人教A版（2019）必修二同步练习题6.3 平面向量基本定理及坐标表示

1 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 一、选择题 1．已知向量 ( ) ( )1,2 , 1, m= = −a b ,若 ⊥a b ,则m 的值为 A． 2− B． 2 C． 1 2 D． 1 2 − 【答案】C 【解析】因为 ⊥a b ，所以 · 1 2 0m= − + =a b ，解得 1 2 m = . 本题选择 C 选项. 2．若向量 ＝（1，2）， ＝（1，－1），则 2 ＋ 与 － 的夹角等于（ ） A．－ 4  B． 3  C． 4  D． 3 4  【答案】C 【解析】由已知 2a+b=(2,4)+(1,-1)=(3,3),a-b=(0,3). 设 2a+b与 a-b的夹角为 θ, 则 cos θ= ( ) ( )2 2 a b a b a b a b +  − +  − = 9 3 2 3 = 2 2 , ∵0≤θ≤π,∴θ= π 4 ,故选 C. 3．已知向量 =（x，1）， =（1，－2），且 ⊥ ，则| + |=（ ） A． B． C． D．10 【答案】B 【解析】由题意可得 =（x，1） （1，－2）=x－2=0，解得 x=2. 则 + =（x+1，－1）=（3，－1），可得| + |= ，故选 B. .4．已知 ， ，且 ，则向量 与 夹角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵ ， ，且 ，∴ ， 2 ∴向量 与 夹角的大小为 ，故选 C. 5．（多选题）（2019·全国高一课时练习）以下选项中，一定是单位向量的有（ ） A. ( )cos , sina  = − ；B. ( )lg 2, lg5b = ；C. ( )2 ,2x xc −= ；D. ( )1 ,d x x= − . 【答案】AB 【解析】 ( ) ( ) 2 2 2 2cos sin cos sin 1a    = + − = + = ， ( )lg 2 lg5 lg 2 5 1b = + =  = ， ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 2 4 4 2 1x x x x x xc − − −= + = +   =  ， ( ) 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 x x x xd x   − + = − + = − +     = . 因此，a 和b 都是单位向量，故选 AB. 6．（多选题）已知 m=(a,b),向量 n与 m垂直,且|m|=|n|,则 n的坐标为( ) A．(b,-a) B．(-a,b) C．(a,-b) D．(-b,a) 【答案】AD 【解析】设向量 n的坐标为（x，y） ∵向量m=（a，b），且向量 m⊥n 且|m|=|n|， ∴ax+by=0 且 a²+b²=x²+y²， 解得：x＝−b ，y＝a 或 x＝b ，y＝−a . 故选 AD。 二、填空题 7．（2019·全国高一课时练习）已知向量 =(1, 3), ( 3,1)=a b ，则 a与 b夹角的大小为_________. 【答案】30 . 【解析】两向量夹角为 2 3 3 cos , 2 2 2 a b a b a b    = = =   ,又两个向量夹角范围是 0, ,所以夹角为 6  . 8．（2019·全国高一课时练习）已知 A（1，－1），B（2，2），C（3，0）三点，直线 CD⊥AB，且 CB∥AD，则点 D 的坐标是__________ 【答案】 (0,1) 【解析】根据题意，设 D（x，y），则CD＝（x﹣3，y） AB ＝（1，3），CB ＝（-1，2）， AD ＝ 3 （x﹣1，y+1）； 若 CD⊥AB，则CD AB• ＝（x﹣3）1+3y＝0，① 若 CB∥AD，则CB AD ，则有 2（x﹣1）＝（﹣1）（y+1），② 由①②得 x＝0，y＝1；所以 D 的坐标为（0，1）； 故答案为（0，1）． 9．（2019·全国高一课时练习）设向量 a=(m,1)，b=(1,2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则 m=_________. 【答案】-2 【解析】由题意得 2 2 2( 1) +3 1 5 2.m m m+ = + +  = − 10．（2019·全国高一课时练习）已知平面向量 a，b 的夹角为 60°， ( )1 3=a , ， 1=b ，则  =a b __； 2a b− =___. 【答案】1 2 【解析】由题意可得： ( ) 2 21 3 2a = + = ，则： 2 1 cos60 1a b =   = ， ( ) 2 2 22 2 4 4 4 4 4 2a b a b a a b b− = − = −  + = − + = . 三、解答题 11．（2020·全国高一课时练习）已知 ( )3, 1a = − ， ( )1, 2b = − ，求a b ， a ， b ， ,a b ． 【答案】5， 10 ， 5 ， 4  【解析】 ( ) ( )3 1 1 2 5a b =  + −  − = 9 1 10a = + = ， 1 4 5b = + = 5 2 cos , 210 5 a b a b a b   = = =  ，  , 0,a b   , 4 a b   = 12．（2019·全国高一课时练习）已知平面向量 ( )3,4a = ， ( )9,b x= ， ( )4,c y= ，且 //a b ，a c⊥ （1）求b 和 c ； （2）若 2m a b= − ，n a c= + ，求向量m 与向量n 的夹角的大小. 【答案】（1） ( )9,12b = ， ( )4, 3c = − ；（2） 3 4  . 4 【解析】（1） ( )3,4a = ， ( )9,b x= ， ( )4,c y= ，且 //a b ， a c⊥ ， 3 4 9 3 4 4 0 x y =    + = ， 解得 12 3 x y =  = − ，因此， ( )9,12b = ， ( )4, 3c = − ； （2） ( ) ( ) ( )2 2 3,4 9,12 3, 4m a b= − =  − = − − ， ( ) ( ) ( )3,4 4, 3 7,1n a c= + = + − = ， 则 3 7 4 1 25m n = −  −  = − ， ( ) ( ) 2 2 3 4 5m = − + − = ， 2 27 1 5 2n = + = ， 设m 与n 的夹角为 ， 25 2 cos , 25 5 2 m n m n m n  −  = = = −  ， 0    ，则 3 4   = . 因此，向量m 与向量n 的夹角为 3 4  .