九年级数学中考复习《方程与不等式》易错题型专项能力测评）

2021 年春九年级数学中考复习《方程与不等式》易错题型专项能力测评（附答案） 1．若关于 x 的不等式组 的解集是 x＜2，则 a 的取值范围是（ ） A．a≥2 B．a＜﹣2 C．a＞2 D．a≤2 2．对于任意实数 k，关于 x 的方程 x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0 的根的情况为（ ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判定 3．若关于 x 的不等式 mx﹣n＞0 的解集是 x＜ ，则关于 x 的不等式（m+n）x＜n﹣m 的解 集是（ ） A．x＜﹣ B．x＞ C．x＞﹣ D．x＜ 4．已知关于 x 方程 x﹣ ＝ ﹣1 的解是非正整数，则符合条件的所有整数 a 的和是 （ ） A．﹣4 B．﹣3 C．2 D．3 5．如果关于 x 的不等式组 只有 3 个整数解，那么 a 的取值范围是（ ） A．3≤a＜4 B．3＜a≤4 C．2≤a＜3 D．2＜a≤3 6．某超市在“元旦”活动期间，推出如下购物优惠方案： ① 一次性购物在 100 元（不含 100 元）以内，不享受优惠； ② 一次性购物 100 元（含 100 元）以上，350 元（不含 350 元）以内，享受九折优惠； ③ 一次性购物在 350 元（含 350 元）以上，一律享受八折优惠； 小敏在该超市两次购物分别付了 90 元和 270 元，如果小敏把这两次购物改为一次性购物， 则小敏至少需付款（ ）元 A．288 B．296 C．312 D．320 7．若关于 x 的方程 a（x+m）2+b＝0 的解是 x1＝2，x2＝﹣1（a，m，b 均为常数，a≠0）， 则方程 a（﹣x﹣m+1）2+b＝0 的解是（ ） A．x1＝1，x2＝﹣2 B．x1＝1，x2＝0 C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝3，x2＝0 8．已知方程组 的解满足 x+y+1＞0，则整数 k 的最小值为（ ） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0 9．对于一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ① 若 a+b+c＝0，则 b2﹣4ac≥0； ② 若方程 ax2+c＝0 有两个不相等的实根，则方程 ax2+bx+c ＝0 必有两个不相等的实根； ③ 若 c 是方程 ax2+bx+c＝0 的一个根，则一定有 ac+b+1＝0 成立； ④ 若 x0 是一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的根，则 其中正确的 （ ）A．只有 ①② B．只有 ①②④ C． ①②③④ D．只有 ①②③10．商家常将单价不同的 A、B 两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A、 B 两种糖的总价与 A、B 两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克 数的 A 种糖和 B 种糖混合而成的“什锦糖甲，另一种是由相同金额数的 A 种糖和 B 种糖 混合而成的“什锦糖乙．若 B 种糖比 A 种糖的单价贵 40 元/千克，“什锦糖”甲比“什锦 糖”乙的单价贵 5 元/千克，则 A 种糖的单价为（ ） A．50 元/千克 B．60 元/千克 C．70 元/千克 D．80 元/千克 11．若数 a 使关于 x 的不等式组 有且只有四个整数解，且使关于 y 的方程 ＝2 的解为非负数，则符合条件的所有整数 a 的和为 ． 12．某工厂计划生产一批某种产品，数量不超过 3500 件．该产品由 A，B，C 三部分组成， 分别由厂里甲、乙、丙三个车间完成．三个车间于某天零时同时开工，每天 24 小时连续 工作．若干天后的零时，甲车间完成任务；几天后的 18 时，乙车间完成任务；自乙车间 完成任务后的当天零时起，再过几天后的 8 时，丙车间完成任务．已知三个车间每天完 成 A，B，C 的数量分别为 300 件、240 件、180 件，该工厂完成这种产品的件数是 ． 13．已知实数 x、y 满足 2x﹣3y＝4，且 x＞﹣1，y≤2，设 k＝x﹣y，则 k 的取值范围是 ． 14．已知关于 x 的不等式组 有 5 个整数解，则 a 的取值范围是 ． 15 ． 三 个 同 学 对 问 题 “ 若 方 程 组 的 解 是 ， 求 方 程 组 的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”； 乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组中两个方 程的两边都除以 9，通过换元替代的方法来解决”．参照他们的讨论，你认为这个题目的 解应该是 ． 16．已知关于 x 的方程 ＝﹣1 的解小于 1，则 a 的取值范围是 ． 17．若关于 x 的方程 ＝ 无解，则 a 的值是 ． 18．关于 x 的方程 的解是正数，则 t 的取值范围是 ． 19．已知关于 x，y 的二元一次方程（2m﹣1）x+（m+1）y﹣m+2＝0，无论实数 m 取何值， 此二元一次方程都有一个相同的解，则这个相同的解是 ． 20．若方程 x2+mx+1＝0 和 x2+x+m＝0 有公共根，则常数 m 的值是 ． 21．解方程与不等式组 （1）解方程 （2）解不等式组 22．已知数轴上两点 A、B 对应的数分别为﹣1、3，点 P 为数轴上一动点，其对应的数为 x． （1）如果点 P 到点 A、点 B 的距离相等，直接写出 x 的值； （2）当点 P 以每秒 3 个单位长的速度从数轴的原点出发，几秒后可使 PB＝3AB？ （3）利用数轴，根据绝对值的几何意义，找出满足|x+1|+|x﹣3|＝6 的所有 x 的值． 23．某国家 5A 级景区开展一年一度的旅游主题活动，活动将持续两周．景区内某餐厅今年 活动期间推出“精品套餐”，在午餐和晚餐时间只出售该套餐，且定价相同．活动开始后， 该套餐的销售情况如下： 第一天，午餐、晚餐时间均按定价出售，当天销售总收入为 30000 元； 第二天，午餐时间按定价共售出 100 份；晚餐时间按定价打九五折出售（即按定价的 95% 出售），当天销售总收入为 37650 元，且全天销售量比第一天多 30%（销售量指售出的套 餐的份数）． （1）若第一天的全天销售量为 m，请用含 m 的代数式表示第二天晚餐时间该套餐的销售 量； （2）该套餐的定价为多少元？ （3）第三天，餐厅在午餐时间按定价打九二折出售该套餐，晚餐按定价出售，全天销售 量比第一天多 32%； 第四天，午餐和晚餐时间均按定价打九折出售，全天销售量比第一天多 1 倍．根据该餐 厅往年活动期间的销售数据，午餐时间套餐的销售量和晚餐时间套餐的销售量有如下规 律： ① 若套餐价格不变，则二者分别保持基本稳定； ② 若套餐按定价打折，折扣相同，则二者的增长率也会大致相同． 参考前四天该套餐按定价所打折扣与销售量增长率之间的关系，若第五天午餐与晚餐时 间均按定价打八八折出售该套餐，你认为全天销售量会是多少？请说明理由． 24．4 月 12 日华为新出的型号为“P30 Pro”的手机在上海召开发布会，某华为手机专卖网 店抓住商机，购进 10000 台“P30 Pro”手机进行销售，每台的成本是 4400 元，在线同 时向国内、国外发售．第一个星期，国内销售每台售价是 5400 元，共获利 100 万元，国 外销售也售出相同数量该款手机，但每台成本增加 400 元，获得的利润却是国内的 6 倍． （1）求该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是多少元？ （2）受中美贸易战影响，第二个星期，国内销售每台该款手机售价在第一个星期的基础 上降低 m%，销量上涨 5m%；国外销售每台售价在第一个星期的基础上上涨 m%，并且 在第二个星期将剩下的手机全部卖完，结果第二个星期国外的销售总额比国内的销售总 额多 6993 万元，求 m 的值． 25．购买甲、乙两种商品，甲商品单价比乙商品单价少 20 元，甲商品件数是乙商品件数的 2 倍，甲商品总价 2000 元，乙商品总价 1400 元． （1）求这两种商品的单价； （2）若甲商品单价调高 10%，乙商品单价调低 10%，购买这两种商品共 50 件，总价不 超过 3000 元，则最多可购买多少件乙商品？ 26．某项工程，乙队单独完成所需天数是甲队单独完成所需天数的 1.5 倍；若由甲队先做 10 天，剩下的工程再由甲、乙两队合作 30 天刚好如期完成． （1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为 2.5 万元，乙队每天的施工费用为 2 万元，工程预算的 施工费用为 160 万元． ① 若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问安排预算的施工费用是 否够用？若不够用，需追加预算多少万元？ ② 若要求施工总费用不超预算又要如期完工，问甲工程队至少需要施工几天？ 参考答案 1．解：解不等式组 ， 由 ① 可得：x＜2， 由 ② 可得：x＜a， 因为关于 x 的不等式组 的解集是 x＜2， 所以，a≥2， 故选：A． 2．解： x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0， △＝b2﹣4ac＝[﹣（k+5）]2﹣4× ×（k2+2k+25）＝﹣k2+6k﹣25＝﹣（k﹣3）2﹣16， 不论 k 为何值，﹣（k﹣3）2≤0， 即△＝﹣（k﹣3）2﹣16＜0， 所以方程没有实数根， 故选：B． 3．解：∵mx﹣n＞0， ∴mx＞n， ∵关于 x 的不等式 mx﹣n＞0 的解集是 x＜ ， ∴m＜0， ＝ ， ∴m＝3n，n＜0， ∴n﹣m＝﹣2n，m+n＝4n， ∴关于 x 的不等式（m+n）x＜n﹣m 的解集是 x＞﹣ ， 故选：C． 4．解：x﹣ ＝ ﹣1， 6x﹣（4﹣ax）＝2（x+a）﹣6 6x﹣4+ax＝2x+2a﹣6 6x+ax﹣2x＝2a﹣6+4 （a+4）x＝2a﹣2 x＝ ， ∵方程的解是非正整数， ∴ ≤0， 解得：﹣4＜a≤1， 当 a＝﹣3 时，x＝﹣8； 当 a＝﹣2 时，x＝﹣3； 当 a＝﹣1 时，x＝﹣ （舍去）； 当 a＝0 时，x＝﹣ （舍去）； 当 a＝1 时，x＝0； 则符合条件的所有整数 a 的和是﹣3﹣2+1＝﹣4． 故选：A． 5．解：∵关于 x 的不等式组 只有 3 个整数解， ∴3 个整数解是 0，1，2， ∴2≤a＜3， 故选：C． 6．解：设第一次购物购买商品的价格为 x 元，第二次购物购买商品的价格为 y 元， 当 0＜x＜100 时，x＝90； 当 100≤x＜350 时，0.9x＝90， 解得：x＝100； ∵0.9y＝270， ∴y＝300． ∴0.8（x+y）＝312 或 320． 所以至少需要付 312 元． 故选：C． 7．解：∵a（﹣x﹣m+1）2+b＝0， ∴a（x+m﹣1）2+b＝0， 又∵关于 x 的方程 a（x+m）2+b＝0 的解是 x1＝2，x2＝﹣1（a，m，b 均为常数，a≠0）， ∴方程 a（x+m﹣1）2+b＝0 中 x﹣1＝2 或 x﹣1＝﹣1， 解得 x1＝3，x2＝0， 故选：D． 8．解： ， ① + ② 得：3x+3y＝k﹣1， x+y＝ ， ∵方程组 的解满足 x+y+1＞0， ∴ +1＞0， 解得：k＞﹣2， ∴整数 k 最小值是﹣1， 故选：C． 9．解： ① 若 a+b+c＝0，则 x＝1 是方程 ax2+bx+c＝0 的解， 由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△＝b2﹣4ac≥0，故 ① 正确； ② ∵方程 ax2+c＝0 有两个不相等的实根， ∴△＝b2﹣4ac＝0﹣4ac＞0， ∴﹣4ac＞0， 则方程 ax2+bx+c＝0 的判别式△＝b2﹣4ac＞0， ∴方程 ax2+bx+c＝0 必有两个不相等的实根，故 ② 正确； ③ ∵c 是方程 ax2+bx+c＝0 的一个根， 则 ac2+bc+c＝0， ∴c（ac+b+1）＝0 若 c＝0，等式仍然成立， 但 ac+b+1＝0 不一定成立，故 ③ 不正确； ④ 若 x0 是一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的根， 则由求根公式可得： x0＝ 或 x0＝ ∴2ax0+b＝ 或 2ax0+b＝﹣ ∴ 故 ④ 正确． 故选：B． 10．解：设 A 种糖的单价为 x 元/千克，则 B 种糖的单价为（x+40）元/千克， “什锦糖”甲的单价为 （x+x+40）元/千克， “什锦糖”乙的单价为 2÷（ + ）元/千克， 根据题意，得 （x+x+40）﹣2÷（ + ）＝5， 解得 x＝60， 经检验 x＝60 是分式方程的解，也符合题意， 所以 A 种糖的单价为 60 元/千克． 故选：B． 11．解： ， 解 ① 得，x＜5； 解 ② 得， ∴不等式组的解集为 ； ∵不等式有且只有四个整数解， ∴ ， 解得，﹣2＜a≤2； 解分式方程得，y＝2﹣a（a≠1）； ∵方程的解为非负数， ∴2﹣a≥0 即 a≤2 且 a≠1 综上可知，﹣2＜a≤2 且 a≠1， ∵a 是整数， ∴a＝﹣1，0，2； ∴﹣1+0+2＝1， 故答案为：1． 12．解：设甲车间 a 天完成，乙车间（a+b）天+18 小时完成，丙车间（a+b+c+1）天+8 小 时完成， 乙车间最后一天完成 240× ＝180（件）， 丙车间最后一天完成 180× ＝60（件）， 根据题意，得 300a＝240（a+b）+180＝180（a+b+c+1）+60 ∴5a＝4（a+b）+3＝3（a+b+c+1）+1 解得 a＝4b+3，b＝ c﹣ ， ∵0＜a+b+c≤ ＝19 ， 0＜a+b≤ ＝14 ， 0＜a≤ ＝11 ． 即 a+b+c≤19，a+b≤14，a≤11， ∴a＝11 时，b＝2，c＝4， 当 a 为 10 时，b 不是整数，舍去， 同理当 a 为其它非负整数如 9、8、7、6、5、4、3、2、1 时， b、c 不同时为非负整数， ∴该工厂完成这种产品的件数是 11×300＝3300（件）． 故答案为 3300． 13．解：∵2x﹣3y＝4， ∴y＝ （2x﹣4）， ∵y≤2， ∴ （2x﹣4）≤2，解得 x≤5， 又∵x＞﹣1， ∴﹣1＜x≤5， ∵k＝x﹣ （2x﹣4）＝ x+ ， 当 x＝﹣1 时，k＝ ×（﹣1）+ ＝1； 当 x＝5 时，k＝ ×5+ ＝3， ∴1＜k≤3． 故答案为：1＜k≤3． 14．解： ， 由 ① 得：x≤3， 由 ② 得：x＞a， ∴不等式的解集为：a＜x≤3， ∵关于 x 的不等式组 有 5 个整数解， ∴x＝﹣1，0，1，2，3， ∴a 的取值范围是：﹣2≤a＜﹣1． 故答案为：﹣2≤a＜﹣1． 15．解：方程组 变形为： ， 设 x＝m， y＝n， 则 ， ∵方程组 的解是 ， ∴ 的解释： ， 即 x＝4， y＝10， 解得：x＝9，y＝18， 故答案为： ． 16．解：两边都乘以（x﹣2），得 x+a＝2﹣x 解得 x＝ ， 由于方程的解小于 1， 所以 ＜1 且 ≠2， 解得 a＞0，a≠﹣2， ∴a＞0， 故答案为：a＞0． 17．解：分式方程去分母，可得 a（x+1）＝2x， 即（a﹣2）x＝﹣a， 当 a＝2 时，方程（a﹣2）x＝﹣a 无解； 当 a≠2 时，若 x＝1，则 a﹣2＝﹣a，即 a＝1； 若 x＝﹣1，则 2﹣a＝﹣a（无解）； 综上所述，a＝2 或 1， 故答案为：2 或 1． 18．解：方程的两边都乘以（2x﹣3），得 x+2t＝2x﹣3， 整理，得 x＝2t+3 由于方程的解是正数， 所以 2t+3＞0， 解得 t＞﹣ 当 2x﹣3＝0 即 x＝ 时， 原分式方程无意义， 所以 2t+3≠ 即 t≠﹣ ． 所以 t 的取值范围为：t＞﹣ 且 t≠﹣ ． 19．解：将方程（2m﹣1）x+（m+1）y﹣m+2＝0 整理得： （2x+y﹣1）m﹣x+y+2＝0 ∵无论实数 m 取何值，此二元一次方程都有一个相同的解 ∴ 解得： 故答案为： ． 20．解：设方程 x2+mx+1＝0 和 x2+x+m＝0 的公共根为 t， 则 t2+mt+1＝0 ① ， t2+t+m＝0 ② ， ① ﹣ ② 得（m﹣1）t＝m﹣1， 如果 m＝1，那么两个方程均为 x2+x+1＝0，△＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，不符合题意； 如果 m≠1，那么 t＝1， 把 t＝1 代入 ① ，得 1+m+1＝0，解得 m＝﹣2． 故常数 m 的值为﹣2． 故答案为：﹣2． 21．解：（1）方程两边同时乘以（x﹣4）得 3+x+x﹣4＝﹣1 ∴x＝0 检验：当 x＝0 时，x﹣4＝0﹣4≠0 ∴x＝0 是原方程的解． （2）解 ① 得 x≥﹣ 解 ② 得 x＜1 ∴不等式组的解集为 ≤x＜1． 22．解：（1）∵点 P 到点 A、点 B 的距离相等， ∴P 点只能在 A、B 之间， ∴PA＝PB＝ AB＝ 4＝2， 则 P 点对应的数为 1； （2）设 t 秒后可使 PB＝3AB， 当 P 在原点右侧时， 3t﹣3＝3×4， 解得 t＝5； 当 P 在原点左侧时， 3t+3＝3×4， 解得 t＝3， ∴出发 5 秒或 3 秒后可使 PB＝3AB； （3）|x﹣3|和|x+1|＝6 表示 P 点到数轴表示 3 和﹣1 的点的距离之和为 6， ① 当 P 在 A 点左侧时， PA+PB＝6， 即 PA+PA+4＝6， ∴PA＝1， ∴x＝﹣2； ② 当 P 在 B 点右侧时， PA+PB＝6， 即 PB+4+PB＝6， ∴PB＝1， ∴x＝4； ③ 当 P 在点 A、B 之间时，x 不存在． ∴x 的值为﹣2 或 4． 23．解：（1）第一天的全天销售量为 m，第二天晚餐套餐的销售量为： （1+30%）m﹣100 份． （2）套餐定价为： ． 则： [（1+30%）m﹣100]＝37650． 解得：m＝250． 经检验：m＝250 符合题意． 套餐定价为： ＝120 元． 答：该套餐定价为 120 元． （3）第一天午餐卖 100 份，晚餐买 250﹣100＝150 份． 第二天午餐卖 100 份，全天卖 250×1.3＝325 份，晚上卖 325﹣100＝225 份． 打折后的增长率为： ×100%＝50%． 第三天晚餐卖 150 份，午餐卖：250×（1+32%）﹣150＝180 份． 打折后的增长率为： %＝80%． 第四天销售量为：250×2＝500． 增长率为：1×100%＝100%． 由此可知打 x 折后的销售量的增长率 y 是一次函数． 设这个函数为：y＝kx+b． 则： ① 0.5＝0.95k+b． ② 0.8＝0.92k+b． ③ 1＝0.9k+b． 解得：k＝﹣10，b＝10． ∴y＝﹣10x+10． 当 x＝0.88 时，y＝1.2． 第 5 天全天的销售量为：250×（1+120%）＝550 份． 答：第 5 天的销售量为 550 份． 24．解：（1）设该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是 x 元， 根据题意得： •[x﹣（4400+400）]＝6×100， x＝10800， 答：该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是 10800 元； （2）第一个星期国内销售手机的数量为： ＝1000（台）， 由题意得：10800（1+m%）×[10000﹣2000﹣1000（1+5m%）]﹣5400（1﹣m%）×1000 （1+5m%）＝69930000， 10800（1+m%）（7000﹣5000m%）﹣5400×1000（1﹣m%）（1+5m%）＝69930000， 1080（1+m%）（7﹣5m%）﹣540（1﹣m%）（1+5m%）＝6993， 设 m%＝a，则原方程化为：1080（1+a）（7﹣5a）﹣540（1﹣a）（1+5a）＝6993， 360（1+a）（7﹣5a）﹣180（1﹣a）（1+5a）＝2331， a2＝0.01， a＝0.1 或﹣0.1（舍）， ∴m＝10． 25．解：（1）设：乙的单价为 x 元，则甲的单价为（x﹣20）元， 由题意得： ， 解得：x＝70， 经检验 x＝70 是方程的根， 故 x＝70； 答：甲、乙两种商品的单价分别为：50，70； （2）设购买乙 m 件，则购买甲（50﹣m）件， 由题意得：50×（1+10%）×（50﹣x）+70×（1﹣10%）m≤3000， 解得：m≤31.25，m 为整数，故最大为 31； 答：最多可购买 31 件乙商品． 26．解：（1）设甲队单独完成这项工程需要 x 天，则乙队单独完成这项工程需要 1.5x 天． 根据题意，得： （10+30）+ ×30＝1， 解得 x＝60． 经检验，x＝60 是原方程的根． ∴1.5x＝60×1.5＝90． 答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需 60 天和 90 天． （2） ① 设甲、乙两队合作完成这项工程需要 y 天， （ + ）y＝1， 解得：y＝36， 36×（2.5+2）＝162（万元）， ∵162＞160， ∴不够， 需追加 162﹣160＝2（万元）， 答：不够用，需追加预算 2 万元； ② 甲工程队需要施工 a 天，乙工程队需要施工 b 天， 根据题意得： ， 由 ① 得：2b＝180﹣3a ③ ， 把 ③ 代入 ② 得：2.5a+180﹣3a≤160， a≥40， ∴甲工程队至少需要施工 40 天．