高中数学人教A版（2019）必修一同步练习题5.4 三角函数的图象与性质

1 5.4.2 正弦数、余弦函数的性质 （用时 45 分钟） 【选题明细表】 知识点、方法 题号 周期函数 1,7 判断奇偶 4,8,10 单调性与值域最值 3,6,9,11,12 对称性 2 综合运用 5,13 基础巩固 1．若函数 ( ) sin 6 f x x     = +    （ 0 ）的最小正周期为 5  ,则 =（ ） A.5 B.10 C.15 D.20 【答案】B 【解析】根据周期公式 2 | | T   = 以及 0 得 2 10 5    = = , 故选 B . 2．若函数 ( ) sin(2 )( 0)f x x  = +  的图象关于点 ,0 3       对称，则 的最小值为（ ） A. 12  B. 6  C. 3  D. 5 12  【答案】C 【解析】由 f(x)＝sin（2x+φ）， 令 2 3   +φ＝kπ，（k∈z） 得：φ 2 3 k  = − ，（k∈z） 又 φ＞0，所以 k=1 时 则 φmin 3  = ， 故选：C． 3．在 ( )0,2 内使sin cosx x 成立的 x 的取值范围是（ ） 2 A. 3 , 4 4        B. 5 3 , , 4 2 4 2                C. , 4 2        D. 5 7 , 4 4        【答案】A 【解析】∵sin cosx x ，∴sin 0x  ，∴ ( )0,x  .在同一坐标系中画出 siny x= ， ( )0,x  与 cosy x= ， ( )0,x  的图像，如图. 观察图像易得使sin cosx x 成立的 3 , 4 4 x        . 故选 A. 4．函数 3 5sin 2 2 y x   = +    是（ ） A.最小正周期为 的偶函数 B.最小正周期为 的奇函数 C.最小正周期为 4 的偶函数 D.最小正周期为 4 的奇函数 【答案】A 【解析】依题意 5cos 2y x= − ，所以最小正周期为 2π π 2 = ，且为偶函数. 故选：A. 5．已知函数 ( ) cos2 ( )f x x x= R ，下面结论错误的是（ ） A．函数 ( )f x 的最小正周期为 π B．函数 ( )f x 是偶函数 C．函数 ( )f x 的图像关于直线 π 4 x = 对称 D．函数 ( )f x 在区间 π 0, 2       上是减函数 【答案】C 【解析】由函数 ( ) cos 2f x x= 可得它的最小正周期为 π，且 ( )f x 是偶函数，故 A，B 中结论正确； 3 当 π 4 x = 时， ( ) cos2 0f x x= = ，故 ( )f x 的图像不关于直线 π 4 x = 对称，故 C 中结论错误； 在区间 π 0, 2       上，2 [0,π]x ，函数 ( )f x 是减函数，故 D 中结论正确． 故选 C． 6．比较大小： 47 10 cos   −    ______cos（ 44 9  − ） 【答案】＞ 【解析】cos（ 47 10 − π）＝cos（﹣4π 7 10  − ）＝cos（ 7 10  − ）＝cos 7 10  ， cos（ 44 9 − π）＝cos（﹣4π 8 9  − ）＝cos（ 8 9  − ）＝cos 8 9  ， ∵y＝cosx 在（0，π）上为减函数， ∴cos 7 10  ＞cos 8 9  ， 即 cos（ 47 10 − π）＞cos（ 44 9 − π）． 故答案为：＞． 7．已知函数 ( )f x 是定义在R上的周期为6的奇函数，且 (1) 1f = ，则 (5)f = ___________. 【答案】 1− 【解析】∵函数 ( )f x 是定义在R上的周期为6的奇函数，∴ ( ) ( ) ( ) ( )5 5 6 1 1f f f f= − = − = − . 又∵ ( )1 1f = ，∴ ( )5 1f = − . 8．判断下列函数的奇偶性： （1） 5 cos 2 2 y x   = −    （2） sin cos3y x x x= + 【答案】（1）奇函数；（2）偶函数 【解析】（1）依题意， 5 cos 2 sin 2 2 y x x   = − =    ，故函数 5 cos 2 2 y x   = −    为奇函数. （2）令 ( ) sin cos3x xf x x+= ，函数的定义域为R ，且 ( ) ( )sin cos3f x x x x f x− = + = ，故函 数为偶函数. 4 能力提升 9．设 cos 12 a  = ， 41 sin 6 b  = ， 7 cos 4 c  = ，则（ ） A. a c b  B. c b a  C. c a b  D.b c a  【答案】A 【解析】 41 5 5 b sin sin 6 sin sin cos 6 6 6 6 3         = = + = = =    , 7 c cos cos 4 4   = = 因为 3 4 12      ，且 y cos 0 , 2 x  = 在（ ， ）是单调递减函数，所以a c b  ，故选 A 10．函数 sin 2 ( ) 3 y x R      = + −     为偶函数，则 | | 的最小值为__________． 【答案】 6  【解析】因为函数 sin 2 ( ) 3 y x R      = + −     为偶函数，所以 ( ) 3 2 k k    − = + Z ， 5 ( ) 6 k k   = + Z∴ ， min| | 6   =∴ 故答案为： 6  11．函数 ( ) sin 2 , [0, ] 3 f x x x     = −     的单调递减区间为_______________. 【答案】 5 11 0, , , 12 12                【解析】依题意 ( ) π sin 2 3 f x x   = − −    ，对于函数 π sin 2 3 y x   = −    ，由 π π π 2 π 2 2 π 2 3 2 k x k−  −  + ， 解得 π 5π π π 12 12 k x k−   + ，令 0,1k = ，得到函数 π sin 2 3 y x   = −    区间 0,π 上的单调递增区间为 5π 0, 12       和 11π ,π 12       .也即求得 ( ) π sin 2 3 f x x   = − −    的单调递减区间为 5π 0, 12       和 11π ,π 12       . 故填： 5 11 0, , , 12 12                . 5 12．已知函数 ( ) 2 cos 2 4 f x x   = −    . （Ⅰ）求函数 ( )f x 的单调区间； （Ⅱ）求函数 ( )f x 在区间[ , ] 8 2   − 上的最小值和最大值. 【答案】（Ⅰ） ( )f x 的递调递增区间为 3 , 8 8 k k       − +    ， k Z ；单调递减区间为 5 , 8 8 k k       + +    ， k Z .（Ⅱ）最小值和最大值分别为-1， 2 . 【解析】（Ⅰ）令2 2 2 4 k x k    −  −  ， k Z ，得 3 8 8 k x k    −   + ， k Z ， 令 2 2 2 4 k x k     −  + ， k Z ，得 5 8 8 k x k    +   + ， k Z ， 故函数 ( )f x 的递调递增区间为 3 , 8 8 k k       − +    ，k Z ；单调递减区间为 5 , 8 8 k k       + +    ， k Z . （Ⅱ）当 , 8 2 x     −    时， 3 2 , 4 2 4 x     −  −    ， ∴当2 0 4 x  − = ，即 8 x  = 时， ( )f x 取得最大值， max( ) 2f x = ， 当 3 2 4 4 x   − = ，即 2 x  = 时， ( )f x 取得最小值， min 3 ( ) 2 cos 1 4 f x  = = − ， ∴函数 ( )f x 在区间 , 8 2    −    上的最小值和最大值分别为-1， 2 . 素养达成 13．已知关于 x 的方程 ( )22cos sin 0x x a+  − + = 有实数解，求实数a 的取值范围． 【答案】 17 ,1 8   −    【解析】由 ( )22cos sin 0x x a+  − + = ，得 22cos sin 0x x a− + = ，即 22sin sin 2 0x x a+ − − = ． 令 sin x t= （ 1 1t−   ），则关于 t 的方程 22 2 0t t a+ − − = 在区间 1,1− 上有实数解． 6 则 2 2 1 17 2 2 2 4 8 a t t t   = + − = + −    ，因为   17 1,1 1 8 t a − −   故实数a 的取值范围是 17 ,1 8   −    ．