人教版八年级下册第十八章平行四边形导学案

1 第十八章 平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质 第 1 课时 平行四边形的边、角特征 学习目标：1.掌握平行四边形的对边相等、对角相等的两条性质； 2. 根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明； 3. 经历“实验—猜想—验证—证明”的过程,发展学生的思维水平. 重点：掌握平行四边形的对边相等、对角相等的两条性质. 难点：根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明. 一、知识回顾 1.平行四边形的定义是什么？如何表示一个平行四边形？ 2.如图，DC∥GH ∥AB，DA∥EF∥CB，图中的平行四边形有多少个？将它们表示出来. 一、要点探究 探究点 1：平行四边形的边、角的特征 量一量 1.画一个平行四边形 ABCD，用尺子等工具度量它的四条边，并记录下数据，你能发现 AB 与 DC，AD 与 BC 之间的数量关系吗? 2.再用量角器等工具度量它的四个角，并记录下数据，你能发现∠A 与∠C，∠B 与 ∠D 之间的数量关系吗? 思考 你发现了什么规律？ 证一证 已知：四边形 ABCD 是平行四边形. 求证:AD=BC,AB=CD,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC. 证明：如图，连接 AC. ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD___BC，AB___CD, ∴∠1___∠2，∠3___∠4. 又∵AC 是△ABC 和△CDA 的公共边， ∴ △ABC____△CDA, ∴AD___BC，AB___CD，∠ABC___∠ADC. ∵∠BAD=∠1+∠4，∠BCD=∠2+∠3， ∴∠BAD___∠BCD. 思考 不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？ 要点归纳：平行四边形的对边____________；平行四边形的对角___________． 典例精析 2 例 1 如图，在平行四边形 ABCD 中. (1) 若∠A =32°,求其余三个角的度数. (2) 连接 AC，已知平行四边形 ABCD 的周长等于 20 cm，AC=7cm，求△ABC 的周长. 变式题 (1)在平行四边形 ABCD 中,∠A:∠B=2:3,求各角的度数. (2)若平行四边形 ABCD 的周长为 28cm,AB:BC=3:4,求各边的长度. 方法总结:已知平行四边形的边角的比例关系求其他边角时，会用到方程思想，结合平行四边形的性质列方程. 例 2 如图，在平行四边形 ABCD 中,E，F 是对角线 AC 上的两点，并且 AE=CF，求证： BE=DF. 针对训练 1.如图，在平行四边形 ABCD 中. (1)若∠A=130°，则∠B=______ ，∠C=______ ，∠D=______. (2)若 AB=3,BC=5,则它的周长= ______. (3)若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=_____，∠B=______. 2.如图，在平行四边形 ABCD 中，若 AE 平分∠DAB，AB=5cm,AD＝9cm,则 EC＝_________. 3.剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条，线段 AD 和 BC 的长度有什么关系？为什么？ 3 探究点 2：平行线间的距离 想一想:如图,若 m // n,作 AB // CD // EF，分别交 m 于 A、C、E，交 n 于 B、D、F.由________________________ 易知四边形 ABCD，CDEF 均为__________________.由平行四边形的性质得 AB______CD_______EF. 填一填: 如图，在平行四边形 ABCD 中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别是 E，F．求证：DE=BF． 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ ∠A_____∠C，AD______CB. 又∠AED= ∠CFB=90°， ∴ △ADE____△CBF（_____）, ∴AE_____CF. 要点归纳：1.两条平行线之间的任何平行线段都__________. 2.两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的_________. 3.两条平行线间的距离__________. 典例精析 例 3 如图，AB∥CD，BC⊥AB，若 AB=4cm，S△ABC=12cm2，求△ABD 中 AB 边上的高． 二、课堂小结 平行四边形 内 容 定 义 两组对边分别平行的四边形 性 质 1. 两组对边分别平行，相等 2. 两组对角分别相等，邻角互补 其它结论 1.两条平行线间的距离相等 2.两条平行线间的平行线段也相等 4 当堂检测 1.判断题(对的在括号内填“√”，错的填“×”)： (1)四平行四边形两组对边分别平行且相等 ( ) (2)平行四边形的四个内角都相等 ( ) (3)平行四边形的相邻两个内角的和等于 180° ( ) (4)如果平行四边形相邻两边长分别是 2cm 和 3cm，那么周长是 10cm ( ) (5)在平行四边形 ABCD 中，如果∠A=42°，那么∠B=48° ( ) (6)在平行四边形 ABCD 中，如果∠A=35°，那么∠C=145° ( ) 2.在平行四边形 ABCD 中，M 是 BC 延长线上的一点，若∠A=135°，则∠MCD 的度数是（ ） A .45° B. 55° C. 65° D. 75 3.如图，D、 E、F 分别在△ABC 的边 AB、BC、AC 上，且 DE∥AC,DF∥BC,EF∥AB，则图中有_____个平 行四边形. 4.如图，直线 AE//BD,点 C 在 BD 上,若 AE=5，BD=8,△ABD 的面积为 16,则△ACE 的面积为____________. 5.已知在平行四边形 ABCD 中，DE 平分∠ADC,BF 平分∠ABC.求证:AE=CF. 6.有一块形状如图所示的玻璃，不小心把 EDF 部分打碎了，现在只测得 AE=60cm，BC=80cm，∠B=60°且 AE∥BC、AB∥CF,你能根据测得的数据计算出 DE 的长度和∠D 的度数吗？ 7.如图，在△ABC 中,AD 平分∠BAC,点 M,E,F 分别是 AB,AD,AC 上的点,四边形 BEFM 是平行四边形. 求证：AF=BM. 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 5 第 2 课时 平行四边形的对角线的特征 学习目标：1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质； 2.经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透转化思想， 体会图形性质探究的一般思路. 重点：掌握平行四边形对角线互相平分的性质. 难点：经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透转化思想， 体会图形性质探究的一般思路. 一、知识回顾 1.你能说出平行四边形边、角的特征吗？ 平行四边形对边互相___________; 平行四边形对边__________; 平行四边形对角__________. 二、要点探究 探究点 1：平行四边形的对角线的性质 猜一猜 如图，在□ABCD 中，连接 AC,BD,并设它们相交于点 O. OA 与 OC,OB 与 OD 有什么关系? 证一证 已知：如图,□ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：OA=OC，OB=OD. 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD___BC，AD___BC, ∴ ∠1___∠2，∠3___∠4, ∴ △AOD___△COB（______）, ∴ OA____OC，OB____OD. 要点归纳：平行四边形的性质:平行四边形的对角线互相_________. 应用格式：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ OA=OC，OB=OD. 典例精析 例 1 如图，已知平行四边形 ABCD 的周长为 60cm，对角线 AC、BD 相交于点 O，△AOB 的周长比△DOA 的 周长长 5cm，求这个平行四边形各边的长． 方法总结:平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差． 变式题如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，平行四边形 ABCD 的周长是 100cm，△ AOB 与△BOC 的周长的和是 122cm，且 AC:DB= 2:1，求 AC 和 BD 的长． 6 例 2 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O.点 O 作直线 EF,分别交 AB,CD 于点 E，F.求证：OE=OF. 变式题请判断下列图中，OE=OF 还成立么？ 方法总结:过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等. 针对训练 1.如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，若 AD=16，AC=24，BD=12，则△OBC 的周长为 （ ） A.26 B.34 C.40 D.52 2.如图，在□ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，△AOB 的周长为 15，AB=6，则对角线 AC、BD 的长 度的和是 （ ） A.9 B.18 C.27 D.36 3.如图,平行四边形 ABCD 中，AC、BD 交于 O 点，点 E、F 分别是 AO、CO 的中点，试判断线段 BE、DF 的 关系并证明你的结论． 探究点 2：平行四边形的面积 典例精析 例 3 如图，平行四边形 ABCD 中，DE⊥AB 于 E，DF⊥BC 于 F，若平行四边形 ABCD 的周长为 48，DE=5， DF=10，求平行四边形 ABCD 的面积. 第 1 题图 第 2 题图 7 方法总结:已知平行四边形的高 DE，DF，根据“等面积法”及平行四边形性质列方程求解. 例 4 平行四边形的对角线分平行四边形 ABCD 为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？ 方法总结：平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一. 相对的两个三角形全等. 例 5 如图，AC,BD 交于点 O，EF 过点 O,平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等吗？ 变式题如图，AC,BD 交于点 O，EF 过点 O,平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等吗？ 方法总结：过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分. 针对训练 1.把一个平行四边形分成 3 个三角形，已知两个阴影三角形的面积分别是 9cm2 和 12cm2，求平行四边形的面积． 2.如图，欢欢看到平行四边形的草地中间有一水井，为了浇水的方便，欢欢建议我们经过水井修小路，一样可 以把草地分成面积相等的两部分，同学们，你知道聪明的欢欢是怎么分的吗？ 二、课堂小结 8 当堂检测 1.如图，□ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,且 AC+BD=16,CD=6,则△ABO 的周长是 （ ） A. 10 B. 14 C. 20 D. 22 2.如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是 （ ） A．∠ABO=∠CDO B．∠BAD=∠BCD C．AO=CO D．AC⊥BD 3. 在□ABCD 中，AC=24,BD=38,AB=m, 则 m 的取值范围是 ( ) A. 24