2022版高考数学一轮复习课后限时集训12幂函数与二次函数含解析

课后限时集训(十二) 幂函数与二次函数 建议用时：40 分钟 一、选择题 1．(多选)若幂函数 y＝f(x)的图象经过点(3,27)，则幂函数 f(x)是( ) A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 AC [设幂函数为 f(x)＝xa(a 为常数)，因为其图象经过点(3,27)，所以 27＝3a，解得 a ＝3，所以幂函数 f(x)＝x3.因为 f(x)的定义域为 R，且 f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，所以 f(x) 是奇函数，又 a＝3＞0，所以 f(x)在 R 上是增函数．故选 AC.] 2.若四个幂函数 y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd 在同一坐标 系中 的图象如图所示，则 a，b，c，d 的大小关系是( ) A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞d C．d＞c＞a＞b D．a＞b＞d＞c B [幂函数的图象在第一象限内，x＝1 的右侧部分的图象，由下至上，幂指数增大，所 以 a＞b＞c＞d.故选 B.] 3．设 x＝0.20.3，y＝0.30.2，z＝0.30.3，则 x，y，z 的大小关系为( ) A．x＜z＜y B．y＜x＜z C．y＜z＜x D．z＜y＜x A [由函数 y＝0.3x 在 R 上单调递减，可得 y＞z.由函数 y＝x0.3 在(0，＋∞)上单调递增， 可得 x＜z.所以 x＜z＜y.] 4．(多选)(2020·广东深圳模拟改编)已知幂函数 g(x)＝(2a－1)xa＋1 的图象过函数 f(x)＝ mx－b－ 1 2 (m＞0，且 m≠1)的图象所经过的定点，则 b 的值可以为( ) A． 1 2 B． 2 2 C．－ 2 2 D．－ 1 2 BC [由于 g(x)＝(2a－1)xa＋1 为幂函数，则 2a－1＝1，解得 a＝1，所以 g(x)＝x2.函数 f(x)＝mx－b－ 1 2 (m＞0，且 m≠1)，当 x＝b 时，f(b)＝mb－b－ 1 2 ＝ 1 2 ，故 f(x)的图象所经过的定 点坐标为 b， 1 2 ，所以 g(b)＝ 1 2 ，所以 b2＝ 1 2 ，解得 b＝± 2 2 .故选 BC.] 5．已知 a，b，c∈R，函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，若 f(0)＝f(4)＞f(1)，则( ) A．a＞0,4a＋b＝0 B．a＜0,4a＋b＝0 C．a＞0,2a＋b＝0 D．a＜0,2a＋b＝0 A [由 f(0)＝f(4)，得 f(x)＝ax2＋bx＋c 图象的对称轴为 x＝－ b 2a ＝2，∴4a＋b＝0，又 f(0)＞f(1)，f(4)＞f(1)，∴f(x)先减后增，于是 a＞0，故选 A.] 6．二次函数 f(x)的二次项系数为正数，且对任意的 x∈R 都有 f(x)＝f(4－x)成立，若 f(1 －2x2)＜f(1＋2x－x2)，则实数 x 的取值范围是( ) A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2) C．(－2,0) D．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C [由题意知，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 x＝2，图象在对称轴左侧对应 的函数为减函数． 又 1－2x2＜2,1＋2x－x2＝2－(x－1)2≤2，所以由 f(1－2x2)＜f(1＋2x－x2)，得 1－2x2 ＞1＋2x－x2，解得－2＜x＜0.故选 C.] 二、填空题 7．已知二次函数 f(x)的图象经过点(2，－6)，方程 f(x)＝0 的解集是 {－1,4}，则 f(x)的解析式为________． f(x)＝x2－3x－4 [因为 f(x)是二次函数，且方程 f(x)＝0 的解集是{－1,4}， 即 f(x)的图象过点(－1,0)和(4,0)， 所以可设 f(x)＝a(x＋1)(x－4)(a≠0)． 又因为 f(x)的图象经过点(2，－6)， 所以(2＋1)×(2－4)a＝－6，即 a＝1. 故 f(x)＝(x＋1)(x－4)＝x2－3x－4.] 8．已知函数 f(x)＝(m－2)x2＋(m－8)x(m∈R)是奇函数，若对于任意的 x∈R，关于 x 的不等式 f(x2＋1)＜f(a)恒成立，则实数 a 的取值范围是________． (－∞，1) [由 f(－x)＝－f(x)得(m－2)x2－(m－8)x＝－(m－2)x2－(m－8)x， 则 m－2＝0，即 m＝2，∴f(x)＝－6x，f(x)是 R 上的奇函数，且为减函数，由 f(x2＋1) ＜f(a)恒成立得 x2＋1＞a 恒成立．又当 x∈R 时，x2＋1≥1，所以 a＜1.] 9．若关于 x 的方程 x2－x－m＝0 在[－1,1]上有解，则实数 m 的取值范围是________． － 1 4 ，2 [法一：由 x2－x－m＝0 得 m＝x2－x， 设 f(x)＝x2－x， 则 f(x)＝ x－ 1 2 2－ 1 4 ， 当 x∈[－1,1]时，f(x)min＝－ 1 4 ， f(x)max＝f(－1)＝2，即－ 1 4 ≤f(x)≤2，∴－ 1 4 ≤m≤2. 法二：设 f(x)＝x2－x－m， 则 f(x)＝ x－ 1 2 2－m－ 1 4 ， 因为方程 f(x)＝0 在[－1,1]上有解，则 f 1 2 ＝－m－ 1 4 ≤0， f －1 ＝2－m≥0， 解得－ 1 4 ≤m≤2.] 三、解答题 10．已知函数 f(x)＝x2＋(2a－1)x－3. (1)当 a＝2，x∈[－2,3]时，求函数 f(x)的值域； (2)若函数 f(x)在[－1,3]上的最大值为 1，求实数 a 的值． [解] (1)当 a＝2 时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]， 对称轴为 x＝－ 3 2 ∈[－2,3]， ∴f(x)min＝f － 3 2 ＝ 9 4 － 9 2 －3＝－ 21 4 ， f(x)max＝f(3)＝15， ∴函数 f(x)的值域为 － 21 4 ，15 . (2)∵函数 f(x)图象的对称轴为 x＝－ 2a－1 2 . ①当－ 2a－1 2 ≤1，即 a≥－ 1 2 时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3， ∴6a＋3＝1，即 a＝－ 1 3 ，满足题意； ②当－ 2a－1 2 ＞1，即 a＜－ 1 2 时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1， ∴－2a－1＝1，即 a＝－1，满足题意． 综上可知，a＝－ 1 3 或－1. 11．已知二次函数 f(x)的最小值为 1，且 f(0)＝f(2)＝3. (1)求 f(x)的解析式； (2)若 f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数 a 的取值范围； (3)在[－1,1]上，y＝f(x)的图象恒在 y＝2x＋2m＋1 的图象上方，试确定实数 m 的取值 范围． [解] (1)∵f(x)是二次函数，且 f(0)＝f(2)， ∴函数 f(x)图象的对称轴为直线 x＝1. 又 f(x)的最小值为 1， 故可设 f(x)＝A(x－1)2＋1(A≠0)． ∵f(0)＝3，∴A＋1＝3，解得 A＝2， ∴f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3. (2)要使 f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调， 则 2a＜1＜a＋1， 解得 0＜a＜ 1 2 . (3)由已知得 2x2－4x＋3＞2x＋2m＋1 在[－1,1]上恒成立， 化简得 m＜x2－3x＋1. 设 g(x)＝x2－3x＋1， 则 g(x)在区间[－1,1]上单调递减， ∴g(x)在区间[－1,1]上的最小值为 g(1)＝－1， ∴m＜－1. 1．(多选)(2020·天津北辰区一诊改编)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x≥0 时， f(x)＝x2－4x，则下列选项正确的是( ) A．函数 f(x)的值域为[－4，＋∞) B．f(x)的零点有 4 个 C．不等式 f(x＋2)＜5 的解集为(－7,3) D．方程|f(x)|＝4 的根有 4 个 ACD [对于 A，由于函数 f(x)是偶函数，所以其图象关于 y 轴对称，当 x≥0 时，f(x)＝ x2－4x≥－4，故函数 f(x)的值域为[－4，＋∞)，A 正确；对于 B，当 x≥0 时，由 f(x)＝x2－ 4x＝0，得 x＝0 或 x＝4.由于函数 f(x)为偶函数，故 f(x)还有一个零点 x＝－4，f(x)的零点有 3 个，故选项 B 错误；对于 C，当 x≥0 时，由 f(x)＝x2－4x＜5，得 0≤x＜5；当 x＜0 时，根 据偶函数图象的对称性知不等式 f(x)＜5 的解集为{x|－5＜x＜0}，所以不等式 f(x)＜5 的解集 为{x|－5＜x＜5}，所以不等式 f(x＋2)＜5 的解集为{x|－5＜x＋2＜5}＝{x|－7＜x＜3}，故 C 正确；作出函数 y＝|f(x)|的图象(图略)，易得方程|f(x)|＝4 的根有 4 个，D 正确．故选 ACD.] 2．(多选)若函数 f(x)＝(x－1)|x＋a|在区间(1,2)上单调递增，则满足条件的实数 a 的值可 能是( ) A．0 B．2 C．－2 D．－3 ABD [根据题意可知 f(x)＝ x2＋ a－1 x－a，x≥－a， －x2－ a－1 x＋a，x＜－a. 对于 y＝x2＋(a－1)x－a 及 y＝－x2－(a－1)x＋a，其 图象的对称轴均为直线 x＝ 1－a 2 .当 1－a 2 ≥－a，即 a≥－1 时，作出 f(x)的大致图象(为方便说 明，略去 y 轴以及坐标原点)如图 1 所示， 图 1 由图可知，此时要满足题意，只需－a≥2 或 1－a 2 ≤1，解得 a≤－2 或 a≥－1，故 a≥－1； 当 1－a 2 ＜－a，即 a＜－1 时，作出 f(x)的大致图象(为方便说明，略去 y 轴以及坐标原点)如图 2 所示， 图 2 由图可知，此时要满足题意，只需－a≤1 或 1－a 2 ≥2，解得 a≥－1 或 a≤－3，故 a≤－3. 综上所述，a≥－1 或 a≤－3.结合选项可知，选 ABD.] 3．已知值域为[－1，＋∞)的二次函数 f(x)满足 f(－1＋x)＝f(－1－x)，且方程 f(x)＝0 的 两个实根 x1，x2 满足|x1－x2|＝2. (1)求 f(x)的表达式； (2)函数 g(x)＝f(x)－kx 在区间[－1,2]上的最大值为 f(2)，最小值 f(－1)，求实数 k 的取 值范围． [解] (1)由 f(－1＋x)＝f(－1－x)可得 f(x)的图象关于直线 x＝－1 对称，设 f(x)＝a(x＋ 1)2＋h＝ax2＋2ax＋a＋h(a≠0)， 由函数 f(x)的值域为[－1，＋∞)，可得 h＝－1， 根据根与系数的关系可得 x1＋x2＝－2， x1x2＝1＋ h a ， 所以|x1－x2|＝ x1＋x2 2－4x1x2＝ － 4h a ＝2， 解得 a＝1， 所以 f(x)＝x2＋2x. (2)由题意得函数 g(x)在区间[－1,2]上单调递增， 又 g(x)＝f(x)－kx＝x2－(k－2)x. 所以 g(x)图象的对称轴为 x＝ k－2 2 ，则 k－2 2 ≤－1，解得 k≤0，故实数 k 的取值范围为(－ ∞，0].