2022版高考数学一轮复习课后限时集训51椭圆及其性质含解析

课后限时集训(五十一) 椭圆及其性质 建议用时：40 分钟 一、选择题 1．(多选)(2020·山东烟台一中月考)已知椭圆 x2＋ky2＝1 的焦距为 2，则 ( ) A．k＝2 B．k＝2 或 k＝ 2 3 C．离心率 e＝ 2 2 D．离心率 e＝ 2 2 或 e＝ 3 3 BD [将椭圆方程化为标准方程 x2＋ y2 1 k ＝1,2c＝ 2，∴c2＝ 1 2 .当焦点在 x 轴上时，a2＝1， b2＝ 1 k ，那么 c2＝1－ 1 k ＝ 1 2 ，∴k＝2，此时 e＝ c a ＝ 2 2 .当焦点在 y 轴上时，a2＝ 1 k ，b2＝1，那 么 c2＝ 1 k －1＝ 1 2 ，∴k＝ 2 3 ，此时 e＝ c a ＝ 1 2 3 2 ＝ 3 3 .故选项 BD 正确．] 2．已知方程 x2 2－k ＋ y2 2k－1 ＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是( ) A． 1 2 ，2 B．(1，＋∞) C．(1,2) D． 1 2 ，1 C [由题意得 2－k＞0， 2k－1＞0， 2k－1＞2－k， 解得 1＜k＜2.故选 C.] 3．(2020·皖南八校联考)已知椭圆 C 的焦点为 F1(－1,0)，F2(1,0)．过点 F1 的直线与 C 交于 A，B 两点．若△ABF2 的周长为 8，则椭圆 C 的标准方程为( ) A． x2 16 ＋ y2 15 ＝1 B． x2 8 ＋ y2 7 ＝1 C． x2 4 ＋ y2 3 ＝1 D． x2 3 ＋ y2 4 ＝1 C [根据椭圆的定义知△ABF2 的周长为 4a＝8， ∴a＝2，又 c＝1，∴b2＝a2－c2＝3， ∴椭圆 C 的标准方程为 x2 4 ＋ y2 3 ＝1.] 4．(多选)(2020·四川月考)设定点 F1(0，－3)，F2(0,3)，动点 P 满足|PF1| ＋|PF2|＝a＋ 9 a (a>0)，则点 P 的轨迹可能是( ) A．椭圆 B．圆 C．线段 D．不存在 AC [当 a>0 时，由基本不等式得 a＋ 9 a ≥2 a× 9 a ＝6，当且仅当 a＝3 时等号成立．当 a＋ 9 a ＝6 时，点 P 的轨迹是线段 F1F2，当 a＋ 9 a >6＝|F1F2|时，点 P 的轨迹是以 F1，F2 为焦点 的椭圆．故选 AC.] 5．(2020·武邑模拟)点 P 在焦点为 F1(－4,0)和 F2(4,0)的椭圆上，若△PF1F2 面积的最大值 为 16，则椭圆标准方程为( ) A． x2 20 ＋ y2 4 ＝1 B． x2 4 ＋ y2 20 ＝1 C． x2 32 ＋ y2 16 ＝1 D． x2 10 ＋ y2 6 ＝1 C [由题意，2c＝8，即 c＝4， ∵△ PF1F2 面积的最大值为 16，∴ 1 2 ×2c×b＝16， 即 4b＝16，b＝4，∴a2＝b2＋c2＝16＋16＝32. 则椭圆的标准方程为 x2 32 ＋ y2 16 ＝1.故选 C.] 6．(多选)(2020·山东济宁金乡一中月考)已知椭圆 C：x2＋ y2 n ＝1(n>0)的离心率为 3 2 ， 则 n 的值可能是( ) A．4 B． 1 4 C．2 D． 1 2 AB [当椭圆 C 的焦点在 x 轴上时，0b>0)的一个焦点是圆 x2＋y2－6x＋8＝0 的圆心，且短轴长为 8，则椭圆的左顶点为________． (－5,0) [∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，∴圆心坐标为(3,0)，∴c＝3.又 b＝4，∴a＝ b2＋c2＝5.∵椭圆的焦点在 x 轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．] 8．(2019·全国卷Ⅲ)设 F1，F2 为椭圆 C： x2 36 ＋ y2 20 ＝1 的两个焦点，M 为 C 上一点且在第 一象限，若△MF1F2 为等腰三角形，则 M 的坐标为____________． (3， 15) [不妨令 F1，F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点，根据题意可知 c＝ 36－20＝ 4.因为△MF1F2 为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设 M(x，y)， 则 x2 36 ＋ y2 20 ＝1， x＋4 2＋y2＝64， x＞0， y＞0， 得 x＝3， y＝ 15， 所以 M 的坐标为(3， 15)．] 9．(2020·江苏月考)已知 F 是椭圆 5x2＋9y2＝45 的左焦点，P 是椭圆上的动点， A(1,1)，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________． 6＋ 2 6－ 2 [椭圆方程可化为 x2 9 ＋ y2 5 ＝1. 设 F1 是椭圆的右焦点，则 F1(2,0)，连接 AF1，PF1， ∴|AF1|＝ 2，易知|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6. 又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当 P，A，F1 三点共线时等号成立)， ∴6－ 2≤|PA|＋|PF|≤6＋ 2.] 三、解答题 10．已知点 P 是圆 F1：(x＋1)2＋y2＝16 上任意一点(F1 是圆心)，点 F2 与点 F1 关于原点 对称．线段 PF2 的垂直平分线 m 分别与 PF1，PF2 交于 M，N 两点．求点 M 的轨迹 C 的方程． [解] 由题意得 F1(－1,0)，F2(1,0)，圆 F1 的半径为 4， 且|MF2|＝|MP|，从而|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝|PF1|＝4>|F1F2|＝2， 所以点 M 的轨迹是以 F1，F2 为焦点的椭圆， 其中长轴长为 4，焦距为 2，则短半轴长为 3， 所以点 M 的轨迹方程为 x2 4 ＋ y2 3 ＝1. 11.如图所示，已知椭圆 x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0)，F1，F2 分别为椭圆 的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线 AF2 交椭圆于另一点 B. (1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的焦距为 2，且AF2 → ＝2F2B→ ，求椭圆的方程． [解] (1)若∠F1AB＝90°， 则△AOF2 为等腰直角三角形， 所以有|OA|＝|OF2|，即 b＝c. 所以 a＝ 2c，e＝ c a ＝ 2 2 . (2)由题意知 A(0，b)，F2(1,0)，设 B(x，y)， 由AF2 → ＝2F2B→ ，得 2 x－1 ＝1， 2y＝－b， 解得 x＝ 3 2 ，y＝－ b 2 . 代入 x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1，得 9 4 a2 ＋ b2 4 b2 ＝1. 即 9 4a2 ＋ 1 4 ＝1，解得 a2＝3. 所以椭圆方程为 x2 3 ＋ y2 2 ＝1. 1．(2020·潍坊三模)已知椭圆 C： x2 a ＋ y2 b ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2 且|F1F2| ＝2，点 P(1,1)在椭圆内部，点 Q 在椭圆上，给出以下四个结论： ①|QF1|＋|QP|的最小值为 2 a－1； ②椭圆 C 的短轴长可能为 2； ③椭圆 C 的离心率的取值范围为 0， 5－1 2 ； ④若PF1 → ＝F1Q→ ，则椭圆 C 的长轴长为 5＋ 17. 则上述结论正确的是( ) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ C [因为|F1F2|＝2，所以 F2(1,0)，|PF2|＝1， 所以|QF1|＋|QP|＝2 a－|QF2|＋|QP|≥2 a－|PF2|＝2 a－1， 当 Q，F2，P 三点共线时，取等号，故①正确； 若椭圆 C 的短轴长为 2，则 b＝1，a＝2，所以椭圆方程为 x2 2 ＋ y2 1 ＝1， 1 2 ＋ 1 1 ＞1，则点 P 在椭圆外，故②错误；因为点 P(1,1)在椭圆内部，所以 1 a ＋ 1 b ＜1， 又 a－b＝1，所以 b＝a－1，所以 1 a ＋ 1 a－1 ＜1， 即 a2－3a＋1＞0，解得 a＞ 3＋ 5 2 ＝ 6＋2 5 4 ＝ 1＋ 5 2 4 ， 所以 a＞ 1＋ 5 2 ，所以 e＝ 1 a ＜ 5－1 2 ， 所以椭圆 C 的离心率的取值范围为 0， 5－1 2 ，故③正确；若PF1 → ＝F1Q→ ，则 F1 为线段 PQ 的中点，所以 Q(－3，－1)，所以 9 a ＋ 1 b ＝1，又 a－b＝1，即 a2－11a＋9＝0，解得 a＝ 11＋ 85 2 ＝ 22＋2 85 4 ＝ 5＋ 17 2 4 ，所以 a＝ 5＋ 17 2 ，所以椭圆 C 的长轴长为 5 ＋ 17，故④正确．故选 C.] 2．(多选)(2020·山东黄岛一中月考)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿 地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个 焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍然以 F 为 一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道Ⅲ 绕月飞行，若用 2c1 和 2c2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用 2a1 和 2a2 分别表示椭圆轨道 Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子中正确的是( ) A．a1＋c1＝a2＋c2 B．a1－c1＝a2－c2 C．c1a2>a1c2 D． c1 a1 < c2 a2 BC [对于 A，因为在椭圆中，a＋c 是椭圆上的点到焦点的最大距离，所以 a1＋c1>a2 ＋c2，所以 A 错误；对于 B，因为在椭圆中，a－c 是椭圆上的点到焦点的最小距离，所以 a1 －c1＝a2－c2，所以 B 正确；对于 C，D，因为由题图可以看出椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ扁，所以椭圆 Ⅰ比椭圆Ⅱ的离心率大，所以 D 是错误的，C 正确．] 3．(2020·豫州九校联考)椭圆 C： x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的长轴长、短轴长和焦距成等差 数列，若点 P 为椭圆 C 上的任意一点，且 P 在第一象限，O 为坐标原点，F(3,0)为椭圆 C 的 右焦点，求OP→ ·PF→的取值范围． [解] 因为椭圆 C 的长轴长、短轴长和焦距成等差数列， 所以 2a＋2c＝4b，即 a＋c＝2b. F(3,0)为椭圆 C 的右焦点，所以 c＝3. 在椭圆中，a2＝c2＋b2， 所以 a2＝c2＋b2 a＋c＝2b c＝3 ，解方程组得 a＝5 b＝4 c＝3， 所以椭圆方程为 x2 25 ＋ y2 16 ＝1. 设 P(m，n)(0＜m＜5)， 则 m2 25 ＋ n2 16 ＝1，则 n2＝16－ 16 25 m2. 所以OP→ ·PF→＝(m，n)(3－m，－n)＝3m－m2－n2 ＝3m－m2－ 16－ 16 25 m2 ＝－ 9 25 m2＋3m－16 ＝－ 9 25 m－ 25 6 2－ 39 4 . 因为 0＜m＜5，所以当 m＝ 25 6 时，OP→ ·PF→取得最大值为－ 39 4 ， 当 m 趋近于 0 时，OP→ ·PF→的值趋近于－16. 所以OP→ ·PF→的取值范围为 －16，－ 39 4 . 1．(2020·北京模拟)已知椭圆 G： x2 6 ＋ y2 b2 ＝1(0＜b＜ 6)的两个焦点分别为 F1 和 F2，短 轴的两个端点分别为 B1 和 B2，点 P 在椭圆 G 上，且满足|PB1|＋|PB2|＝|PF1|＋|PF2|，当 b 变 化时，给出下列三个命题： ①点 P 的轨迹关于 y 轴对称； ②|OP|的最小值为 2； ③存在 b 使得椭圆 G 上满足条件的点 P 仅有两个， 其中，所有正确命题的序号是________． ①② [椭圆 G： x2 6 ＋ y2 b2 ＝1(0＜b＜ 6)的两个焦点分别为 F1( 6－b2，0)和 F2(－ 6－b2，0)， 短轴的两个端点分别为 B1(0，－b)和 B2(0，b)， 设 P(x，y)，点 P 在椭圆 G 上， 且满足|PB1|＋|PB2|＝|PF1|＋|PF2|， 由椭圆定义可得，|PB1|＋|PB2|＝2a＝2 6＞2b， 即有 P 在椭圆 y2 6 ＋ x2 6－b2 ＝1 上， 对于①，将 x 换为－x 方程不变， 则点 P 的轨迹关于 y 轴对称，故①正确； 对于②，由图象可得，当 P 满足 x2＝y2， 即有 6－b2＝b2， 即 b＝ 3时，|OP|取得最小值， 可得 x2＝y2＝2 时， 即有|OP|＝ x2＋y2＝ 2＋2＝2 取得最小值为 2，故②正确； 对于③，由图象可得轨迹关于 x，y 轴对称，且 0＜b＜ 6， 则椭圆 G 上满足条件的点 P 有 4 个， 不存在 b 使得椭圆 G 上满足条件的点 P 有 2 个，故③不正确．故答案为①②.] 2．(2019·全国卷Ⅱ)已知 F1，F2 是椭圆 C： x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P 为 C 上 的点，O 为坐标原点． (1)若△POF2 为等边三角形，求 C 的离心率； (2)如果存在点 P，使得 PF1⊥PF2，且△F1PF2 的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围． [解] (1)连接 PF1(图略)，由△POF2 为等边三角形可知在△F1PF2 中，∠F1PF2＝90°，|PF2| ＝c，|PF1|＝ 3c，于是 2a＝|PF1|＋|PF2|＝( 3＋1)c，故 C 的离心率为 e＝ c a ＝ 3－1. (2)由题意可知，满足条件的点 P(x，y)存在当且仅当 1 2 |y|·2c＝16， y x＋c · y x－c ＝－1， x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1， 即 c|y|＝16， ① x2＋y2＝c2， ② x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1. ③ 由②③及 a2＝b2＋c2 得 y2＝ b4 c2 . 又由①知 y2＝ 162 c2 ，故 b＝4. 由②③及 a2＝b2＋c2 得 x2＝ a2 c2 (c2－b2)， 所以 c2≥b2，从而 a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故 a≥4 2. 当 b＝4，a≥4 2时，存在满足条件的点 P. 所以 b＝4，a 的取值范围为[4 2，＋∞)．