中考数学重难点突破专项练习——几何图形中的动点问例题解析及测试练习题

1 / 7 中考数学重难点突破专项练习——几何图形中的动点问 线段最值问题 例：(2017·安徽)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝5，AD＝3.动点 P 满足 S△PAB ＝1 3S 矩形 ABCD.则点 P 到 A，B 两点距离之和 PA＋PB 的最小值为（ ） A. 29 B. 34 C．5 2 D. 41 解析： 过点 P 作 EF∥AB，分别交 AD，BC 于点 E， F.以 EF 所在直线为对称轴，作点 A 关于 EF 的对称点 A′，连接 A′B 交 EF 于 点 P′，当点 P 与点 P′重合时，PA＋PB 的值最小 ∵S△PAB＝13S 矩形 ABCD， ∴12AB·AE＝13×AB·AD， 即 12×5×AE＝13×5×3， 解得 AE＝2， ∴A′E＝2， ∴A′A＝4. 在 Rt△ABA′中，由勾股定理，得 A′B＝42＋52＝41， 即 PA＋PB 的最小值为 41. 故选 D. 线段的最值问题常见模型 (1) 求线段最短： 1 据直线外一点到直线的所有线段中垂线段最短求解，通过构造直角三角形 用勾股定理计算； 2 动点引起的动直线问题，用动点横坐标列距离的关系式，根据函数的增减 2 / 7 性求最小值． 练习测试 1、(2018·贵港)如图，在菱形 ABCD 中，AC＝6 2，BD＝6，点 E 是 BC 边的中点， P，M 分别是 AC，AB 上的动点，连接 PE，PM，则 PE＋PM 的最小值是（ ） A．6 B．3 3 C．2 6 D．4.5 答案：C 2、如图所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD 是∠BAC 的平分线．若点 P，Q 分别是 AD 和 AC 上的动点，则 PC＋PQ 的最小值是 ( ) A.125 B．4 C.245 D．5 答案：C 3、(2018·合肥模拟)如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 AB 边的中点．点 F 在 AD 边上，点 M，N 分别是 CD，BC 边上的动点，若 AB＝AF＝2，AD＝3，则四边形 EFMN 周长的最小值是 ( ) A．2＋ 13 B．2 2＋2 5 C．5＋ 5 D．8 答案：C 4、(2020·安徽一模)如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，对角线 AC，BD 交于点 O， 3 / 7 ∠AOD＝120°，E 为 BD 上任意点，F 为 AE 中点，则 FO＋FB 的最小值为 ( ) A．2 7 B．2＋ 3 C．5 D．3 3 答案：A 5、如图，矩形 ABCD 中，AB＝2，AD＝3，点 E，F 分别为 AD，DC 边上的点，且 EF＝2，点 G 为 EF 的中点，点 P 为 BC 上一动点，则 PA＋PG 的最小值为 ( ) A．3 B．4 C．2 5 D．5 答案：B 探究存在性问题 例：(2019·安徽)如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 将对角线 AC 三等分，且 AC ＝12，点 P 在正方形的边上，则满足 PE＋PF＝9 的点 P 的个数是 ( ) A．0 B．4 C．6 D．8 解析： 4 / 7 如图，作点 F 关于 BC 的对称点 M，连接 FM 交 BC 于点 N，连接 EM，交 BC 于点 H. ∵点 E，F 将对角线 AC 三等分，且 AC＝12， ∴EC＝8，FC＝4＝AE， ∵点 M 与点 F 关于 BC 对称， ∴CF＝CM＝4，∠ACB＝∠BCM＝45°， ∴∠ACM＝90°， ∴EM＝ EC2＋CM2＝4 5. 则在线段 BC 上存在点 H 到点 E 和点 F 的距离之和最小，为 4 5＜9. 在点 H 右侧，当点 P 与点 C 重合时，则 PE＋PF＝12. ∴点 P 在 CH 上时，4 5≤PE＋PF≤12. 在点 H 左侧，当点 P 与点 B 重合时，BF＝ FN2＋BN2＝2 10. ∵AB＝BC，CF＝AE，∠BAE＝∠BCF， ∴△ABE≌△CBF(SAS)． ∴BE＝BF＝2 10. ∴PE＋PF＝4 10 . ∴点 P 在 BH 上时，4 5≤PE＋PF≤4 10. ∴在线段 BC 上点 H 的左右两边各有一个点 P，使 PE＋PF＝9，同理在线段 AB， AD，CD 上都存在两个点使 PE＋PF＝9. 即共有 8 个点 P 满足 PE＋PF＝9， 故选 D. 练习测试 1、如图，四边形 ABCD 中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝2 2，CD＝ 2，点 P 在四边形 ABCD 上，若 P 到 BD 的距离为3 2 ，则点 P 的个数为( ) 5 / 7 A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 2、如图，∠AOB＝120°，OP 平分∠AOB，且 OP＝2.若点 M，N 分别在 OA，OB 上， 且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN 有 ( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．3 个以上 答案：D 3、如图，矩形 ABCD 中，AB＝4 3，BC＝6.若 P 是矩形 ABCD 边上一动点，且使 得∠APB＝60°，则这样的点 P 有 ( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 答案：C 4、如图，在矩形 ABCD 中，AD＝2，点 P 是直线 AD 上一动点，若满足△PBC 是等 腰三角形的点 P 有且只有 3 个，则 AB 的长为 ( ) A．2 B. 3 C．2 或 3 D．4 或 2 3 6 / 7 答案：C 5、(2019·绥化)如图，在正方形 ABCD 中，E，F 是对角线 AC 上的两个动点，P 是正方形四边上的任意一点，且 AB＝4，EF＝2，设 AE＝x.当△PEF 是等腰三角 形时，下列关于 P 点个数的说法中，一定正确的是 ( ) ①当 x＝0(即 E，A 两点重合)时，P 点有 6 个 ②当 0＜x＜4 2－2 时，P 点最多有 9 个 ③当 P 点有 8 个时，x＝2 2－2 ④当△PEF 是等边三角形时，P 点有 4 个 A．①③ B．①④ C．②④ D．②③ 答案：B 6、如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝7，其中点 E 为 CD 的中点．有一动点 P， 从点 A 按 A→B→C→E 的顺序在矩形 ABCD 的边上移动，移动到点 E 停止，在此过 程中以点 A，P，E 三点为顶点的直角三角形的个数为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：C 7、如图，点 A，B 都在直线 l 的同一侧，若 P 为直线 l 上一点，且满足 PA＋PB 最短为点 A 到直线 l 的距离与点 B 到直线 l 的距离之和的 2 倍，则∠APB 的度数 为 ( ) A．90° B．100° C．120° D．150° 答案：C 7 / 7 8、(2017·内江)如图，已知直线 l1∥l2，l1，l2 之间的距离为 8，点 P 到直线 l1 的距离为 6，点 Q 到直线 l2 的距离为 4，PQ＝4 30，在直线 l1 上有一动点 A，直 线 l2 上有一动点 B，满足 AB⊥l2，且 PA＋AB＋BQ 最小，此时 PA＋BQ＝ 答案：16