福建省漳州市2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题

1 漳州市 2020-2021 学年下学期期末教学质量检测 高一数学试题 （考试时间：120 分钟 满分：150 分） 本试卷满分 150 分. 注意事项： 1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题 卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1. 用符号表示“点 A 在平面 外，直线l 在平面 内”，正确的是（ ） A. A  ，l  B. A  ，l  C. A  ，l  D. A  ，l  2. 若 0a b  ， c R ，则（ ） A. a c b c   B. a c b c   C. 1 1 a b  D. 2 2a b 3. 已知向量  ,2a t ，  2,1b  ，若 a b  ，则t 的值为（ ） A. -4 B. -1 C. 1 D. 4 4. 在 ABC△ 中，角 A ， B ，C 所对各边分别为 a ，b ， c ，且 2 2 2 2a b c bc   ，则 A  （ ） A. 135 B. 120 C. 60 D. 45 5. 已知等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，公比为 2，若 4 15S  ，则 6a 的值为（ ） A. 16 B. 32 C. 48 D. 64 6. 在 ABC△ 中，已知 sin sinA B ，则 ABC△ 的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 7. 已知圆锥 SO 被平行于底面的平面所截，形成的圆台的两个底面面积之比为 4:9，母线与底面的夹角是 60，圆台轴截面的面积为 20 3 ，则圆锥 SO 的体积为（ ） A. 48 3 B. 72 3 C. 144 3 D. 216 3 2 8. 已知 na 是公比为整数的等比数列，设 2 1 2n n n n a ab a   ，n N ，且 11 3072b  ，记数列 nb 的前 n 项 和为 nS ，若 2020nS  ，则 n 的最小值为（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合 题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分. 9. 设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 3 9S  ， 4 7a  ，则（ ） A. 2 nS n B. 22 3nS n n  C. 2 1na n  D. 3 5na n  10. 在 ABC△ 中，角 A ，B ，C 所对各边分别为 a ，b ，c ，若 1a  ， 2b  ， 30A  ，则 B （ ） A. 30 B. 45 C. 135 D. 150 11. 若 0a  ， 0b  ，且 2a b  ，则下列不等式恒成立的是（ ） A. 1ab  B. 1 1ab  C. 2 2 2a b  D. 1 1 2a b   12. 设 a ，b 为两条直线， ，  为两个平面，下列说法正确的是（ ） A. 若 / /a b ， a  ，则b  B. 若 a b ， / /b  ，则 / /a  C. 若 / /a b ， / /a  ，则 / /b  D. 若  ， a  ， b   ， a b ，则 a  三、填空题：本大题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 已知变量 x ， y 满足约束条件 0 0 1 0 x y x y        ，则 z x y  的最大值为______. 14. 已知数列 na 满足 2 1n n na a a   ， n N ， 1 1a  ， 2 2a  ，则 5a  ______. 15. ABC△ 为等腰直角三角形，且 2A   ， 4AB  ，若点 E 为 BC 的中点，则 AE AB   ______. 16. 正四面体 P BDE 和边长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 有公共顶点 B ， D ，则该正四面体 P BDE 的外接球的体积为______，线段 AP 长度的取值范围为_______. 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 3 17. 已知向量 a  与b  的夹角为 3  ，且 1a  ， 2b  . （1）求 a b  ； （2）求向量 a b  与向量 a  的夹角的余弦值. 18. 已知球O 的半径为 5. （1）求球 O 的表面积； （2）若球 O 有两个半径分别为 3 和 4 的平行截面，求这两个截面之间的距离. 19. 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 2 nS n n  ， n N . （1）求 na 的通项公式； （2）记 1 1 n n n c a a    ，求数列 nc 的前 n 项和 nT . 20. 在 ABC△ 中，角 A ， B ，C 所对各边分别为 a ，b ， c ，且 2 cos cosb c A a C  . （1）求 A ； （2）若 3a  ， 1c  ，求 ABC△ 的面积. 21. 如图所示，四边形 ABCD 是菱形， DE  平面 ABCD ， AF  平面 ABCD . （1）求证： AC 平面 BDE ； （2）求证：平面 / /ABF 平面 CDE ； （3）若 2DE DB  ， 3BCD   ，求点 D 到平面 BCE 的距离. 22. 在① 5CA CB    ，② ABC△ 的面积为3 3 ，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决 该问题： 在 ABC△ 中，角 A ， B ，C 所对各边分别为 a ，b ， c ， 已知 sin sin 1sin sin sin sin B C A C A B    ，______，且 1b  . 4 （1）求 ABC△ 的周长； （2）已知数列 na 为公差不为 0 的等差数列，数列 nb 为等比数列， 1 cos 1a A  ，且 1 1b a ， 2 3b a ， 3 7b a .若数列 nc 的前 n 项和为 nS ，且 1 1 3c  ， 1 1 1n n n n n ac b a a     ， 2n  .证明： 11 6nS  . 注：在横线上填上所选条件的序号，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 漳州市 2020-2021 学年下学期期末教学质量检测 高一数学参考答案 评分说明： 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制定相应的评分细则. 2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可 视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有 较严重的错误，就不再给分. 3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4. 只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1-5：CABDB 6-8：ABB 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合 题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分. 9. AC 10. BC 11. BCD 12. AD 三、填空题：本大题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 1 14. -2 15.8 16. 3 2  ， 6 2 6 2,2 2        四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 解：（1）因为向量 a  与b  的夹角为 3  ， 所以 cos ,a b a b a b       11 2 cos 1 2 13 2        ， 5 所以  2 a b a b      2 2 2 1 4 2 7a b a b           . （2）设向量 a b  与向量 a  的夹角为 ， 所以  cos a b a a b a             22 a a ba a b a b a a b a                    1 1 2 7 77 1    . 18. 解：（1）因为球 O 的半径为 5R  ，所以球O 的表面积为 24 100S R   . （2）设两个半径分别为 1 3r  和 2 4r  的平行截面的圆心分别为 1O 和 2O ， 所以 2 2 1 5 3 16 4OO     ， 所以 2 2 2 5 4 9 3OO     ， 所以 1 2 1 2 3 4 7O OO OOO      ， 或 11 2 2 4 3 1OOO OO O     ， 所以两个截面之间的距离为 1 或 7. 19. 解：（1）当 2n  时， 2 1nS n n   ， 所以  2 2 1 2n n na S S n n n n n       ， 因为当 1n  时， 1 1 2a S  ，适合上式， 所以 2na n ， n N . （2）由（1）可得  1 2 1na n   ， 6 所以 1 1 1 2 2( 1)n n n c a a n n     1 1 1 4 1n n      ， 所以 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 2 4 2 3 4 1nT n n                       1 114 1 4( 1) n n n        ， n N . 20. 解法一：（1）因为 ABC△ 中， 2 cos cosb c A a C  ， 由正弦定理可得， (2sin sin )cos sin cosB C A A C   ， 得 2sin cos sin cos cos sinB A A C A C     ， 得 2sin cos sinB A B  ， 因为sin 0B  ，所以 1cos 2A  ， 因为 0 A   ，所以 3A  . （2）由余弦定理得 2 2 2 2 22 cosa b c bc A b c bc      ， 因为 3a  ， 1c  ，所以 2 2 0b b   ，即  1 2 0b b   ， 所以 1b   或 2b  ， 因为 0b  ，所以 2b  ， 所以 ABC△ 的面积为 1 1 3 3sin 2 12 2 2 2bc A      . 解法二：（1）同解法一. （2）由正弦定理得 sin sin c a C A  ， 因为 3sin sin 3 2A   ， 3a  ， 1c  ，所以 sin 1sin 2 c AC a   ， 因为 a c ，所以 A C ，即 3C  ， 所以 6C  ， 所以 2B A C     ，所以 ABC△ 为直角三角形， 所以 ABC△ 的面积为 1 1 33 12 2 2ABCS ac    △ . 7 21. 证明：（1）因为四边形 ABCD 是菱形，所以 AC BD ， 因为 DE  平面 ABCD ， AC  平面 ABCD ， 所以 AC DE ， 因为 BD DE D ， BD  平面 BDE ， DE  平面 BDE ， 所以 AC 平面 BDE . （2）因为 DE  平面 ABCD ， AF  平面 ABCD ， 所以 / /DE AF ， 因为 DE  平面CDE ， AF  平面CDE ， 所以 / /AF 平面CDE ； 因为四边形 ABCD 是菱形， 所以 / /AB CD ， 因为CD  平面CDE ， AB  平面CDE ， 所以 / /AB 平面CDE ； 因为 AB AF A ， AB  平面 ABF ， AF  平面 ABF ， 所以平面 / /ABF 平面CDE . （3）因为CD BC ， 3BCD   ，所以 BCD△ 为等边三角形， 因为 2DB  ，所以 BCD△ 的面积为 3 4 34BCDS   △ ， 因为 DE  平面 ABCD ， 所以三棱锥 E BCD 的体积为 1 1 2 32 33 3 3E BCD BCDV DE S      △ ， 因为 DE  平面 ABCD ， BD  平面 BCD，CD  平面 BCD， 所以 DE BD ， DE CD ， 因为 2DE BD CD   ，所以 2 2BE CE  ， 8 所以 BCE△ 的面积为  21 2 2 2 1 72BCES     △ ， 设点 D 到平面 BCE 的距离为 d ， 所以 1 7 2 3 3 3 3E BCD D BCE BCEV V d S d     △ ， 所以 2 21 7d  ，所以点 D 到平面 BCE 的距离为 2 21 7 . 22. 解：（1）选择条件①，过程如下： 因为 sin sin 1sin sin sin sin B C A C A B    ，所以 1b c a c a b    ， 所以 2 2 2b c a bc   ， 所以 2 2 2 1cos 2 2 2 b c a bcA bc bc     ， 又因为 0 A   ，所以 3A  . 因为 5CA CB    ，所以 cos 5ab C   ， 所以 2 2 2 52 a b cab ab     ， 所以 2 2 2 10a b c    ， 因为 1b  ，代入 2 2 2b c a bc   和 2 2 2 10a b c    ， 得 2 2 1a c c   和 2 2 11a c   ，联立解得 133a  ， 12c  ， 所以 ABC△ 的周长为13 133 . （1）选择条件②，过程如下： 因为 sin sin 1sin sin sin sin B C A C A B    ，所以 1b c a c a b    ， 所以 2 2 2b c a bc   ， 所以 2 2 2 1cos 2 2 2 b c a bcA bc bc     ， 又因为 0 A   ，所以 3A  . 9 因为 ABC△ 的面积为 3 3 ，所以 1 1 3sin sin 3 32 2 3 4bc A c c   ， 所以 12c  ， 把 1b  ， 12c  代入 2 2 2b c a bc   得 133a  ， 所以 ABC△ 的周长为13 133 . （2）因为 1cos 2A  ，所以 1 2a  ，所以 1 2b  ， 设数列 na 的公差为 d ，数列 nb 的公比为 q ， 因为 2 3b a ， 3 7b a ，所以 2 2 2q d  ， 22 2 6q d  ， 联立以上两式消 d 得 2 3 2 0q q   ，所以 1q  或 2q  ， 因为数列 na 为公差不为 0，所以 0d  ，所以 1q  ，所以 2q  ， 1d  . 所以  1 1 1na a n d n     ， 1 1 2n n nb b q   ， 当 2n  时， 1 1 1 1 1 2 1 2 n n n n n n a nc b a a n n            ， 又因为 1 1 3c  适合上式，所以 1 1 2 1 2n n nc n n        ， n N . 故 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 4 1 2n n nS n n                       ， 令 2 1 2 2 2 2n n nT     ， 则 2 3 1 1 1 2 2 2 2 2n n nT     ， 作差得 2 3 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2n n n nT       ，所以 22 2n n nT   ， 设 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 1 2nK n n         1 1 2 2n    ， 所以 3 2 1 2 2 2n n n n nS T K n       ， 因为 n N ，所以 2 02n n   ，所以 3 1 2 2nS n    ， 因为 1 1 2 3n  ，所以 3 1 11 2 2 6n   ， 所以 11 6nS  .