2022版高考数学一轮复习课后限时集训42直线平面平行的判定及其性质含解析

课后限时集训(四十二) 直线、平面平行的判定及其性质 建议用时：40 分钟 一、选择题 1．若直线 l 不平行于平面α，且 l⊄ α，则( ) A．α内的所有直线与 l 异面 B．α内不存在与 l 平行的直线 C．α与直线 l 至少有两个公共点 D．α内的直线与 l 都相交 B [∵l⊄ α，且 l 与α不平行，∴l∩α＝P，故α内不存在与 l 平行的直线．故选 B.] 2.如图所示的三棱柱 ABCA1B1C1 中，过 A1B1 的平面与平面 ABC 交 于 DE，则 DE 与 AB 的位置关系是( ) A．异面 B．平行 C．相交 D．以上均有可能 B [由面面平行的性质可得 DE∥A1B1，又 A1B1∥AB， 故 DE∥AB.所以选 B.] 3．(多选)(2020·山东济宁期末)已知 m，n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的 平面，则下列说法正确的是( ) A．若 m∥α，n∥β且α∥β，则 m∥n B．若 m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β C．若 m∥n，n⊂α，α∥β，m⊄ β，则 m∥β D．若 m∥n，n⊥α，α⊥β，则 m∥β BC [A.若 m∥α，n∥β且α∥β，则可能 m∥n，m，n 异面，或 m，n 相交，A 错误； B．若 m∥n，m⊥α，则 n⊥α，又 n⊥β，故α∥β，B 正确； C．若 m∥n，n⊂α，则 m∥α或 m⊂α，又α∥β，m⊄ β，故 m∥β，C 正确； D．若 m∥n，n⊥α，则 m⊥α，又α⊥β，则 m∥β或 m⊂β，D 错误． 故选 BC.] 4．(多选)设 m，n，l 为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下面结论不正确 的是( ) A．若 m⊂α，n⊂β，α∥β，则 m∥n B．若 m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β C．若 m⊥α，n⊥β，α⊥β，则 m⊥n D．若 m∥α，n∥α，l⊥m，l⊥n，则 l⊥α ABD [A 选项中，m，n 还可能异面；B 选项中，α，β可能平行或相交；易知 C 正确； D 选项中，只有 m，n 相交才可推出 l⊥α.] 5.如图，AB∥平面α∥平面β，过 A，B 的直线 m，n 分别交α，β于 C， E 和 D，F，若 AC＝2，CE＝3，BF＝4，则 BD 的长为( ) A. 6 5 B． 7 5 C. 8 5 D． 9 5 C [由 AB∥α∥β，易证 AC CE ＝ BD DF ， 即 AC AE ＝ BD BF ， 所以 BD＝ AC·BF AE ＝ 2×4 5 ＝ 8 5 .] 6．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有( ) A．0 条 B．1 条 C．2 条 D．0 条或 2 条 C [如图，设平面α截三棱锥所得的四边形 EFGH 是平行四边形，则 EF∥GH，EF⊄ 平面 BCD，GH⊂平面 BCD，所以 EF∥平面 BCD，又 EF⊂平面 ACD，平面 ACD∩平面 BCD＝CD， 则 EF∥CD，EF⊂平面 EFGH，CD⊄ 平面 EFGH，则 CD∥平面 EFGH，同理 AB∥平面 EFGH， 所以该三棱锥与平面α平行的棱有 2 条，故选 C.] 二、填空题 7．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ， 且________，则 m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题． ①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ. 可以填入的条件有________． ①和③ [由面面平行的性质定理可知，①正确；当 n∥β，m⊂γ时，n 和 m 在同一平面 内，且没有公共点，所以平行，③正确．] 8.如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB＝2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上．若 EF∥平面 AB1C，则线段 EF 的长度等于 ________． 2 [在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB＝2， ∴AC＝2 2. 又 E 为 AD 中点，EF∥平面 AB1C，EF⊂平面 ADC， 平面 ADC∩平面 AB1C＝AC， ∴EF∥AC，∴F 为 DC 中点，∴EF＝ 1 2 AC＝ 2.] 9．棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M 是棱 AA1 的中点，过 C，M，D1 作正方 体的截面，则截面的面积是________． 9 2 [如图，由面面平行的性质知截面与平面 ABB1A1 的交线 MN 是 △AA1B 的中位线，所以截面是梯形 CD1MN，易求其面积为 9 2 .] 三、解答题 10．(2020·徐州模拟)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，E，F 分别 为 A1C1 和 BC 的中点，M，N 分别为 A1B 和 A1C 的中点．求证： (1)MN∥平面 ABC； (2)EF∥平面 AA1B1B. [证明] (1)∵M、N 分别是 A1B 和 A1C 的中点． ∴MN∥BC，又 BC⊂平面 ABC，MN⊄ 平面 ABC， ∴MN∥平面 ABC. (2)如图，取 A1B1 的中点 D，连接 DE，BD. ∵D 为 A1B1 的中点，E 为 A1C1 中点， ∴DE∥B1C1 且 DE＝ 1 2 B1C1， 在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧面 BCC1B1 是平行四边形，∴BC ∥B1C1 且 BC＝B1C1，∵F 是 BC 的中点， ∴BF∥B1C1 且 BF＝ 1 2 B1C1， ∴DE∥BF 且 DE＝BF，∴四边形 DEFB 是平行四边形，∴EF∥BD， 又 BD⊂平面 AA1B1B，EF⊄ 平面 AA1B1B， ∴EF∥平面 AA1B1B. 11.如图，在正方体 ABCDA′B′C′D′中，E，F 分别是 AB′， BC′ 的中点． (1)若 M 为 BB′的中点，证明：平面 EMF∥平面 ABCD； (2)在(1)的条件下，当正方体的棱长为 2 时，求三棱锥 M EBF 的体积． [解] (1)证明：∵在正方体 ABCDA′B′C′D′中，E，F 分别是 AB′，BC′的中点，M 为 BB′ 的中点， ∴ME∥AB，MF∥B′C′∥BC， ∵ME∩MF＝M，AB∩BC＝B，ME，MF⊂平面 MEF，AB，BC⊂平面 ABCD， ∴平面 EMF∥平面 ABCD. (2)∵E，F 分别是 AB′，BC′的中点，M 为 BB′的中点，∴ME 綊 1 2 AB＝1，MF 綊 1 2 BC＝1， BM⊥平面 MEF，BM＝1， ∵AB⊥BC，∴EM⊥MF， ∴S△MEF＝ 1 2 ×ME×MF＝ 1 2 ×1×1＝ 1 2 ， ∴三棱锥 MEBF 的体积： VMEBF＝VBMEF＝ 1 3 ×S△EMF×BM＝ 1 3 × 1 2 ×1＝ 1 6 . 1．(多选)如图，在棱长均相等的四棱锥 PABCD 中，O 为底面 正方形的中心，M，N 分别为侧棱 PA，PB 的中点，则下列结论正 确的有( ) A．PD∥平面 OMN B．平面 PCD∥平面 OMN C．直线 PD 与直线 MN 所成角的大小为 90° D．ON⊥PB ABD [选项 A，连接 BD(图略)，显然 O 为 BD 的中点，又 N 为 PB 的中点，所以 PD∥ ON，又 ON⊂平面 OMN，PD⊄ 平面 OMN，由线面平行的判定定理可得，PD∥平面 OMN， A 正确； 选项 B，由 M，N 分别为侧棱 PA，PB 的中点，得 MN∥AB，又底面为正方形，所以 MN∥CD，又 MN⊂平面 OMN，CD⊄ 平面 OMN，由线面平行的判定定理可得，CD∥平面 OMN，又选项 A 中得 PD∥平面 OMN，CD⊂平面 PCD，PD⊂平面 PCD，CD∩PD＝D，由 面面平行的判定定理可得，平面 PCD∥平面 OMN，B 正确； 选项 C，因为 MN∥CD，所以∠PDC 为直线 PD 与直线 MN 所成的角，又因为四棱锥中 所有棱长都相等，所以∠PDC＝60°，故直线 PD 与直线 MN 所成角的大小为 60°，C 错误； 选项 D，因为底面为正方形，所以 AB2＋AD2＝BD2，又所有棱长都相等，所以 PB2＋PD2 ＝BD2，故 PB⊥PD，又 PD∥ON，所以 ON⊥PB，D 正确．故选 ABD.] 2.在三棱锥 SABC 中，△ABC 是边长为 6 的正三角形，SA＝ SB＝SC＝12，平面 DEFH 分别与 AB，BC，SC，SA 交于 D，E， F，H，且它们分别是 AB，BC，SC，SA 的中点，那么四边形 DEFH 的面积为( ) A．18 B．18 3 C．36 D．36 3 A [因为 D，E，F，H 分别是 AB，BC，SC，SA 的中点，所 以 DE∥AC，FH∥AC，DH∥SB，EF∥SB，则四边形 DEFH 是平行四 边形，且 HD＝ 1 2 SB＝6，DE＝ 1 2 AC＝3. 如图，取 AC 的中点 O，连接 OB、SO， 因为 SA＝SC＝12，AB＝BC＝6， 所以 AC⊥SO，AC⊥OB， 又 SO∩OB＝O， 所以 AO⊥平面 SOB， 所以 AO⊥SB， 则 HD⊥DE，即四边形 DEFH 是矩形， 所以四边形 DEFH 的面积 S＝6×3＝18，故选 A.] 3.如图，AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上异于 A，B 的点， P 为平面 ABC 外一点，E、F 分别是 PA、PC 的中点．记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l，试判断直线 l 与平面 PAC 的位置关系， 并加以证明． [解] 直线 l∥平面 PAC，证明如下： 因为 E、F 分别是 PA、PC 的中点， 所以 EF∥AC. 又 EF⊄ 平面 ABC，且 AC⊂平面 ABC， 所以 EF∥平面 ABC. 而 EF⊂平面 BEF， 且平面 BEF∩平面 ABC＝l， 所以 EF∥l. 因为 l⊄ 平面 PAC，EF⊂平面 PAC， 所以 l∥平面 PAC. 1.如图所示，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，E，F，G，H 分别 是棱 CC1，C1D1，D1D，DC 的中点，N 是 BC 的中点，点 M 在四边 形 EFGH 及其内部运动，则 M 只需满足条件________时，就有 MN∥ 平面 B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部 可能情况) 点 M 在线段 FH 上(或点 M 与点 H 重合) [连接 HN，FH，FN(图略)，则 FH∥DD1，HN∥BD， ∴平面 FHN∥平面 B1BDD1，只需 M∈FH， 则 MN⊂平面 FHN， ∴MN∥平面 B1BDD1.] 2.如图，四棱锥 PABCD 中，AB∥CD，AB＝2CD，E 为 PB 的 中点． (1)求证：CE∥平面 PAD. (2)在线段 AB 上是否存在一点 F，使得平面 PAD∥平面 CEF？若存在，证明你的结论， 若不存在，请说明理由． [解] (1)证明：如图，取 PA 的中点 H，连接 EH，DH， 因为 E 为 PB 的中点， 所以 EH∥AB，EH＝ 1 2 AB， 又 AB∥CD，CD＝ 1 2 AB， 所以 EH∥CD，EH＝CD， 因此四边形 DCEH 为平行四边形， 所以 CE∥DH， 又 DH⊂平面 PAD，CE⊄ 平面 PAD， 因此 CE∥平面 PAD. (2)存在点 F 为 AB 的中点，使平面 PAD∥平面 CEF， 证明如下： 取 AB 的中点 F，连接 CF，EF， 则 AF＝ 1 2 AB， 因为 CD＝ 1 2 AB，所以 AF＝CD， 又 AF∥CD，所以四边形 AFCD 为平行四边形， 因此 CF∥AD. 又 AD⊂平面 PAD，CF⊄ 平面 PAD， 所以 CF∥平面 PAD， 由(1)可知 CE∥平面 PAD， 又 CE∩CF＝C， 故平面 CEF∥平面 PAD， 故存在 AB 的中点 F 满足要求．