北师大版数学八年级下册4.3公式法同步练习

3 公式法 第一课时 平方差公式 一、选择题 1.下列四个多项式:①-a2+b2;②-x2-y2;③1-(a-1)2;④m2-2mn+n2,其中能用平方差 公式分解因式的为( ) A.①② B.①③ C.②④ D.②③ 2.已知 54-1 能被 20~30 之间的两个整数整除,则这两个整数是( ) A.25,27 B.26,28 C.24,26 D.22,24 3.计算:852-152=( ) A.70 B.700 C.4 900 D.7 000 4.分解因式(2x+3)2-x2 的结果是( ) A.3(x2+4x+3) B.3(x2+2x+3) C.(3x+3)(x+3) D.3(x+1)(x+3) 5.若 a 为实数,则整式 a2(a2-1)-a2+1 的值( ) A.不是负数 B.恒为正数 C.恒为负数 D.不等于 0 6.已知多项式 x2+a 能用平方差公式在有理数范围内分解因式,那么 a 可以为 ( ) A.9 B.4 C.-1 D.-2 7.已知 x2-9y2=16,x+3y=2,则 x-3y 的值为( ) A.8 B.4 C.2 D.-2 二、填空题 8.写出多项式 x2-y2 与多项式 x2+xy 的公因式: . 9.若 2m+n=25,m-2n=2,则(m+3n)2-(3m-n)2= . 三、解答题 10.把下列各式因式分解: (1)xn-xn+2; (2)x6-x2y4; (3)-9x2+(x-y)2; (4)a2(a-b)+b2(b-a). 11.老师给了一个多项式,甲、乙、丙、丁四位同学分别对这个多项式进行描述. 甲说:这是一个三次四项式;乙说:常数项为 1;丙说:这个多项式的前三项有公因 式;丁说:这个多项式分解因式时要用到公式法.若这四个同学的描述都正确,请 你构造两个同时满足这些描述的多项式,并将它因式分解. 一、选择题 1.答案 B ①-a2+b2,③1-(a-1)2 符合平方差公式的特点;②-x2-y2,④m2-2mn+n2 不符合平方差公式的特点.故选 B. 2.答案 C 54-1=(52+1)×(52-1),∵52=25,∴52+1=26,52-1=24,故选 C. 3.答案 D 852-152=(85+15)×(85-15)=100×70=7 000. 4.答案 D (2x+3)2-x2=(2x+3-x)(2x+3+x)=(x+3)(3x+3)=3(x+3)(x+1). 5.答案 A a2(a2-1)-a2+1=a2(a2-1)-(a2-1)=(a2-1)(a2-1)=(a2-1)2=(a-1)2(a+1)2, ∵a 为实数,∴(a-1)2≥0,(a+1)2≥0,故选 A. 6.答案 C 根据平方差公式的特征,知 a 应为负数,且 a 的绝对值是平方数,故 a 可以为-1.验证:当 a=-1 时,x2+a=x2-1=(x+1)(x-1),故选 C. 7.答案 A ∵x2-9y2=16,∴(x+3y)(x-3y)=16,又 x+3y=2,∴2(x-3y)=16,∴ x-3y=8.故选 A. 二、填空题 8.答案 x+y 解析 因为 x2-y2=(x+y)(x-y),x2+xy=x(x+y), 所以两个多项式的公因式为 x+y. 9.答案 -200 解析 ∵2m+n=25,m-2n=2, ∴(m+3n)2-(3m-n)2=[(m+3n)+(3m-n)][(m+3n)-(3m-n)]=(4m+2n)(-2m+4n) =-4(2m+n)(m-2n)=-4×25×2=-200. 三、解答题 10.解析 (1)原式=xn(1-x2)=xn(1+x)(1-x). (2)原式=x2(x4-y4)=x2(x2+y2)(x2-y2)=x2(x2+y2)(x+y)(x-y). (3)原式=(x-y+3x)(x-y-3x)=-(4x-y)(2x+y). (4)原式=a2(a-b)-b2(a-b) =(a2-b2)(a-b) =(a-b)2(a+b). 11.解析 构造的多项式为 x3-x2-x+1,4x3-4x2-x+1.因式分解的过程如下: x3-x2-x+1=x2(x-1)-(x-1)=(x-1)2(x+1). 4x3-4x2-x+1=4x2(x-1)-(x-1)=(x-1)(2x+1)(2x-1). 第二课时 完全平方公式 一、选择题 1.下列各式中,能用完全平方公式进行因式分解的是( ) A.2x2+4x+1 B.4x2-12xy+9y2 C.2x2+4xy+y2 D.x2-y2+2xy 2.若多项式 x2+2ax+4 能用完全平方公式进行因式分解,则 a 的值为( ) A.2 B.-2 C.±2 D.±4 3.下列各式分解因式正确的是( ) A.2a2-8b2=2(a+4b)(a-4) B.x2-6x+9=(x-3)2 C.2m2-4mn+9n2=(2m-3n)2 D.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)(x+y) 4.将多项式 4(a-b)2-16(a-b-1)因式分解,结果正确的是( ) A.4(a-b)(a-b-16) B.(2a-b-4)2 C.(2a-2b-4)2 D.4(a-b-2)2 二、填空题 5.若 m-n=2,则 2m2-4mn+2n2-1 的值为 . 6.已知 x-2y+2=0,则 1 4 x2+y2-xy-1 的值为 . 7.分解因式:8x2-8xy+2y2= . 8.若(x2+y2)4-6(x2+y2)2+9=0,则 x2+y2= . 三、解答题 9.把下列各式因式分解: (1)4xy2-4x2y-y3; (2)(a2-2a+1)-b(a-1). 10.学习了乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2 后,老师向同学们提出了如下问题: ①将多项式 x2+4x+3 因式分解; ②求多项式 x2+4x+3 的最小值. 随后,老师给出了解法,如下: ①x2+4x+3 =x2+4x+4-1 =(x+2)2-1 =(x+2+1)(x+2-1) =(x+3)(x+1) ②由①知,x2+4x+3=(x+2)2-1, 因为(x+2)2≥0, 所以(x+2)2-1≥-1, 所以当 x=-2 时,x2+4x+3 的值最小,最小值为-1 请你运用上述的方法解决下列问题: (1)将多项式 x2+8x-20 因式分解; (2)求多项式-x2+8x-20 的最大值. 一、选择题 1.答案 B 4x2-12xy+9y2=(2x-3y)2.故选 B. 2.答案 C ∵多项式 x2+2ax+4 能用完全平方公式进行因式分解,∴2a=±4,解得 a=±2.故选 C. 3.答案 B A.2a2-8b2=2(a+2b)(a-2b),故此选项错误; B.x2-6x+9=(x-3)2,故此选项正确; C.2m2-4mn+9n2 不能用完全平方公式分解因式,故此选项错误; D.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)2,故此选项错误.故选 B. 4.答案 D 4(a-b)2-16(a-b-1) =4(a-b)2-16(a-b)+16 =4[(a-b)2-4(a-b)+4] =4(a-b-2)2. 故选 D. 二、填空题 5.答案 7 解析 原式=2(m2-2mn+n2)-1=2(m-n)2-1,∵m-n=2,∴原式=2×4-1=7. 6.答案 0 解析 ∵x-2y+2=0,∴x-2y=-2, ∴ 1 4 x2+y2-xy-1= 1 4 (x2-4xy+4y2)-1= 1 4 (x-2y)2-1= 1 4 ×(-2)2-1=1-1=0. 7.答案 2(2x-y)2 解析 原式=2(4x2-4xy+y2) =2(2x-y)2. 8.答案 3解析 ∵(x2+y2)4-6(x2+y2)2+9=0,∴[(x2+y2)2-3]2=0, ∴(x2+y2)2-3=0,即(x2+y2)2=3,又 x2+y2≥0,∴x2+y2= 3 . 三、解答题 9.解析 (1)原式=-y(-4xy+4x2+y2)=-y(2x-y)2. (2)原式=(a-1)2-b(a-1)=(a-1)(a-b-1). 10.解析 (1)x2+8x-20=x2+8x+16-36=(x+4)2-36=(x+4+6)(x+4-6)=(x+10)(x-2). (2)由题意得,-x2+8x-20=-(x2-8x+20)=-(x2-8x+16-16+20)=-(x-4)2-4, ∵(x-4)2≥0, ∴-(x-4)2≤0, ∴-(x-4)2-4≤-4, ∴当 x=4 时,-x2+8x-20 的值最大,最大值为-4.