人教A版（2019）必修一同步练习题3.2 函数的基本性质(1)

1 3.2.2 奇偶性 一、选择题 1．（2018·鄯善县第二中学高一课时练习）下列函数中，是奇函数的为( ). A. ( ) 1 2 2 x f x x − = − − B. ( ) 2f x x= C. ( ) 1f x x= + D. ( ) 1 f x x = − 【答案】A 【解析】对函数 1 ( ) 2 2 x f x x − = − − ，由于 1x  ，因此 1 1 ( ) 2 (2 ) x x f x x x − − = = − − ，定义域为 0 1x  ， 1 ( ) ( ) x f x x f x x − − = = − − ，因此 ( )f x 为奇函数． 故选 A． 2．（2017·全国高一课时练习） 若 y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在 y＝f(x) 图象上的是( ) A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a)) C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a)) 【答案】B 【解析】 ∵f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)， ∴点(－a，－f(a))在函数 y＝f(x)图象上．选 B 3．（2019·全国高一课时练习）如图,给出奇函数 ( )y f x= 的局部图象，则 ( ) ( )2 1f f− + − 的值为 ( ) A． 2− B．2 C．1 D．0 【答案】A 【解析】由图知 ( ) ( ) 1 3 1 , 3 2 2 f f= = ， 又 ( )f x 为奇函数,所以 ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2f f f f− + − = − − = − . 故选 A. 2 4．（2018·全国高三课时练习（文））已知a R ，则“ 0a = ”是“ 2( )f x x ax= + 是偶函数”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 因为 ( ) 2f x x ax= + 是偶函数，所以 2 2( ) ( ) 2 0f x x ax f x x ax ax− = − = = +  = 所以 0a = .所以“ 0a = ”是“ ( ) 2f x x ax= + 是偶函数”的充要条件.故选 C. 5．（2018·全国高一课时练习）若函数 2 ( ) 1 x a f x x bx + = + + 在  1,1− 上是奇函数，则 ( )f x 的解析式为 （ ）． A. 2 ( ) 1 x f x x = − + B. 2 ( ) 1 x f x x = + C. 2 1 ( ) 1 x f x x + = + D. 2 ( ) 1 x f x x x = + + 【答案】B 【解析】 函数 ( ) 2 1 x a f x x bx + = + + 在 1,1− 上是奇函数 ( ) ( )f x f x − = − ， 即 ( ) ( )0 0f f− = − ， ( )0 0f = ， 0 0 1 a a= =， 即 ( ) 2 1 x f x x bx = + + ( ) ( )1 1f f− = − ， 1 1 2 2b b − = − − + 解得 0b = 则 ( ) 2 1 x f x x = + 故选 B 6．（2017·全国高一课时练习）已知 5 3( ) 8f x x ax bx= + + − 且 ( 2) 10f − = ，则 (2)f =（ ） A.–26 B.–18 C.–10 D.10 【答案】A 【解析】 令 g(x)＝x5＋ax3＋bx， 则 g(－x)＝－g(x)， 3 ∴g(x)为奇函数． 又∵f(x)＝g(x)－8， ∴f(－2)＝g(－2)－8＝10⇒g(－2)＝18. ∴g(2)＝－18. ∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26. 选 A 二、填空题 7．（2019·全国高一课时练习）若函数 ( ) ( )2 1 3f x kx k x= + − + 是偶函数，则k 等于____. 【答案】1 【解析】由于函数 ( ) ( )2 1 3f x kx k x= + − + 是偶函数， 所以 ( ) ( )f x f x= − 即 ( ) ( )2 21 3 1 3kx k x kx k x+ − + = − − + ， 所以 ( )2 1 0k x− = 恒成立，所以 1k = . 8．（2017·佛山市高明区第一中学高一课时练习）函数 2 2 2 ( ) 1 x f x x − − = − 的奇偶性为________（填 奇函数或偶函数） ． 【答案】奇函数 【解析】 由已知得 ( )f x 的定义域为 21 0x x− 即 | 1 1x x−   ，则 ( ) 2 2 2 1 x f x x − − = − 21 x x = − − 其 定义域关于原点对称， 2 ( ) ( ) 1 x f x f x x − = = − − ，所以 ( )f x 是奇函数. 9．（2017·全国高一课时练习）偶函数 ( )f x 在区间 )0 ，＋ 上的图象如图，则函数 ( )f x 的增区 间为______________． 【答案】 1 0－， 和 )1 ，＋ 【解析】偶函数的图象关于 y 轴对称，可知函数 ( )f x 的增区间为 1 0－， 和 )1 ，＋ 4 10．（2018·江西高一课时练习）已知函数 f(x)＝ 2 2 1 x x b− + 为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，则 a ＋b＝________． 【答案】2. 【解析】因为函数 ( ) 2 2 1 x x b f x − = + 为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，所以－2a＋3a－1＝0， 所以 a＝1. 又 ( ) 0 0 2 1 0 0 2 1 2 b b f − − = = = + ，所以 b＝1.故 a＋b＝2. 三、解答题 11．（2019·全国高一课时练习）判断下列函数的奇偶性： （1） 1 ( ) ( 1) 1 x f x x x − = + + ； （2） 2 2 2 1, 0 ( ) 2 1, 0 x x x f x x x x − + +  =  + −  ； （3） 2 2 4 ( ) x f x x − = . 【答案】（1）非奇非偶函数；（2）奇函数；（3）偶函数 【解析】（1） 1 ( ) ( 1) 1 x f x x x − = + + 有意义，则 1 0 1 x x −  + ，即 1 0 1 x x −  + ，解得 1 1x−   ， 所以，函数 ( )y f x= 的定义域为 ( ]1,1− ，不关于原点对称， 因此，函数 ( )y f x= 是非奇非偶函数. （2）当 0x  时， 2( ) 2 1f x x x= − + + ， 0x−  ， 2 2( ) ( ) 2 ( ) 1 2 1 ( )f x x x x x f x− = − +  − − = − − = − ； 当 0x  时， 2( ) 2 1f x x x= + − ， 0x−  ， 2 2( ) ( ) 2 ( ) 1 2 1 ( )f x x x x x f x− = − − +  − + = − − + = − . 所以函数 ( )y f x= 为奇函数. 5 （3）由题意可得 2 2 4 0 0 x x  −    ，所以 2 2x−   且 0x  ， 所以，函数 ( )y f x= 的定义域为[ 2,0) (0,2]− ，关于原点对称， 又 2 2 2 2 4 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) x x f x f x x x − − − − = = = − ，所以函数 ( )y f x= 为偶函数. 12．（2019·全国高一课时练习）已知函数 ( )f x 是定义在 R 上的偶函数，且当 0x  时， ( ) 2 2f x x x= + . (1)现已画出函数 ( )f x 在 y 轴左侧的图像，如图所示，请补出完整函数 ( )f x 的图像，并根据图像写 出函数 ( )f x 的增区间； (2)写出函数 ( )f x 的值域. 【答案】(1) 见解析, ( )1,0− ， ( )1,+ ；(2) )1,− + . 【解析】(1)因为函数为偶函数,故图象关于 y 轴对称,补出完整函数图象如图: 所以 ( )f x 的递增区间是 ( )1,0− ， ( )1,+ . (2)由函数图象可知， ( ) ( ) min 1 1f x f= − = − ， 故 ( )f x 的值域为 )1,− + .