人教A版（2019）必修二同步练习题8.3 简单几何体的表面积与体积

A 级：“四基”巩固训练 一、选择题 1．已知棱长为 2 的正方体的体积与球 O 的体积相等，则球 O 的半径为( ) A. 24 π B. 6 π C. 3 24 π D. 3 6 π 答案 D 解析 设球 O 的半径为 r，则 4 3 πr3＝23，解得 r＝ 3 6 π . 2．用与球心距离为 1 的平面去截球，所得截面圆的面积为 π，则球的表面积 为( ) A. 8π 3 B. 32π 3 C．8π D. 8 2π 3 答案 C 解析 设球的半径为 R，则截面圆的半径为 R2－1，∴截面圆的面积为 S＝ π( R2－1)2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积 S＝4πR2＝8π. 3．一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长分别为 3,4,5，则它的外接球的 表面积是( ) A．20 2π B．25 2π C．50π D．200π 答案 C 解析 因为这个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以此三棱锥可视为一个 长方体的一个角(如图所示)，而且此长方体的外接球就是此三棱锥的外接球．设 此三棱锥的外接球的半径为 r，则有(2r)2＝32＋42＋52＝50，即 4r2＝50，故它的 外接球的表面积是 S＝4πr2＝50π. 4．如图所示，扇形的中心角为 π 2 ，其所在圆的半径为 R，弦 AB 将扇形分成 两个部分，这两部分各以 AO 为轴旋转一周，若△ABO 旋转得到的几何体体积为 V1，弓形 AB 旋转得到的几何体积为 V2，则 V1∶V2的值为( ) A．1∶1 B．2∶1 C．1∶2 D．1∶4 答案 A 解析 △AOB 绕 AO 旋转一周得到的几何体为圆锥，体积 V1＝ 1 3 πR3，整个扇 形绕 AO 旋转一周得到的几何体为半球，体积 V＝ 2 3 πR3，于是 V2＝V－V1＝ 1 3 πR3. 5．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积 为 32π 3 ，那么这个正三棱柱的体积是( ) A．96 3 B．16 3 C．24 3 D．48 3 答案 D 解析 设正三棱柱的底面边长为 a，则球的半径 R＝ 3 3 × 1 2 a＝ 3 6 a，正三棱 柱的高为 3 3 a.又 V 球＝ 4 3 πR3＝ 4π 3 × ( 3)3 63 a3＝ 32π 3 .∴a＝4 3.∴V 柱＝ 3 4 ×(4 3)2× 3 3 ×4 3＝48 3. 二、填空题 6．圆柱形容器内盛有高度为 8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆 柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm. 答案 4 解析 设球的半径为 r，则圆柱形容器的高为 6r，容积为 πr2×6r＝6πr3，高 度为 8 cm 的水的体积为 8πr2,3 个球的体积和为 3× 4 3 πr3＝4πr3，由题意 6πr3－8πr2 ＝4πr3，解得 r＝4 cm. 7．已知 OA 为球 O 的半径，过 OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截球面得 到圆 M.若圆 M 的面积为 3π，则球 O 的表面积等于________． 答案 16π 解析 设球 O 的半径为 R，圆 M 的半径为 r，由题意得 r＝ 3，又球心到圆 M 的距离为 R 2 ，由勾股定理，得 R2＝r2＋      R 2 2，R＝2，则球的表面积为 16π. 8．已知两个正四棱锥有公共底面，且底面边长为 4，两棱锥的所有顶点都在 同一个球面上，若这两个正四棱锥的体积之比为 1∶2，则该球的表面积为 ________． 答案 36π 解析 ∵两正四棱锥有公共底，且体积比为 1∶2， ∴它们的高之比为 1∶2， 设高分别为 h,2h，球的半径为 R，则 h＋2h＝3h＝2R， ∴R＝ 3 2 h， 又∵底面边长为 4， ∴R2＝      3 2 h 2＝      h 2 2＋(2 2)2， 解得 h＝2，∴R＝3，∴S 球＝4πR2＝36π. 三、解答题 9．如图，AB 是半径为 R 的球的直径，C 为球面上一点，且∠BAC＝30°，求 图中阴影区域构成的几何体的全面积及其体积． 解 如图所示，过点 C 作 CO1⊥AB 于点 O1， 由题意可得∠BCA＝90°. 又∠BAC＝30°，AB＝2R， ∴AC＝ 3R，BC＝R，CO1＝ 3 2 R，AO1＝ 3 2 R，BO1＝ R 2 . ∴S 球＝4πR2， S 圆锥 AO 1 侧＝π× 3 2 R× 3R＝ 3 2 πR2， S 圆锥 BO 1 侧＝π× 3 2 R×R＝ 3 2 πR2， ∴S 几何体表＝S 球＋S 圆锥 AO 1 侧＋S 圆锥 BO 1 侧 ＝4πR2＋ 3 2 πR2＋ 3 2 πR2＝ 11＋ 3 2 πR2， ∴几何体的表面积为 11＋ 3 2 πR2. 又 V 球＝ 4 3 πR3， V 圆锥 AO 1 ＝ 1 3 AO1·πCO2 1＝ 3 8 πR3， V 圆锥 BO 1 ＝ 1 3 BO1·πCO2 1＝ 1 8 πR3， ∴V 几何体＝V 球－(V 圆锥 AO 1 ＋V 圆锥 BO 1 )＝ 4 3 πR3－ 1 2 πR3＝ 5 6 πR3. B 级：“四能”提升训练 1．已知正三棱柱的体积为 3 3 cm3，其所有顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积的最小值为________ cm2. 答案 12π 解析 球 O 的表面积最小时，球 O 的半径 R 最小．设正三棱柱的底面边长 为 a，高为 b，则正三棱柱的体积 V＝ 3 4 a2b＝3 3，所以 a2b＝12.底面正三角形所 在截面圆的半径 r＝ 3 3 a，则 R2＝r2＋      b 2 2＝ a2 3 ＋ b2 4 ＝ 1 3 × 12 b ＋ b2 4 ＝ 4 b ＋ b2 4 ＝ 2 b ＋ 2 b ＋ b2 4 ≥3 3 2 b · 2 b · b2 4 ＝3，当且仅当 2 b ＝ b2 4 ，即 b＝2 时，取等号．又因为 0