人教版八年级数学下册《第17章勾股定理》期中综合复习知识点分类培优提升训练

2021 年人教版八年级数学下册《第 17 章勾股定理》知识点分类培优提升训练（附答案） 一．勾股定理 1．如图，在 4×4 的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 都在格点上，AD⊥ BC 于 D，则 AD 的长为（ ） A．1 B．2 C． D． 2．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，角平分线 CD 交 AB 于点 D，则 点 D 到 AC 的距离是（ ） A． B．2 C． D．3 3．在△ABC 中，∠A，∠B、∠C 的对应边分别是 a、b、c，若∠C＝90°，则下列等式中 成立的是（ ） A．a2+b2＝c2 B．b2+c2＝a2 C．a2+c2＝b2 D．b2﹣a2＝c2 4．已知 Rt△ABC 的周长是 4+4 ，斜边上的中线长是 2，则 S△ABC 为（ ） A．16 B．8 C．4 D．12 5．已知直角三角形的斜边长为 10，两直角边的比为 3：4，则较短直角边的长为（ ） A．3 B．6 C．8 D．5 6．如图，长方形 OABC 的边 OA 长为 2，AB 长为 1，OA 在数轴上，以原点 O 为圆心，对 角线 OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A．2.5 B． C． D．3 7．已知△ABC 中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则它的三条边之比为（ ） A．1：1： B．1： ：2 C．1： ： D．1：4：1 8．若三个正方形的面积如图所示，则正方形 A 的面积为（ ） A．6 B．36 C．64 D．8 9．一个直角三角形的两边长分别为 4cm、3cm，则第三条边长为（ ） A．5cm B．4cm C． cm D．5cm 或 cm 10．如图所示：数轴上点 A 所表示的数为 a，则 a 的值是（ ） A． +1 B． ﹣1 C．﹣ +1 D．﹣ ﹣1 11．一个钝角三角形的两边长为 3、4，则第三边可以为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 12．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝3，则 AB＝ ． 13．如图，在 5×5 的方格中，有一个正方形 ABCD，假设每一个小方格的边长为 1 个单位 长度，则正方形 ABCD 的边长为 ． 14．如图，四边形 ABDC 中，∠ABD＝120°，AB⊥AC，BD⊥CD，AB＝4，CD＝4 ，则 该四边形的面积是 ． 15．如图，AD 是 Rt△ABC 斜边上的高．若 AB＝4cm，BC＝10cm，则 BD＝ cm． 16．如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，CD 是斜边 AB 上的高． （1）求 AB 的长； （2）求 CD 的长． 17．如图，在△ABD 中，∠D＝90°，C 是 BD 上一点，已知 BC＝9，AB＝17，AC＝10， 求 AD 的长． 二．勾股定理的证明 18．下列数学家中，用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是（ ） A．刘徽 B．赵爽 C．祖冲之 D．秦九韶 19．由四个全等的直角三角形如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为 2，一个锐 角为 30°，则图中阴影部分的面积为（ ） A．1 B．3 C．4﹣2 D．4+2 三．勾股定理的逆定理 20．以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是（ ） A．3，4，5 B．4，6，8 C．8，24，25 D．6，12，13 21．下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A．7，24，25 B．3，4，6 C．9，12，15 D．6，8，10 22．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A．三内角之比为 1：2：3 B．三边长的平方之比为 1：2：3 C．三边长之比为 3：4：5 D．三内角之比为 3：4：5 23．已知三角形三边长分别是 6，8，10，则此三角形的面积为 ． 24．如图，AD 是△ABC 的中线，DE 是△ADC 的高，DF 是△ABD 的中线，且 CE＝1，DE ＝2，AE＝4． （1）∠ADC 是直角吗？请说明理由． （2）求 DF 的长． 四．勾股数 25．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．5，13，12 26．下面各组数据中是勾股数的是（ ） A．0.3，0.4，0.5 B．5，12，13 C．1，4，9 D．5，11，12 27．下列各组数中是勾股数的一组是（ ） A．7，24，25 B．4，6，9 C．0.3，0.4，0.5 D．4， ， 五．勾股定理的应用 28．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面．然后将绳子末端拉 到距离旗杆 8m 处，发现此时绳子末端距离地面 2m．则旗杆高度为（ ）（滑轮上方的 部分忽略不计） A．12m B．13m C．16m D．17m 29．如图，小明将一张长为 20cm，宽为 15cm 的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得 AB ＝3cm，CD＝4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（ ） A．5cm B．12cm C．16cm D．20cm 30．如图，王英同学从 A 地沿北偏西 60°方向走 100m 到 B 地，再从 B 地向正南方向走 200m 到 C 地，此时王英同学离 A 地（ ） A．50 m B．100m C．150m D．100 m 31．如图，学校 B 前面有一条笔直的公路，学生放学后走 BA，BC 两条路可到达公路，经 测量 BC＝60m，BA＝80m，AC＝100m．现需修建一条公路从学校 B 到公路，则学校 B 到公路的最短距离为 m． 32．如图，要为一段高 5 米，长 13 米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯 米． 33．如图，长为 8cm 的橡皮筋放置在 x 轴上，固定两端 A 和 B，然后把中点 C 向上拉升 3cm 到 D，则橡皮筋被拉长了 cm． 34．如图，在两面墙之间有一个底端在 A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在 B 点．当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在 D 点，已知梯子长 2.5m，D 点到地面的垂直 距离 DE＝1.5m，两墙的距离 CE 长 3.5m．求 B 点到地面的垂直距离 BC． 35．如图，一架 25 米长的云梯 AC 斜靠一面竖直的墙 AB 上，这时梯子底端 C 离墙 7 米． （1）这个梯子的顶端 A 距离地面多远？ （2）如果梯子的顶端 A 下滑了 4 米，那么梯子底端 C 在水平方向滑动了 4 米吗？ 36．如图，甲乙两船从港口 A 同时出发，甲船以 16 海里/时速度沿北偏东 40°方向航行， 乙船沿南偏东 50°方向航行，3 小时后，甲船到达 C 岛，乙船到达 B 岛．若 C、B 两岛 相距 60 海里，问：乙船的航速是多少？ 参考答案 1．解：由勾股定理得：BC＝ ＝5， ∵S△ABC＝4×4﹣ ×1×2﹣ ×2×4﹣ ×4×3＝5， ∴ BC•AD＝5， ∴ BD＝5， ∴BD＝2． 故选：B． 2．解：作 DE⊥AC 于 E，作 DF⊥BC 于 F， 在 Rt△ACB 中，AC＝ ＝ ＝4， ∵CD 是角平分线， ∴DE＝DF， ∴ AC•DE+ BC•DF＝ AC•BC，即 ×4DE+ ×3DE＝ ×4×3， 解得 DE＝ ． 故点 D 到 AC 的距离是 ． 故选：A． 3．解：∵∠C＝90°，∠A，∠B、∠C 的对应边分别是 a、b、c， ∴a2+b2＝c2．故选：A． 4．解：∵Rt△ABC 的周长是 4+4 ，斜边上的中线长是 2， ∴斜边长为 4， 设两个直角边的长为 x，y，则 x+y＝4 ，x2+y2＝16， 解得：xy＝8， ∴S△ABC＝ xy＝4． 故选：C． 5．解：设两直角边分别为 3x，4x． 由勾股定理得（3x）2+（4x）2＝100． 解得 x＝2．则 3x＝3×2＝6，4x＝4×2＝8． ∴直角三角形的两直角边的长分别为 6，8． 较短直角边的长为 6． 故选：B． 6．解：由勾股定理可知， ∵OB＝ ＝ ， ∴这个点表示的实数是 ． 故选：C． 7．解：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°， ∴c＝2a，b＝ a， ∴三条边的比是 1： ：2． 故选：B． 8．解：面积为 100 的正方形的边长为 10，面积为 64 的正方形的边长为 8， 由勾股定理得，正方形 A 的边长＝ ＝6， ∴正方形 A 的面积为 36， 故选：B． 9．解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为 5cm； （2）当 4 为斜边时，由勾股定理得，第三边为 cm； 故直角三角形的第三边应该为 5cm 或 cm． 故选：D． 10．解：由勾股定理得： ＝ ， ∴数轴上点 A 所表示的数是 ﹣1， ∴a＝ ﹣1；故选：B． 11．解：设第三边为 c， 若这个三角形为直角三角形，则第三边为 ＝5， ∵钝角大于直角， ∴c＞5， ∵三角形第三边小于其余两边和， ∴c＜7， 故选：C． 12．解：∵Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°． ∴AB＝2AC． 设 AC＝x．则 AB＝2x． ∴x2+32＝（2x）2 ∴x＝ ． ∴ ． 故答案为：2 ． 13．解：由勾股定理得：AB＝ ＝ ， 故答案为： ． 14．解：如图，延长 CA、DB 交于点 E， ∵四边形 ABDC 中，∠ABD＝120°，AB⊥AC，BD⊥CD， ∴∠C＝60°， ∴∠E＝30°． 在 Rt△ABE 中，∵AB＝4，∠E＝30°， ∴BE＝2AB＝8， ∴AE＝ ＝4 ． 在 Rt△DEC 中，∵∠E＝30°，CD＝4 ， ∴CE＝2CD＝8 ， ∴DE＝ ＝12， ∴S△ABE＝ ×4×4 ＝8 ， S△CDE＝ ×4 ×12＝24 ， ∴S 四边形 ABDC＝S△CDE﹣S△ABE＝16 ． 故答案为 16 ． 15．解：∵∠B＝∠B，∠BDA＝∠BAC， ∴△ABD∽△CBA， ∴ ＝ ， ∵AB＝4cm，BC＝10cm， ∴BD＝ ＝1.6（cm）， 故答案为：1.6． 16．解：（1）在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5， ∴AB＝ ＝ ＝13； （2）∵S△ABC＝ ×AC×BC＝ ×AB×CD， ∴5×12＝13×CD， ∴CD＝ ． 17．解：在 Rt△ABD 中，9+CD＝ ， 和 Rt△ACD 中，CD＝ ， ∴9+ ＝ ， 两边平方得，81+18 +100﹣AD2＝289﹣AD2， ∴ ＝6， 两边平方得，100﹣AD2＝36， 解得 AD＝8． 二．勾股定理的证明 18．解：用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是数学家赵爽，故选：B． 19．解：∵直角三角形斜边长为 2，一个锐角围为 30°， ∴该直角三角形的两直角边为 1、 ， ∴S 阴影＝22﹣4× ×1× ＝4﹣2 ． 故选：C． 三．勾股定理的逆定理 20．解：A、32+42＝52，能组成直角三角形； B、42+62≠82，不能组成直角三角形； C、82+242≠252，不能组成直角三角形； D、62+122≠132，不能组成直角三角形． 故选：A． 21．解：A、72+242＝252，能构成直角三角形，故此选项不合题意； B、32+42≠62，不能构成直角三角形，故此选项符合题意； C、92+122＝152，能构成直角三角形，故此选项不合题意； D、62+82＝102，能构成直角三角形，故此选项不合题意； 故选：B． 22．解：A、根据三角形内角和公式，求得各角分别为 30°，60°，90°，所以此三角形是 直角三角形； B、三边符合勾股定理的逆定理，所以其是直角三角形； C、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形； D、根据三角形内角和公式，求得各角分别为 45°，60°，75°，所以此三角形不是直 角三角形； 故选：D． 23．解：∵62+82＝102， ∴此三角形为直角三角形， ∴此三角形的面积为： ×6×8＝24． 故答案为：24． 24．解：（1）∠ADC 是直角． 理由是： ∵DE 是△ADC 的高， ∴∠AED＝∠CED＝90°， 在 Rt△ADE 中，∠AED＝90°， ∴AD2＝AE2+DE2＝42+22＝20， 同理：CD2＝5， ∴AD2+CD2＝25， ∵AC＝AE+CE＝4+1＝5， ∴AC2＝25， ∴AD2+CD2＝AC2， ∴△ADC 是直角三角形， ∴∠ADC 是直角； （2）∵AD 是△ABC 的中线，∠ADC＝90°， ∴AD 垂直平分 BC， ∴AB＝AC＝5， 在 Rt△ADB 中，∠ADB＝90°， ∵点 F 是边 AB 的中点， ∴DF＝ ＝ ． 四．勾股数 25．解：A、12+22＝5≠32，故不能组成直角三角形，错误； B、22+32＝13≠42，故不能组成直角三角形，错误； C、42+52＝41≠62，故不能组成直角三角形，错误； D、52+122＝169＝132，故能组成直角三角形，正确． 故选：D． 26．解：A、∵0.3，0.4，0.5 是小数，∴不是勾股数，故本选项错误； B、∵52+122＝169＝132，∴是勾股数，故本选项正确； C、∵12+42≠92，∴不是勾股数，故本选项错误； D、∵52+112≠122，∴不是勾股数，故本选项错误． 故选：B． 27．解：A、∵72+242＝252，∴此选项符合题意； B、∵42+42≠92，∴此选项不符合题意； C、∵不是整数，∴此选项符合题意； D、∵不是整数，∴此选项不符合题意． 故选：A． 五．勾股定理的应用 28．解：设旗杆高度为 x，则 AC＝AD＝x，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m， 在 Rt△ABC 中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2， 解得：x＝17， 即旗杆的高度为 17 米． 故选：D． 29．解：延长 AB、DC 相交于 F，则 BFC 构成直角三角形， 运用勾股定理得： BC2＝（15﹣3）2+（20﹣4）2＝122+162＝400， 所以 BC＝20． 则剪去的直角三角形的斜边长为 20cm． 故选：D． 30．解：∵AD⊥BC， ∴在 Rt△ABD 中，AD＝AB•sin60°＝50 m，BD＝AB•cos60°＝50m， ∴CD＝150m． ∴在 Rt△ADC 中，AC＝ ＝100 （m）． 故选：D． 31．解：过 B 作 BD⊥AC，垂足为 D， ∵602+802＝1002， ∴BC2+AB2＝AC2， ∴∠ABC＝90°， ∴S△ACB＝ AB•CB＝ AC•BD， 即 ×60×80＝ ×100×DB， 解得：BD＝48， ∴学校 B 到公路的最短距离为 48m， 故答案为：48． 32．解：根据勾股定理，楼梯水平长度为 ＝12 米， 则红地毯至少要 12+5＝17 米长， 故答案为：17． 33．解：Rt△ACD 中，AC＝ AB＝4cm，CD＝3cm； 根据勾股定理，得：AD＝ ＝5cm； ∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm； 故橡皮筋被拉长了 2cm． 34．解：∵梯子长 2.5m，D 点到地面的垂直距离 DE＝1.5m， ∴AE＝ ＝2（m）， ∵两墙的距离 CE 长 3.5m， ∴AC＝1.5m， ∴BC＝ ＝ ＝2（m）， 答：B 点到地面的垂直距离 BC 为 2m． 35．解：（1）在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 AB2+BC2＝AC2， 即 AB2+72＝252， 所以 AB＝24（m）， 即这架云梯的顶端 A 距地面有 24m 高； （2）梯子的底端在水平方向滑动了 8m． 理由：∵云梯的顶端 A 下滑了 4m 至点 D， ∴BD＝AB﹣AD＝24﹣4＝20（m）， 在 Rt△BDE 中，由勾股定理得 BD2+BE2＝DE2， 即 202+BE2＝252 所以 BE＝15（m） CE＝BE﹣BC＝15﹣7＝8（m）， 即梯子的底端在水平方向滑动了 8m． 36．解：∵甲船沿北偏东 40°方向航行，乙船沿南偏东 50°方向航行， ∴∠CAB＝90°， ∵AB＝16×3＝48，BC＝60， ∴AC＝ ＝36， ∴乙船的航速是 36÷3＝12 海里/时， 答：乙船的航速是 36÷3＝12 海里/时．