2022版高考数学一轮复习高考大题规范解答系列二_三角函数学案新人教版

高考 - 1 - / 6 高考大题规 X 解答系列(二)——三角函数 考点一 三角函数的综合问题 例 1 已知向量 a＝( 2sin 2x， 2cos 2x)，b＝(cos θ，sin θ)(|θ|< π 2 )，若 f(x) ＝a·b，且函数 f(x)的图象关于直线 x＝ π 6 对称． (1)求函数 f(x)的解析式，并求 f(x)的单调递减区间； (2)在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 f(A)＝ 2，且 b＝5，c＝2 3， 求△ABC 外接圆的面积． [分析](1)看到求 f(x)的解析式，想到对 a·b 进行化简；看到求 f(x)的单调减区间，想到 y ＝sin x 的单调减区间； (2)看到求△ABC 外接圆的面积，想到求半径 r 和正弦定理． [标准答案]——规 X 答题 步步得分 (1)f(x)＝a·b＝ 2sin 2xcos θ＋ 2cos 2xsin θ＝ 2sin(2x＋θ)，2 分 得分点① ∵函数 f(x)的图象关于直线 x＝ π 6 对称， ∴2× π 6 ＋θ＝kπ＋ π 2 ，k∈Z，∴θ＝kπ＋ π 6 ，k∈Z， 又|θ|< π 2 ，∴θ＝ π 6 . ∴f(x)＝ 2sin 2x＋ π 6 .4 分 得分点② 由 2kπ＋ π 2 ≤2x＋ π 6 ≤2kπ＋ 3π 2 ，k∈Z， 得 kπ＋ π 6 ≤x≤kπ＋ 2π 3 ，k∈Z. ∴f(x)的单调递减区间为 kπ＋ π 6 ，kπ＋ 2π 3 ，k∈Z.6 分 得分点③ 高考 - 2 - / 6 (2)∵f(A)＝ 2sin 2A＋ π 6 ＝ 2，∴sin 2A＋ π 6 ＝1. ∵A∈(0，π)，∴2A＋ π 6 ∈ π 6 ， 13π 6 ， ∴2A＋ π 6 ＝ π 2 ，∴A＝ π 6 .8 分 得分点④ 在△ABC 中，由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋12－2×5×2 3cos π 6 ＝7，∴ a＝ 7.10 分 得分点⑤ 由正弦定理得 a sin A ＝2R＝ 7 1 2 ＝2 7，∴R＝ 7， ∴△ABC 外接圆的面积 S＝πR2＝7π.12 分 得分点⑥ [评分细则] ①正确化简求出 f(x)的解析式得 2 分． ②正确利用三角函数的对称轴求对θ的值，得 2 分． ③正确利用 y＝sin x 的单调减区间，求出 f(x)的减区间，得 2 分． ④正确利用特殊角的三角函数值求对角 A，得 2 分． ⑤正确利用余弦定理求对 a 的值，得 2 分． ⑥正确利用正弦定理求对半径 r 和圆的面积得 2 分． [名师点评] 1．核心素养： 三角函数问题是高考的必考问题，三角求值与求三角函数的最值、周期、单调区间是高 考的常见题型；本题型重点考查灵活运用三角公式进行三角变换的能力，以及“数学运算” 素养的达成度． 2．解题技巧： (1)要善于抓解题关键点，解题步骤中明显呈现得分点，如本题 f(x)＝ 2sin 2x＋ π 6 必须 高考 - 3 - / 6 求对． (2)要清晰呈现求角 A 的过程以及用正、余弦定理求出外接圆半径 r. 〔变式训练 1〕 (2021·某某模拟)已知向量 a＝(sin x，cos x)，b＝( 3cos x，cos x)，f(x)＝a·b. (1)求函数 f(x)＝a·b 的最小正周期； (2)在△ABC 中，BC＝ 7，sin B＝3sin C，若 f(A)＝1，求△ABC 的周长． [解析](1)f(x)＝ 3sin xcos x＋cos2x ＝ 3 2 sin 2x＋ 1 2 cos 2x＋ 1 2 ， f(x)＝sin 2x＋ π 6 ＋ 1 2 ， 所以 f(x)的最小正周期 T＝ 2π 2 ＝π. (2)由题意可得 sin 2A＋ π 6 ＝ 1 2 ， 又 0