北师大版九年级数学中考复习：利用锐角三角函数测高

第 1页（共 8页） 锐角三角函数：解直角三角形的应用 一．解直角三角形的应用（共 9 小题） 3．如图，要测量一条河两岸相对的两点 A，B 之间的距离，我们可以在岸边取点 C 和 D，使点 B，C，D 共线且直 线 BD 与 AB 垂直，测得∠ACB＝56.3°，∠ADB＝45°，CD＝10m，则 AB 的长约为（ ） （参考数据 sin56.3°≈0.8，cos56.3°≈0.6，tan56.3°≈1.5，sin45°≈0.7，cos45°≈0.7，tan45°＝1） A．15m B．30m C．35m D．40m 4．如图，△ABC、△FED 区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线 PB 与地面 BE 的夹角∠PBE＝43°，视线 PE 与地面 BE 的夹角∠PEB＝20°，点 A，F 为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若 A 点到 B 点的距 离 AB＝1.6m，则盲区中 DE 的长度是（ ） （参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4） A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m 5．如图所示的是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管 AB 与支架 CD 所在直线相交于水 箱横断面 ⊙ O 的圆心，支架 CD 与水平线 AE 垂直，AB＝154cm，∠A＝30°，另一根辅助支架 DE＝78cm，∠E ＝60°． （1）求 CD 的长度．（结果保留根号） （ 2 ） 求 OD 的 长 度 ．（ 结 果 保 留 一 位 小 数 ． 参 考 数 据 ： ≈ 1.414 ， ≈ 1.732 ） 6．图 1 是某种路灯的实物图片，图 2 是该路灯的平面示意图，MN 为立柱的一部分，灯臂 AC，支架 BC 与立柱 MN 分别交于 A，B 两点，灯臂 AC 与支架 BC 交于点 C，已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC＝40cm，求支架 BC 第 2页（共 8页） 的长．（结果精确到 1cm，参考数据： ≈1.414， ≈1.732， ≈2.449） 7．襄阳东站的建成运营标志着我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中．如图， 工程队拟沿 AC 方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点 E 处同时施工．要使 A、C、E 三点在一 条直线上，工程队从 AC 上的一点 B 取∠ABD＝140°，BD＝560 米，∠D＝50°．那么点 E 与点 D 间的距离是 多少米？ （参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19） 8．天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道 A 处开 始，沿 A﹣B﹣C 路线对索道进行检修维护．如图：已知 AB＝500 米，BC＝800 米，AB 与水平线 AA1 的夹角是 30°，BC 与水平线 BB1 的夹角是 60°．求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度 CA1 是多少米？（结果精确 到 1 米，参考数据： ≈1.732） 9．某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下： 问题提出： 如图 1 是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地 使冬天温暖的阳光射入室内． 第 3页（共 8页） 方案设计： 如图 2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面 AC 的遮阳蓬 CD． 数据收集： 通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线 DA 与遮阳蓬 CD 的夹角∠ADC 最大（∠ADC＝77.44°）；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线 DB 与遮阳蓬 CD 的夹角∠BDC 最小（∠BDC＝ 30.56°）．窗户的高度 AB＝2m． 问题解决： 根据上述方案及数据，求遮阳蓬 CD 的长． （结果精确到 0.1m，参考数据：sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86，tan30.56°≈0.59，sin77.44°≈0.98， cos77.44°≈0.22，tan77.44°≈4.49） 10．如图，同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度．小宇同学在 A 处观测对岸点 C，测得∠CAD＝45°， 小英同学在距点 A 处 60 米远的 B 点测得∠CBD＝30°，请根据这些数据算出河宽（精确到 0.01 米， ≈1.414， ≈1.732）． 11．如图，1 号楼在 2 号楼的南侧，两楼高度均为 90m，楼间距为 AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为 32.3°，1 号楼在 2 号楼墙面上的影高为 CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为 55.7°，1 号楼在 2 号 楼墙面上的影高为 DA．已知 CD＝42m． （1）求楼间距 AB； （2）若 2 号楼共 30 层，层高均为 3m，则点 C 位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3° 第 4页（共 8页） ≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47） 二．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共 5 小题） 12．如图，斜面 AC 的坡度（CD 与 AD 的比）为 1：2，AC＝3 米，坡顶有旗杆 BC，旗杆顶端 B 点与 A 点有一 条彩带相连．若 AB＝10 米，则旗杆 BC 的高度为（ ） A．5 米 B．6 米 C．8 米 D．（3+ ）米 13．如图，一河坝的横断面为等腰梯形 ABCD，坝顶宽 10 米，坝高 12 米，斜坡 AB 的坡度 i＝1：1.5，则坝底 AD 的长度为（ ） A．26 米 B．28 米 C．30 米 D．46 米 14．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡 AB 长 26m，斜坡 AB 的坡比为 12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过 50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚 A 不动，则坡顶 B 沿 BC 至少向右移 m 时，才能确保 山体不滑坡．（取 tan50°≈1.2） 第 5页（共 8页） 15．如图，BC 是路边坡角为 30°，长为 10 米的一道斜坡，在坡顶灯杆 CD 的顶端 D 处有一探射灯，射出的边缘 光线 DA 和 DB 与水平路面 AB 所成的夹角∠DAN 和∠DBN 分别是 37°和 60°（图中的点 A、B、C、D、M、N 均在同一平面内，CM∥AN ）． （1）求灯杆 CD 的高度； （2）求 AB 的长度（结果精确到 0.1 米）．（参考数据： ＝1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 16．如图，为测量一座山峰 CF 的高度，将此山的某侧山坡划分为 AB 和 BC 两段，每一段山坡近似是“直”的，测 得坡长 AB＝800 米，BC＝200 米，坡角∠BAF＝30°，∠CBE＝45°． （1）求 AB 段山坡的高度 EF； （2）求山峰的高度 CF．（ 1.414，CF 结果精确到米） 三．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共 5 小题） 17．如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点 D 处测得旗杆顶端 A 的仰角∠ADE 为 55°， 测角仪 CD 的高度为 1 米，其底端 C 与旗杆底端 B 之间的距离为 6 米，设旗杆 AB 的高度为 x 米，则下列关系式 正确的是（ ） A．tan55°＝ B．tan55°＝ C．sin55°＝ D．cos55°＝ 18．如图，小明想要测量学校操场上旗杆 AB 的高度，他作了如下操作： （1）在点 C 处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝ α ； 第 6页（共 8页） （2）量得测角仪的高度 CD＝a； （3）量得测角仪到旗杆的水平距离 DB＝b． 利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ） A．a+btan α B．a+bsin α C．a+ D．a+ 19．如图，在离铁塔 150 米的 A 处，用测倾仪测得塔顶的仰角为 α ，测倾仪高 AD 为 1.5 米，则铁塔的高 BC 为（ ） A．（1.5+150tan α ）米 B．（1.5+ ）米 C．（1.5+150sin α ）米 D．（1.5+ ）米 20．如图，某地修建高速公路，要从 A 地向 B 地修一条隧道（点 A、B 在同一水平面上）．为了测量 A、B 两地之间 的距离，一架直升飞机从 A 地出发，垂直上升 800 米到达 C 处，在 C 处观察 B 地的俯角为 α ，则 A、B 两地之间 的距离为（ ） A．800sin α 米 B．800tan α 米 C． 米 D． 米 21．如图，为测量一棵与地面垂直的树 OA 的高度，在距离树的底端 30 米的 B 处，测得树顶 A 的仰角∠ABO 为 α ， 则树 OA 的高度为（ ） 第 7页（共 8页） A． 米 B．30sin α 米 C．30tan α 米 D．30cos α 米 四．解直角三角形的应用-方向角问题（共 4 小题） 22．如图，一艘轮船从位于灯塔 C 的北偏东 60°方向，距离灯塔 60nmile 的小岛 A 出发，沿正南方向航行一段时间 后，到达位于灯塔 C 的南偏东 45°方向上的 B 处，这时轮船 B 与小岛 A 的距离是（ ） A．30 nmile B．60nmile C．120nmile D．（30+30 ）nmile 23．如图，海面上产生了一股强台风．台风中心 A 在某沿海城市 B 的正西方向，小岛 C 位于城市 B 北偏东 29°方 向上，台风中心沿北偏东 60°方向向小岛 C 移动，此时台合风中心距离小岛 200 海里． （1）过点 B 作 BP⊥AC 于点 P，求∠PBC 的度数； （2）据监测，在距离台风中心 50 海里范围内均会受到台风影响（假设台风在移动过程中风力保持不变）．问： 在台风移动过程中，沿海城市 B 是否会受到台风影响？请说明理由．（参考数：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86， tan31°≈0.60， ≈1.73） 24．如图，一艘轮船以每小时 30 海里的速度自东向西航行，在 A 处测得小岛 P 位于其西北方向（北偏西 45°方向）， 2 小时后轮船到达 B 处，在 B 处测得小岛 P 位于其北偏东 60°方向．求此时船与小岛 P 的距离（结果保留整数， 第 8页（共 8页） 参考数据： ≈1.414， ≈1.732）． 25．黔东南州某校吴老师组织九（1）班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆 直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线 BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在 D 处测得 电线杆顶端 A 的仰角为 30°，在 C 处测得电线杆顶端 A 得仰角为 45°，斜坡与地面成 60°角，CD＝4m，请你 根据这些数据求电线杆的高（AB）． （结果精确到 1m，参考数据： ≈1.4， ≈1.7）