人教版九年级数学下册第二十八章锐角三角函数章末巩固训练

人教版 九年级数学 第二十八章 锐角三角函数 章末巩固训练 一、选择题 1. 如图，要测量小河两岸相对的两点 P，A 间的距离，可以在小河边取 PA 的垂 线 PB 上一点 C，测得 PC＝100 米，∠PCA＝35°，则小河宽 PA 等于( ) A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米 2. 一个公共房门前的台阶高出地面 1.2 米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡， 数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( ) A. 斜坡 AB 的坡度是 10° B. 斜坡 AB 的坡度是 tan10° C. AC＝1.2tan10° 米 D. AB＝ 1.2 cos10° 米 3. (2019•湖南湘西州)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB的垂直平分线 EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC= 5 7 ，则BC的长是 A．10 B．8 C．4 3 D．2 6 4. （2020·扬州）如图，由边长为 1 的小正方形构成的网格中，点 A、B、C 都在 格点上，以 AB 为直径的圆经过点 C、D.则 sin∠ADC 的值为 （ ） A. 2 13 13 B. 3 13 13 C. 2 3 D. 3 2 5. 在课题学习后，同学们想为教室窗户设计一个遮阳篷，小明同学绘制的设计图 如图所示，其中 AB 表示窗户，且 AB＝2.82 米，△BCD 表示直角遮阳篷，已知 当地一年中午时的太阳光与水平线 CD 的最小夹角α为 18°，最大夹角β为 66°， 根据以上数据，计算出遮阳篷中 CD 的长约是(结果保留小数点后一位．参考数 据：sin18°≈0.31，tan18°≈0.32，sin66°≈0.91，tan66°≈2.25)( ) A．1.2 米 B．1.5 米 C．1.9 米 D．2.5 米 6. （2020·咸宁）如图，在矩形 ABCD 中， 2AB  ， 2 5BC  ，E是 BC 的中点， 将 ABE△ 沿直线 AE 翻折，点B落在点F处，连结CF ，则cos ECF 的值为（ ） A. 2 3 B. 10 4 C. 5 3 D. 2 5 5 7. 如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是 15 米的旗杆 ED，从办公大楼顶 端 A 测得旗杆顶端 E 的俯角α是 45°，旗杆底端 D 到大楼前梯坎底边的距离 DC 是 20 米，梯坎坡长 BC 是 12 米，梯坎坡度 i＝1∶ 3，则大楼 AB 的高度约为(精 确到 0.1 米，参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73， 6≈2.45)( ) A. 30.6 B. 32.1 C. 37.9 D. 39.4 8. (2019·浙江杭州)如图，一块矩形木板 ABCD 斜靠在墙边(OC⊥OB，点 A，B， C，D，O 在同一平面内)，已知 AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点 A 到 OC 的距离 等于 A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx 二、填空题 9. 如图，在△ABC 中，BC＝ 6＋ 2，∠C＝45°，AB＝ 2AC，则 AC 的长为 ________． 10. 齐河路路通电动车厂新开发的一种电动车如图，它的大灯 A 射出的边缘光线 AB，AC 与地面 MN 所夹的锐角分别为 8°和 10°，大灯 A 与地面的距离为 1 m， 则该车大灯照亮的宽度 BC 是________m．(不考虑其他因素，参考数据：sin8° ＝ 4 25 ，tan8°＝1 7 ，sin10°＝ 9 10 ，tan10°＝ 5 28) 11. 某电动车厂新开发的一种电动车如图 7 所示，它的大灯 A 射出的光线 AB，AC 与地面 MN 所夹的锐角分别为 8°和 10°，大灯 A 与地面的距离为 1 m，则该车大 灯照亮地面的宽度 BC 约是________m．(不考虑其他因素，结果保留小数点后一 位 ． 参 考 数 据 ： sin8°≈0.14 ， tan8°≈0.14 ， sin10°≈0.17 ， tan10°≈0.18)链接听 P30 例 2 归纳总结 12. 如图，一艘渔船位于灯塔 P 的北偏东 30°方向，距离灯塔 18 海里的 A 处，它 沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 55°方向上的 B 处，此时 渔船与灯塔 P 的距离约为________海里．(结果取整数．参考数据：sin55°≈0.8， cos55°≈0.6，tan55°≈1.4) 13. 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆 10 m 的 A 处测得旗杆 顶端 B 的仰角为 60°，测角仪高 AD 为 1 m，则旗杆高 BC 为__________m．(结 果保留根号) 14. (2019•江苏宿迁)如图，∠MAN=60°，若△ABC 的顶点 B 在射线 AM 上，且 AB=2，点 C 在射线 AN 上运动，当△ABC 是锐角三角形时，BC 的取值范围是 __________． 15. （2020·杭州）如图，已知 AB 是 O 的直径，BC 与 O 相切于点 B，连接 AC， OC．若 1sin 3BAC  ，则 tan BOC  ________． 16. 【题目】（2020·哈尔滨）在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD ＝ 36 ，CD＝1,则BC的长为 . 三、解答题 17. 某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为 6 米，坡面 BC 的坡度为 1∶1，为 了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面 AC 的坡度为 1∶ 3. (1)求新坡面的坡角α； (2)天桥底部的正前方 8 米处(PB 的长)的文化墙 PM 是否需要拆除？请说明理由． 18. 阅读理解我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任 意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？如图 K－19－12，在锐角三角形 ABC 中，∠A，∠B，∠ACB 所对的边分别为 a，b，c(注：sin2A＋cos2A＝1)， 过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，在 Rt△ADC 中，CD＝bsinA，AD＝bcosA，∴BD ＝c－bcosA. 在 Rt△BDC 中，由勾股定理，得 CD2＋BD2＝BC2， 即(bsinA)2＋(c－bcosA)2＝a2， 整理，得 a2＝b2＋c2－2bccosA. 同理可得 b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC. (注：上述三个公式对直角三角形和钝角三角形也成立，推理过程同上) 利用上述结论解答下列问题： (1)在△ABC 中，∠A＝45°，b＝2 2，c＝2，求 a 的长和∠C 的度数； (2)在△ABC 中，a＝ 3，b＝ 2，∠B＝45°，c＞a＞b，求 c 的长． 19. 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AB 的垂直平分线分别交边 AB，BC 于点 D， E，连接 AE. (1)如果∠B＝25°，求∠CAE 的度数； (2)如果 CE＝2，sin∠CAE＝2 3 ，求 tanB 的值． 20. 如图，AD 是△ABC 的中线，tanB＝1 3 ，cosC＝ 2 2 ，AC＝ 2. 求：(1)BC 的长； (2)sin∠ADC 的值. 21. 如图，某无人机于空中 A 处探测到目标 B，D，从无人机 A 上看目标 B，D 的俯角分别为 30°，60°，此时无人机的飞行高度 AC 为 60 m，随后无人机从 A 处继续水平飞行 30 3 m 到达 A′处． (1)求 A，B 之间的距离； (2)求从无人机 A′上看目标 D 的俯角的正切值． 22. 数学建模某工厂生产某种多功能儿童车，根据需要可变形为如图 12①所示的 滑板车(示意图)或图②的自行车(示意图)，已知前后车轮半径相同，AD＝BD＝ DE＝30 cm，CE＝40 cm，∠ABC＝53°，图①中 B，E，C 三点共线，图②中的 座板 DE 与地面保持平行，则图①变形到图②后两轴心 BC 的长度有没有发生变 化？若不变，请写出 BC 的长度；若变化，请求出变化量．(参考数据：sin53°≈4 5 ， cos53°≈3 5 ，tan53°≈4 3) 23. (2019•铜仁)如图，A、B 两个小岛相距 10km，一架直升飞机由 B 岛飞往 A 岛， 其飞行高度一直保持在海平面以上的 hkm，当直升机飞到 P 处时，由 P 处测得 B 岛和 A 岛的俯角分别是 45°和 60°，已知 A、B、P 和海平面上一点 M 都在同 一个平面上，且 M 位于 P 的正下方，求 h(结果取整数， 3 ≈1.732) 24. 阅读材料：关于三角函数还有如下的公式： sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ tan(α±β)＝ tanα±tanβ 1∓ tanα tanβ 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求 值， 例如：tan75°＝tan(45°＋30°)＝ tan45°＋tan30° 1－tan45°tan30° ＝ 1＋ 3 3 1－1× 3 3 ＝2＋ 3 根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算下列问题： (1)计算 sin15°； (2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的 红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度，已知李三站在离纪 念碑底 7 米的 C 处，在 D 点测得纪念碑碑顶的仰角为 75°，DC 为 3 米，请你 帮助李三求出纪念碑的高度． 人教版 九年级数学 第二十八章 锐角三角函数 章末巩固训练-答案 一、选择题 1. 【答案】C [解析] ∵PA⊥PB，PC＝100 米，∠PCA＝35°，∴PA＝PC·tan∠PCA ＝100tan35°(米)． 故选 C. 2. 【答案】 B 【解析】∵斜坡 AB 的坡角是 10°，∴选项 A 是错误的；∵坡度 ＝坡比＝坡角的正切，∴选项 B 是正确的；∵AC＝ 1.2 tan10° 米，∴选项 C 是错 误的；∵AB＝ 1.2 sin10° 米，∴选项 D 是错误的． 3. 【答案】D 【解析】∵∠C=90°，cos∠BDC= 5 7 ，设CD=5x，BD=7x，∴BC=2 6 x， ∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，∴AD=BD=7x，∴AC=12x， ∵AC=12，∴x=1，∴BC=2 6 ；故选D． 4. 【答案】 B 【解析】本题考查了锐角三角函数的定义和圆周角的知识，解答本题的关键是利 用圆周角定理把求∠ADC 的正弦值转化成求∠ABC 的正弦值.连接 AC、BC，∵ ∠ADC 和∠ABC 所对的弧长都是 AC ，∴根据圆周角定理知，∠ADC＝∠ABC， ∴在 Rt△ACB 中，根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC AC BC  ，∵AC＝2，CB ＝3，∴AB 13 ，∴sin∠ABC 3 3 131313   ，∴∠ADC 的正弦值等于 3 1313 ， 因此本题选 B． 5. 【答案】B [解析] 设 CD 的长为 x 米．在 Rt△BCD 中，∠BDC＝α＝18°. ∵tan∠BDC＝BC CD ， ∴BC＝CD·tan∠BDC≈0.32x. 在 Rt△ACD 中，∠ADC＝β＝66°. ∵tan∠ADC＝AC CD ， ∴AC＝CD·tan∠ADC≈2.25x. ∵AB＝AC－BC， ∴2.82≈2.25x－0.32x，解得 x≈1.5. 6. 【答案】 C 【解析】本题考查了余弦的定义、等腰三角形的性质上、矩形的性质和折叠的性 质，由折叠可得：AB=AF=2，BE=EF，∠AEB=∠AEF，∵点E是BC中点， 2 5BC  ， ∴BE=CE=EF= 5 ，∴∠EFC=∠ECF，AE=  222 5 3  ，∵∠BEF=∠AEB+ ∠AEF=∠EFC+∠ECF，∴∠ECF=∠AEB，∴cos ECF =cos AEB = 5 3 BE AE  ， 因此本题选C． 7. 【答案】D 【解析】如解图，设 AB 与 DC 的延长线交于点 G，过点 E 作 EF⊥AB 于点 F，过点 B 作 BH⊥ED 于点 H，则可得四边形 GDEF 为矩形．在 Rt△BCG 中，∵BC＝12，iBC＝BG CG ＝ 3 3 ，∴∠BCG＝30°，∴BG＝6，CG＝6 3，∴BF＝ FG－BG＝DE－BG＝15－6＝9，∵∠AEF＝α＝45°，∴AF＝EF＝DG＝CG＋CD ＝6 3＋20，∴AB＝BF＋AF＝9＋20＋6 3≈39.4(米)． 8. 【答案】D 【解析】如图，过点 A 作 AE⊥OC 于点 E，作 AF⊥OB 于点 F，∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°， ∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∴∠EAB=x，∴∠FBA=x，∵AB=a，AD=b，∴ FO=FB+BO=a•cosx+b•sinx， 故选 D． 二、填空题 9. 【答案】2 [解析] 过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D，如图所示． 设 AC＝x，则 AB＝ 2x. 在 Rt△ACD 中，AD＝AC·sinC＝ 2 2 x， CD＝AC·cosC＝ 2 2 x. 在 Rt△ABD 中，AB＝ 2x，AD＝ 2 2 x， ∴BD＝ AB2－AD2＝ 6 2 x. ∴BC＝BD＋CD＝ 6 2 x＋ 2 2 x＝ 6＋ 2， ∴x＝2. 10. 【答案】1.4 【解析】如解图，作 AD⊥MN 于点 D，由题意得，AD＝1 m， ∠ABD＝8°，∠ACD＝10°，∠ADC＝∠ADB＝90°，∴BD＝ AD tan8° ＝1 1 7 ＝7 m，CD ＝ AD tan10° ＝ 1 5 28 ＝28 5 ＝5.6 m，∴BC＝BD－CD＝7－5.6＝1.4 m. 11. 【答案】1.6 [解析] 如图，过点 A 作 AD⊥MN 于点 D. 由题意可得 AD＝1 m，∠ABD＝8°，∠ACD＝10°，∠ADC＝90°， ∴BD＝ AD tan8°≈ 1 0.14 ， CD＝ AD tan10°≈ 1 0.18 ， ∴BC＝BD－CD≈1.6(m)． 12. 【答案】11 【解析】∵∠A＝30°，∴PM＝1 2PA＝9 海里．∵∠B＝55°， sinB ＝PM PB ，∴0.8＝ 9 PB ，∴PB≈11 海里． 13. 【答案】10 3＋1 【解析】如解图，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为点 E，则 AE ＝CD＝10 m，在 Rt△AEB 中，BE＝AE·tan60°＝10× 3＝10 3 m，∴BC＝BE＋ EC＝BE＋AD＝(10 3＋1)m. 14. 【答案】 3