(x，y)，AD→ ＝(x，y－2)，BC→ ＝(4,3)， 又BC→ ＝2AD→ ，∴ 4＝2x， 3＝2 y－2 ， ∴ x＝2， y＝ 7 2 ， 故选 A.] 4．(2020·厦门模拟)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示．若 向量λa＋b 与 c 共线，则实数λ＝( ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 D [如图，建立平面直角坐标系 xOy，设正方形网格的边长为 1， 则 a＝(1,1)，b＝(0，－1)，c＝(2,1)，∴λa＋b＝(λ，λ－1)．∵λa＋ b 与 c 共线，∴λ＝2(λ－1)，解得λ＝2，故选 D.] 5.如图所示，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C，D 是半圆弧的两个 三等分点，AB→ ＝a，AC→ ＝b，则AD→ ＝( ) A．a－ 1 2 b B. 1 2 a－b C．a＋ 1 2 b D. 1 2 a＋b D [连接 CD(图略)，由点 C，D 是半圆弧的三等分点，得 CD∥AB 且CD→ ＝ 1 2 AB→ ＝ 1 2 a， 所以AD→ ＝AC→ ＋CD→ ＝b＋ 1 2 a.] 6．(多选)(2020·广东佛山月考)已知向量 e1，e2 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定 点，对于α内任意一点 P，当OP→ ＝xe1＋ye2 时，则称有序实数对(x，y)为点 P 的广义坐标．若 平面α内的点 A，B 的广义坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则下列命题正确的是( ) A．线段 AB 的中点的广义坐标为 x1＋x2 2 ， y1＋y2 2 B．A，B 两点间的距离为 x1－x2 2＋ y1－y2 2 C．向量OA→ 平行于向量OB→ 的充要条件是 x1y2＝x2y1 D．向量OA→ 垂直于向量OB→ 的充要条件是 x1y2＋x2y1＝0 AC [设线段 AB 的中点为 M，则OM→ ＝ 1 2 (OA→ ＋OB→ )＝ 1 2 (x1＋x2)e1＋ 1 2 (y1＋y2)e2，所以 点 M 的广义坐标为 x1＋x2 2 ， y1＋y2 2 ，知 A 正确；由于该坐标系不一定是平面直角坐标系， 因此 B 错误；由向量平行得OA→ ＝λOB→ ，即(x1，y1)＝λ(x2，y2)，所以 x1y2＝x2y1，得 C 正确； OA→ 与OB→ 垂直，即OA→ ·OB→ ＝0，所以 x1x2e2 1＋(x1y2＋x2y1)e1·e2＋y1y2e2 2＝0，即 x1y2＋x2y1＝0 不是OA→ 与OB→ 垂直的充要条件，因此 D 不正确．故选 AC.] 7．(2020·济南模拟)已知向量 m＝ sin A， 1 2 与向量 n＝(3，sin A＋ 3cos A)共线，其 中 A 是△ABC 的内角，则角 A 的大小为( ) A. π 6 B. π 4 C. π 3 D. π 2 C [∵m∥n，∴sin A(sin A＋ 3cos A)＝ 3 2 ， ∴2sin2A＋ 3sin 2A＝3. ∴sin 2A－ π 6 ＝1. 又 A∈(0，π)，∴2A－ π 6 ∈ － π 6 ， 11π 6 . 由 2A－ π 6 ＝ π 2 得 A＝ π 3 .故选 C.] 8．(多选)(2020·山东日照期末)如图 1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重 合于点 O 且三组对边分别平行，点 A，B 是“六芒星”(如图 2)的两个顶点，动点 P 在“六芒 星”上(包含内部以及边界)，若OP→ ＝xOA→ ＋yOB→ ，则 x＋y 的取值可能是( ) 图 1 图 2 A．－6 B．1 C．5 D．9 BC [设OA→ ＝a，OB→ ＝b，求 x＋y 的最大值，只需考虑图中 6 个向量的情况即可，讨论 如下： (1)若 P 在 A 点，∵OA→ ＝a，∴(x，y)＝(1,0)； (2)若 P 在 B 点，∵OB→ ＝b，∴(x，y)＝(0,1)； (3)若 P 在 C 点，∵OC→ ＝OA→ ＋AC→ ＝a＋2b，∴(x，y)＝(1,2)； (4)若 P 在 D 点，∵OD→ ＝OA→ ＋AE→＋ED→ ＝a＋b＋(a＋2b)＝2a＋3b，∴(x，y)＝(2,3)； (5)若 P 在 E 点，∵OE→ ＝OA→ ＋AE→＝a＋b，∴(x，y)＝(1,1)； (6)若 P 在 F 点，∵OF→ ＝OA→ ＋AF→＝a＋3b，∴(x，y)＝(1,3)． ∴x＋y 的最大值为 2＋3＝5. 根据对称性，可知 x＋y 的最小值为－5. 故 x＋y 的取值范围是[－5,5]．故选 BC.] 二、填空题 9．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB→ ＝(2,4)，AC→ ＝(1,3)，则向量BD→ 的坐标为________． (－3，－5) [∵AB→ ＋BC→＝AC→ ，∴BC→ ＝AC→ －AB→ ＝(－1，－1)， ∴BD→ ＝AD→ －AB→ ＝BC→－AB→ ＝(－3，－5)．] 10．已知 A(1,0)，B(4,0)，C(3,4)，O 为坐标原点，且OD→ ＝ 1 2 (OA→ ＋OB→ －CB→)，则|BD→ | ＝________. 2 2 [由OD→ ＝ 1 2 (OA→ ＋OB→ －CB→)＝ 1 2 (OA→ ＋OC→ )知，点 D 是线段 AC 的中点，故 D(2,2)， 所以BD→ ＝(－2,2)． 故|BD→ |＝ －2 2＋22＝2 2.] 11．(2019·浙江高考)已知正方形 ABCD 的边长为 1.当每个λi(i＝1,2,3,4,5,6)取遍±1 时， |λ1AB→ ＋λ2BC→ ＋λ3CD→ ＋λ4DA→ ＋λ5AC→ ＋λ6BD→ |的最小值是________，最大值是________． 0 2 5 [以点 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直 线为 y 轴建立平面直角坐标系，如图，则 A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)， 所以λ1AB→ ＋λ2BC→＋λ3CD→ ＋λ4DA→ ＋λ5AC→ ＋λ6BD→ ＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2 －λ4＋λ5＋λ6)，所以当 λ1－λ3＋λ5－λ6＝0， λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0 时，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1， λ4＝1，此时|λ1AB→ ＋λ2BC→ ＋λ3CD→ ＋λ4DA→ ＋λ5AC→ ＋λ6BD→ |取得最小值 0；取λ1＝1，λ3＝－1， λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1AB→ ＋λ2BC→ ＋λ3CD→ ＋λ4DA→ ＋λ5AC→ ＋λ6BD→ |取得最大值 22＋42＝2 5.] 12．(2020·广东六校联考)如图，在△ABC 中，AN→ ＝ 2 3 NC→ ，P 是 BN 上一点，若 P 为 BN 的中点，AP→ ＝mAB→ ＋nAC→ ，则 m＋n＝________；若AP→ ＝tAB→ ＋ 1 3 AC→ ，则实数 t＝________. 7 10 1 6 [法一：因为AN→ ＝ 2 3 NC→ ，所以AN→ ＝ 2 5 AC→ .因为 P 为 BN 的中点，所以AP→ ＝ 1 2 (AB→ ＋ AN→ )＝ 1 2 AB→ ＋ 1 5 AC→ ，所以 m＋n＝ 7 10 .设NP→ ＝λNB→ ，则AP→ ＝AN→ ＋NP→ ＝ 2 5 AC→ ＋λNB→ ＝ 2 5 AC→ ＋λ (NA→ ＋AB→ )＝ 2 5 AC→ ＋λ － 2 5 AC→ ＋AB→ ＝λAB→ ＋ 2 5 (1－λ)AC→ ，又AP→ ＝tAB→ ＋ 1 3 AC→ ，所以 tAB→ ＋ 1 3 AC→ ＝λAB→ ＋ 2 5 (1－λ)AC→ ，得 t＝λ， 2 5 1－λ ＝ 1 3 ， 解得 t＝λ＝ 1 6 . 法二：因为AN→ ＝ 2 3 NC→ ，所以AN→ ＝ 2 5 AC→ .因为 P 为 BN 的中点，所以AP→ ＝ 1 2 (AB→ ＋AN→ )＝ 1 2 AB→ ＋ 1 5 AC→ ，所以 m＋n＝ 7 10 .因为AN→ ＝ 2 3 NC→ ，所以AC→ ＝ 5 2 AN→ ，所以AP→ ＝tAB→ ＋ 1 3 AC→ ＝tAB→ ＋ 5 6 AN→ . 因为 B，P，N 三点共线，所以 t＋ 5 6 ＝1，所以 t＝ 1 6 .] 1．在△ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且BC→ ＝3CD→ ，点 O 在线段 CD 上(与点 C， D 不重合)，若AO→ ＝xAB→ ＋(1－x)AC→ ，则 x 的取值范围是( ) A. 0， 1 2 B. 0， 1 3 C. － 1 2 ，0 D. － 1 3 ，0 D [法一：依题意，设BO→ ＝λBC→ ，其中 1＜λ＜ 4 3 ，则有AO→ ＝AB→ ＋BO→ ＝AB→ ＋λBC→ ＝AB→ ＋ λ(AC→ －AB→ )＝(1－λ)AB→ ＋λAC→ .又AO→ ＝xAB→ ＋(1－x)AC→ ，且AB→ ，AC→ 不共线，于是有 x＝1－λ ∈ － 1 3 ，0 ，即 x 的取值范围是 － 1 3 ，0 ，故选 D. 法二：∵AO→ ＝xAB→ ＋AC→ －xAC→ ，∴AO→ －AC→ ＝x(AB→ －AC→ )，即CO→ ＝xCB→＝－3xCD→ ，∵O 在线段 CD(不含 C，D 两点)上，∴0＜－3x＜1， ∴－ 1 3 ＜x＜0.] 2.给定两个长度为 1 的平面向量OA→ 和OB→ ，它们的夹角为 2π 3 .如图所 示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB ︵ 上运动．若OC→ ＝xOA→ ＋yOB→ ，其中 x，y∈R，则 x＋y 的最大值为________． 2 [以 O 为坐标原点，OA→ 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐 标系，如图所示，则 A(1,0)，B － 1 2 ， 3 2 . 设∠AOC＝α α∈ 0， 2π 3 ，则 C(cos α，sin α)． 由OC→ ＝xOA→ ＋yOB→ ，得 cos α＝x－ 1 2 y， sin α＝ 3 2 y， 所以 x＝cos α＋ 3 3 sin α，y＝ 2 3 3 sin α， 所以 x＋y＝cos α＋ 3sin α＝2sin α＋ π 6 . 又α∈ 0， 2π 3 ， 所以当α＝ π 3 时，x＋y 取得最大值 2. 法二：(等和线法)如图，连接 AB 交 OC 于点 P，∵OC→ ＝xOA→ ＋yOB→ ， ∴当点 C 与 A、(B)重合时，x＋y＝1. 当点 C 为与 AB 平行且与圆弧相切的切点时， OC→ ＝2OP→ ，设OP→ ＝λOA→ ＋μOB→ ，则λ＋μ＝1， ∴OC→ ＝2OP→ ＝2λOA→ ＋2μOB→ ＝xOA→ ＋yOB→ ， ∴x＋y＝2λ＋2μ＝2(λ＋μ)＝2. 所以 x＋y 的最大值为 2.]