2022版高考数学一轮复习课后限时集训9函数的单调性与最值含解析

课后限时集训(九) 函数的单调性与最值 建议用时：40 分钟 一、选择题 1．(多选)(2020·福建晋江惠安一中月考)下列函数中，在区间(0,1)上单调递减的是( ) A．y＝|x| B．y＝3－x C．y＝ 1 x D．y＝－x2＋4 BCD [当 x∈(0,1)时，y＝|x|＝x，所以 y＝|x|在(0,1)上单调递增；y＝3－x，y＝ 1 x 在(0,1) 上均单调递减；y＝－x2＋4 的图象是开口向下，以直线 x＝0 为对称轴的抛物线，所以 y＝－ x2＋4 在(0,1)上单调递减．] 2．函数 f(x)＝－x＋ 1 x 在 －2，－ 1 3 上的最大值是( ) A． 3 2 B．－ 8 3 C．－2 D．2 A [函数 f(x)＝－x＋ 1 x 在(－∞，0)上是减函数，则函数 f(x)在 －2，－ 1 3 上的最大值为 f(－2)＝2－ 1 2 ＝ 3 2 ，故选 A.] 3．函数 f(x)＝x－|1－x|的单调递增区间为( ) A．(－∞，0) B．(－∞，1] C．(0，＋∞) D．[1，＋∞) B [f(x)＝ 2x－1，x≤1， 1，x＞1， 因此函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，1]，故选 B.] 4．已知函数 f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则 a 的取值范围是 ( ) A．(－∞，1] B．(－∞，－1] C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) A [f(x)＝ x＋a，x≥－a， －x－a，x＜－a， 由题意知－a≥－1，即 a≤1，故选 A.] 5．已知函数 f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足 f(2x －1)＜f 1 3 的 x 的取值范围是( ) A. 1 3 ， 2 3 B． 1 3 ， 2 3 C. 1 2 ， 2 3 D． 1 2 ， 2 3 D [因为函数 f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足 f(2x－1)＜f 1 3 . 所以 0≤2x－1＜ 1 3 ， 解得 1 2 ≤x＜ 2 3 .] 6．函数 y＝ 2－x x＋1 ，x∈(m，n]的最小值为 0，则 m 的取值范围是( ) A．(1,2) B．(－1,2) C．[1,2) D．[－1,2) D [∵函数 y＝ 2－x x＋1 ＝ 3－x－1 x＋1 ＝ 3 x＋1 －1，∴当 x∈(－1，＋∞)时，函数是减函数，又当 x＝2 时，y＝0，∴－1≤m＜2，故选 D.] 二、填空题 7．已知函数 f(x)＝ln x＋x，若 f(a2－a)＞f(a＋3)，则正实数 a 的取值范围是________． (3，＋∞) [因为 f(x)＝ln x＋x 在(0，＋∞)上是增函数， 所以 a2－a＞a＋3， a2－a＞0， a＋3＞0， 解得－3＜a＜－1 或 a＞3. 又 a＞0，所以 a＞3.] 8．函数 f(x)＝ 4－x－ x＋2的值域为________． [－ 6， 6] [因为 4－x≥0， x＋2≥0， 所以－2≤x≤4， 所以函数 f(x)的定义域为[－2,4]． 又 y1＝ 4－x，y2＝－ x＋2在区间[－2,4]上均为减函数， 所以 f(x)＝ 4－x－ x＋2在[－2,4]上为减函数， 所以 f(4)≤f(x)≤f(－2)． 即－ 6≤f(x)≤ 6.] 9．(2020·长春模拟)若函数 f(x)＝ 2x＋1，x≥0， mx＋m－1，x＜0 在(－∞，＋∞)上单调递增，则 实数 m 的取值范围是________． (0,3] [由题意知 m＞0， m－1≤20＋1， 解得 0＜m≤3.] 三、解答题 10．已知函数 f(x)＝ 1 a － 1 x (a＞0，x＞0)． (1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (2)若 f(x)在 1 2 ，2 上的值域是 1 2 ，2 ，求 a 的值． [解] (1)证明：任取 x1＞x2＞0， 则 f(x1)－f(x2)＝ 1 a － 1 x1 － 1 a ＋ 1 x2 ＝ x1－x2 x1x2 ， ∵x1＞x2＞0， ∴x1－x2＞0，x1x2＞0， ∴f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)， ∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数． (2)由(1)可知，f(x)在 1 2 ，2 上是增函数， ∴f 1 2 ＝ 1 a －2＝ 1 2 ，f(2)＝ 1 a － 1 2 ＝2，解得 a＝ 2 5 . 11．设函数 f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，F(x)＝ f x ，x>0， －f x ，x0 且方程 ax2＋bx＋1＝0 中Δ＝b2－4a＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2 ≤0，∴a＝1. 从而 f(x)＝x2＋2x＋1. ∴F(x)＝ x＋1 2，x>0， － x＋1 2，x