中考数学二轮专题复习指导多边形与平行四边形课件

中考数学 §4.4　多边形与平行四边形 考点一　多边形 1.(2019云南,9,4分)一个十二边形的内角和等于 (　　) A.2 160°　 B.2 080°　 C.1 980°　 D.1 800° 答案    D　根据多边形的内角和公式(n-2)·180°,可得十二边形的内角和等于(12-2)×180°=1 800°.故选D. 2.(2020海南,14,4分)正六边形的一个外角等于　　　 度. 答案　60 解析　因为多边形的外角和是360°,正六边形的每个外角相等,所以正六边形的一个外角=  =60°.360° 6 3.(2020陕西,12,3分)如图,在正五边形ABCDE中,DM是边CD的延长线,连接BD,则∠BDM的度数是　 　 .   答案　144° 解析　在正五边形ABCDE中,∵∠C=108°,BC=CD, ∴∠CDB=  =36°, ∴∠BDM=180°-∠CDB=180°-36°=144°. 180°- 2 C 4.(2019陕西,12,3分)若正六边形的边长为3,则其较长的一条对角线长为　　　 . 答案　6 解析　连接正六边形的中心和各个顶点,可得6个小正三角形,显然正六边形较长的一条对角线长为小正 三角形边长的2倍,即较长的一条对角线长为6. 5.(2018山西,12,3分)图1是我国古代建筑中的一种窗格,其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消 融,形状无一定规则,代表一种自然和谐美.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形, 则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=　　　 度.   图1 图2   答案　360 解析　∵任意n(n≥3,n为整数)边形的外角和为360°,图中五条线段组成五边形,∴Ð1+Ð2+Ð3+Ð4+Ð5=3 60°. 考点二　平行四边形 1.(2020海南,11,3分)如图,在▱ ABCD中,AB=10,AD=15,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于 点F,BG⊥AE于点G,若BG=8,则△CEF的周长为 (　　)   A.16　 B.17　 C.24　 D.25 答案    A　∵AE平分∠BAD,∴∠DAE=∠BAE, 又∵AD∥BC,∴∠BEA=∠DAE,∴∠BEA=∠BAE, ∴AB=BE=10, ∵BG⊥AE,∴AE=2AG. 在Rt△ABG中,∵∠AGB=90°,AB=10,BG=8,∴AG=  =6,∴AE=2AG=12,∴△ABE的周长为10+10 +12=32. ∵BE=10,BC=AD=15,∴CE=BC-BE=15-10=5, ∴BE∶ CE=10∶ 5=2∶ 1. ∵AB∥FC,∴△ABE∽△FCE, ∴△ABE的周长∶ △CEF的周长=BE∶ CE=2∶ 1, ∴△CEF的周长=16,故选A. 2 2-AB BG 思路分析　首先依据AE平分∠BAD,AD∥BC,可得△ABE是等腰三角形,然后根据等腰三角形“三线合 一”的性质得出AE=2AG,利用勾股定理求得AG的长,即可求得AE的长;最后利用△ABE∽△FCE,根据 周长比等于相似比即可得到答案. 2.(2020陕西,8,3分)如图,在▱ ABCD中,AB=5,BC=8.E是边BC的中点,F是▱ ABCD内一点,且∠BFC=90°.连 接AF并延长,交CD于点G.若EF∥AB,则DG的长为(　　)   A. 　 B. 　 C.3　 D.25 2 3 2 答案    D　延长EF交AD于H.∵EF∥AB,AB∥CD,∴EH∥CD,∴∠AHF=∠D,AH=HD.∵∠DAG=∠HAF, ∴△AFH∽△AGD.∴ = . ∵∠BFC=90°,E为BC的中点,∴EF=BE=EC= BC=4.由题意易得四边形ABEH为平行四边形,∴AB=EH= 5,AH=BE= BC,∴HF=EH-EF=5-4=1.又AH=HD,∴AH= AD,∴DG=2FH=2.故选D.   AH AD FH DG 1 2 1 2 1 2 解后反思　①已知直角+斜边中点,联想到斜边上的中线等于斜边的一半.②由两直线平行可知角之间 的关系,联想到相似三角形. 3.(2018内蒙古呼和浩特,8,3分)顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个四边形,从①AB∥CD;②BC= AD;③∠A=∠C;④∠B=∠D四个条件中任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结 论的情况共有(　　) A.5种　 B.4种　 C.3种　 D.1种 答案    C　能够得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有①③、①④、③④,共三种.故选 C. 4.(2020湖北武汉,14,3分)在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中,有下面的问题:如图,AC是▱ ABCD的对角线,点E在AC上,AD=AE=BE,∠D=102°,则∠BAC的大小是　　　 .   答案　26° 解析　∵∠D=102°,四边形ABCD是平行四边形,∴∠DAB=180°-∠D=78°,AD=BC,∠DAC=∠ACB,∵AD =BE,∴BC=BE,∴∠CEB=∠ACB,∵AE=BE,∴∠EAB=∠EBA,∴∠EAB= ∠DAC,∴∠EAB= ∠DAB=26°.1 2 1 3 解题关键　根据四边形ABCD是平行四边形及AD =BE判断△CEB是等腰三角形是解答本题的关键. 5.(2019云南,6,3分)在平行四边形ABCD中,∠A=30°,AD=4 ,BD=4,则平行四边形ABCD的面积等于　 　　　 . 3 答案　16 或8  3 3 解析　①当∠ABD为锐角时,过D点作DE⊥AB于点E.如图1. ∵在Rt△ADE中,∠A=30°,AD=4 , ∴DE= AD= ×4  =2  , AE= AD= ×4  =6. 在Rt△BDE中,由勾股定理得BE=  =  =2, ∴AB=AE+BE=6+2=8, ∴S▱ ABCD=AB·DE=8×2 =16 . 3 1 2 1 2 3 3 3 2 3 2 3 2 2-BD DE 2 24 -(2 3) 3 3 图1 ②当∠ABD为钝角时,如图2,同理可得DE=2 ,AE=6,BE=2, AB=AE-BE=6-2=4, ∴S▱ ABCD=AB·DE=4×2 =8 . 综上所述,平行四边形ABCD的面积为16 或8 . 3 3 3 3 3 图2 方法点拨 本题的难点在于平行四边形形状的不确定性.根据平行四边形的面积公式,需要知道平行四 边形的一边长及该边上的高,高线可能在平行四边形的内部,也可能在外部,进而画出图形,其他问题便迎 刃而解了. 6.(2020宁夏,21,6分)如图,在▱ ABCD中,点E是边AD的中点,连接CE并延长交BA的延长线于点F.求证:AF =AB.   证明　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.∴∠F=∠ECD,∠FAE=∠D. (2分) 又∵E是AD的中点,∴AE=DE,∴△AEF≌ △DEC. (4分) ∴AF=CD,又∵AB=CD,∴AF=AB. (6分) 7.(2020广西北部湾经济区,21,8分)如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF. (1)求证:△ABC≌ △DEF; (2)连接AD,求证:四边形ABED是平行四边形.   证明　(1)∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF, 在△ABC和△DEF中,  ∴△ABC≌ △DEF(SSS). (2)由(1)可知△ABC≌ △DEF,∴∠B=∠DEF, ∴AB∥DE,又AB=DE, ∴四边形ABED是平行四边形. , , , AB DE AC DF BC EF      思路分析　(1)先证明BC=EF,再利用SSS证明△ABC≌ △DEF; (2)根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形ABED是平行四边形即可. 考点一　多边形 教师专用题组 1.(2019北京,3,2分)正十边形的外角和为 (　　) A.180°　 B.360°　 C.720°　 D.1 440° 答案    B　任何凸多边形的外角和都为360°.故选B. 2.(2019河北,1,3分)下列图形为正多边形的是 (　　)   答案    D　正多边形的各边相等,各角相等,故选D. 3.(2018北京,5,2分)若正多边形的一个外角是60°,则该正多边形的内角和为 (　　) A.360°　 B.540°　 C.720°　 D.900° 答案    C　由多边形外角和为360°,可知这个正多边形的边数为360°÷60°=6,由多边形内角和公式可知内 角和为180°×(6-2)=720°.故选C. 4.(2020福建,15,4分)如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的,则∠ABC等于　　　 度.   答案　30 解析　六边形花环由六个全等的直角三角形构成,故为正六边形,所以每个内角为  =120°. 所以∠ABC=120°-90°=30°. (6-2) 180° 6  5.(2020江苏南京,14,2分)如图,在边长为2 cm的正六边形ABCDEF中,点P在BC上,则△PEF的面积为　 　 cm2.   答案　2  3 解析　连接BF,BE,过点A作AT⊥BF于T, ∵六边形ABCDEF是正六边形, ∴CB∥EF,AB=AF,∠BAF=120°, ∴S△PEF=S△BEF. ∵AT⊥BF,AB=AF, ∴BT=FT,∠BAT=∠FAT=60°, ∴BT=FT=AB·sin 60°= (cm), ∴BF=2BT=2 (cm), 3 3 ∵∠AFE=120°,∠AFB=∠ABF=30°, ∴∠BFE=90°, ∴S△PEF=S△BEF= EF·BF= ×2×2  =2  (cm2).1 2 1 2 3 3 解后反思　本题考查正多边形中三角形面积的求解,解题的方法是运用正六边形对边平行的性质、等 积法,把要求的三角形面积转化为直角三角形面积,再根据锐角三角函数求得边长即可. 考点二　平行四边形 1.(2019广东广州,7,3分)如图,▱ ABCD中,AB=2,AD=4,对角线AC,BD相交于点O,且E,F,G,H分别是AO,BO, CO,DO的中点.则下列说法正确的是 (　　)   A.EH=HG B.四边形EFGH是平行四边形 C.AC⊥BD D.△ABO的面积是△EFO的面积的2倍 答案    B　∵点E,H,G分别为OA,OD,OC的中点,∴EH,HG分别是△OAD,△OCD的中位线,∴EH= AD, HG= CD,∵AD=4,CD=AB=2,∴EH=2,HG=1,∴EH≠HG,∴A选项错误; ∵E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,∴EF,FG,GH,HE分别是△OAB,△OBC,△OCD,△OAD的中位 线,∴EF= AB,FG= BC,GH= CD,HE= AD,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,∴EF= GH,HE=FG,∴四边形EFGH是平行四边形,∴B选项正确;无法根据已知判断出AC⊥BD,∴C选项错误;∵ E,F分别是OA,OB的中点,∴EF是△ABO的中位线,∴EF= AB,EF∥AB,∴△EFO∽△ABO,∴  =   = = ,∴△ABO的面积是△EFO的面积的4倍,∴D选项错误.故选B. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 EFO ABO S S   2EF AB      21 2      1 4 解题关键　本题主要考查了平行四边形的性质和判定,三角形中位线定理以及相似三角形的判定和性 质,解题关键是熟悉相关知识,利用数形结合思想解答. 2.(2018安徽,9,4分)▱ ABCD中,E,F是对角线BD上不同的两点.下列条件中,  得出四边形AECF一定为 平行四边形的是 (　　) A.BE=DF　 B.AE=CF C.AF∥CE　 D.∠BAE=∠DCF  不能 答案    B　当BE=DF时,如图1, 易证△AFD≌ △CEB,△ABE≌ △CDF, 从而AF=CE,AE=CF, 所以四边形AECF一定是平行四边形,故A不符合题意; 如图1,当AF∥CE时,∠AFE=∠CEF,从而∠AFD=∠CEB, 又因为∠ADF=∠CBE,AD=BC, 所以△AFD≌ △CEB,则AF=CE, 所以四边形AECF一定是平行四边形,故C不符合题意; 如图1,当∠BAE=∠DCF时,易证△ABE≌ △CDF, 可得∠AEB=∠CFD,AE=CF, 所以∠AEF=∠CFE,所以AE∥CF, 则四边形AECF一定是平行四边形,故D不符合题意; 如图2,其中AE=CF, 但显然四边形AECF不是平行四边形.故B符合题意. 思路分析　依据平行四边形的定义或判定定理进行判断.   　　   　　　　　　图1　　　　　　 　　　　　　图2 3.(2020天津,17,3分)如图,▱ ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上,点E在AB的延长线上,G为DE的中点, 连接CG.若AD=3,AB=CF=2,则CG的长为　　　 .   答案   3 2 解析　延长CG交AE于H,过C作CM⊥BE于M,如图所示,   ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,BC=AD=3,AB=CD=2,∴∠1=∠2, ∵G为DE的中点,∴DG=EG, 在△DCG和△EHG中,∵ 1 2, , 3 4, DG EG         ∴△DCG≌ △EHG(ASA),∴CG=HG,HE=CD=2, ∴CG= CH, ∵△BEF为等边三角形, ∴BE=BF=BC+CF=3+2=5,∠FBE=60°, ∵HE=CF=2,∴BH=BC,∴△BCH为等边三角形, ∴CH=BC=3.∴CG= CH= ×3= . 1 2 1 2 1 2 3 2 4.(2020内蒙古包头,18,3分)如图,在▱ ABCD中,AB=2,∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点E,若点E 恰好在边AD上,则BE2+CE2的值为　　　 .   答案　16 解析　∵四边形ABCD为平行四边形,∴CD=AB=2,BC=AD,AB∥CD,AD∥BC, ∴∠ABC+∠BCD=180°,∠AEB=∠EBC,∠DEC=∠BCE, ∵BE,CE分别平分∠ABC,∠BCD, ∴∠ABE=∠EBC,∠BCE=∠DCE, ∴∠ABE=∠AEB,∠DEC=∠DCE,∠BEC=90°, ∴AE=AB=2,DE=CD=2, ∴BC=AD=AE+DE=4, 在Rt△BEC中,BE2+CE2=BC2=42=16. 5.(2020陕西,18,5分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C.E是边BC上一点,且DE=DC.求证:AD=BE.   证明　∵DE=DC,∴∠DEC=∠C. (1分) ∵∠B=∠C,∴∠DEC=∠B.∴AB∥DE. (3分) ∵AD∥BC, ∴四边形ABED为平行四边形. (4分) ∴AD=BE. (5分) 方法总结　本题可通过证明四边形ABED是平行四边形来证明AD=BE.平行四边形的判定方法:1.定义: 两组对边分别平行的四边形是平行四边形;2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;3.两组对边 分别相等的四边形是平行四边形;4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形;5.对角线互相平分的四 边形是平行四边形. 6.(2020重庆A卷,21,10分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,分别过点A,C作AE⊥BD, CF⊥BD,垂足分别为E,F.AC平分∠DAE. (1)若∠AOE=50°,求∠ACB的度数; (2)求证:AE=CF.   解析　(1)∵AE⊥BD,∴∠AEO=90°, ∵∠AOE=50°,∴∠EAO=40°. 又∵AC平分∠DAE,∴∠OAD=∠EAO=40°. ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC. ∴∠ACB=∠OAD=40°. (5分) (2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=CO. ∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEO=∠CFO=90°. 在△AEO和△CFO中,   ∴△AEO≌ △CFO. ∴AE=CF. (10分) , , , AEO CFO EOA FOC AO CO         7.(2019安徽,20,10分)如图,点E在▱ ABCD内部,AF∥BE,DF∥CE. (1)求证:△BCE≌ △ADF; (2)设▱ ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求 的值.   S T 解析　(1)证明:如图1,延长FA与CB的延长线交于点M, ∵AD∥BC,∴∠FAD=∠M. 又∵AF∥BE,∴∠M=∠EBC,∴∠FAD=∠EBC. 同理得∠FDA=∠ECB. 在△BCE和△ADF中,∵∠EBC=∠FAD, BC=AD,∠ECB=∠FDA,∴△BCE≌ △ADF. (5分) (2)解法一:如图1,连接EF,由(1)知△BCE≌ △ADF, ∴AF=BE.又AF∥BE, 图1 ∴四边形ABEF为平行四边形, ∴S△AEF=S△AEB. 同理S△DEF=S△DEC,∴T=S△AEB+S△DEC. 又T=S△AED+S△ADF=S△AED+S△BCE, ∴S=S△AEB+S△DEC+S△AED+S△BCE=2T.∴ =2.  (10分) 解法二:∵△BCE≌ △ADF,∴T=S△AED+S△BCE. S T 如图2,过点E作HG⊥BC交BC于G,交AD于H,则EG⊥BC,EH⊥AD.于是,T=S△AED+S△BCE= BC·(EG+EH)=  BC·GH= S,即 =2.  (10分)   图2 方法总结　求不规则四边形的面积常将不规则四边形分割成三角形,求三角形的面积和或转化成求熟 悉易求的图形面积. 1 2 1 2 1 2 S T 8.(2017新疆乌鲁木齐,19,10分)如图,四边形ABCD是平行四边形,E、F是对角线BD上的两点,且BF=ED, 求证:AE∥CF.   证明　∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,且AD=BC, (3分) ∴∠ADE=∠CBF. 又∵ED=BF, ∴△AED≌ △CFB, (6分) ∴∠AED=∠CFB, (8分) ∴AE∥CF. (10分) A组　2018—2020年模拟·基础题组 时间:30分钟　分值:45分 一、选择题(每小题3分,共12分) 1.(2020云南红河州开远模拟,9)一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍,则它是 (　　) A.八边形　 B.七边形 C.六边形　 D.九边形 答案    A　设这个多边形是n边形,根据题意,得(n-2)·180=360×3,解得n=8,即它是八边形.故选A. 2.(2020浙江杭州萧山一模,6)如图,▱ ABCD的周长为22 cm,对角线AC、BD交于点O,过点O与AC垂直的 直线交边AD于点E,则△CDE的周长为 (　　)   A.8 cm　　B.9 cm　　C.10 cm　　D.11 cm 答案    D　∵四边形ABCD是平行四边形,对角线交点为O, ∴AB=CD,AD=BC,AO=CO, 又∵EO⊥AC,∴AE=CE. ∵▱ ABCD的周长为22 cm, ∴2(AD+CD)=22 cm.∴AD+CD=11 cm. ∴△CDE的周长=CE+DE+CD=AE+DE+CD=AD+CD=11 cm.故选D. 3.(2019天津和平一模,9)如图,将▱ ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在B‘处,若∠1=∠2=44°,则∠B为 ( 　)   A.66°　 B.104°　 C.114°　 D.124° 答案    C　∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC. 由折叠的性质得∠BAC=∠B'AC, ∴∠BAC=∠ACD=∠B'AC= ∠1=22°, ∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°. 故选C. 1 2 4.(2018新疆昌吉州阜康二模,6)如图,在▱ ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,若AE=20,CE=15,CF=7, AF=24,则BE的长为 (　　)   A.10　 B. 　 C.15　 D.  25 4 25 2 答案    C　∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴S▱ ABCD=AE·BC=AF·CD.∵AE=20,AF=24,∴BC∶ CD=AF∶ AE=24∶ 20= 6∶ 5.设BC=6x,则AD=6x,AB=CD=5x,BE=6x-15,DF=5x-7.在Rt△AEB中,AB2=AE2+BE2,即(5x)2=202+(6x-15)2 ①,在Rt△ADF中,AD2=AF2+DF2,即(6x)2=242+(5x-7)2②,由①-②解得x=5,则BE=6x-15=30-15=15.故选C. 二、填空题(每小题3分,共9分) 5.(2020吉林长春一模,12)如图,一束平行太阳光线照射到正五边形上,则∠1=　　　 .   答案　30° 解析　如图,过正五边形一个顶点A作光线的平行线, 则∠2=42°,∠1=∠3, ∵五边形是正五边形, ∴它的一个内角是108°, ∴∠3=180°-42°-108°=30°, ∴∠1=∠3=30°. 6.(2020湖北武汉青山备考,14)如图,在四边形ABCD中,AD=12,对角线AC,BD交于点O,∠ADB=90°,OD= OB=5,AC=26,则四边形ABCD的面积为　　　 .   答案　120 解析　∵∠ADB=90°,AD=12,OD=5, ∴AO=  =  =13. 又∵AC=26, ∴CO=AC-AO=13=AO,又∵DO=BO, ∴四边形ABCD是平行四边形, ∴平行四边形ABCD的面积=4S△ADO=4× ×12×5=120. 2 2AD OD 144 25 1 2 7.(2019内蒙古巴彦淖尔模拟,20)若在▱ ABCD中,∠A=30°,AB=9,AD=8,则S▱ ABCD=　　 . 答案　36 解析　如图,过点D作DE⊥AB于点E.   ∵∠A=30°,DE⊥AB,AD=8,∴DE= AD=4. ∴S▱ ABCD=BA·DE=9×4=36. 1 2 三、解答题(共24分) 8.(2020江西南昌二模,14)如图,在平行四边形AFCE中,D,B分别是EC,AF的中点.求证:BC=AD.   证明　∵四边形AFCE是平行四边形, ∴AB∥CD,AF=CE, 又∵D,B分别是EC,AF的中点, ∴AB= AF,CD= EC, ∴AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形, 1 2 1 2 ∴BC=AD. 9.(2020甘肃兰州一诊,20)如图,在▱ ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE=CF,BE=6,求DF的长度.   解析　∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD, ∴∠BAE=∠DCF. 在△ABE和△CDF中,  ∴△ABE≌ △CDF(SAS), ∴DF=BE=6. , , , AB CD BAE DCF AE CF       10.(2019云南昆明模拟,16)如图,在▱ ABCD中, = ,连接AE并延长交BC的延长线于点F. (1)求证:△ADE≌ △FCE; (2)若AB=2FC,∠F=38°,求∠B的度数.   DE DC 1 2 解析　(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC, ∴∠D=∠ECF. ∵ = , ∴DE=CE. 又∠AED=∠FEC, ∴△ADE≌ △FCE(ASA). (2)由(1)中结论可得AD=FC. ∵AD=BC,AB=2FC, ∴AB=FB, ∴∠BAF=∠F=38°, ∴∠B=180°-2×38°=104°. DE DC 1 2 B组　2018—2020年模拟·提升题组 时间:30分钟　分值:45分 一、选择题(每小题3分,共9分) 1.(2019天津滨海新区一模,8)一个圆的内接正六边形的边长为4,则该圆的内接正方形的边长为 (　　) A.2  　 B.4  　 C.4 　 D.82 2 3 答案    B　∵圆内接正六边形的边长是4, ∴圆的半径为4.∴圆的直径为8. ∴圆的内接正方形的对角线长为圆的直径,等于8. ∴圆的内接正方形的边长是4  . 故选B. 2 2.(2020云南师大附中一模,13)如图,若干全等正五边形排成环状.图中所示的是前3个正五边形,要完成这 一圆环还需多少个正五边形 (　　)   A.6个　 B.7个　 C.8个　 D.9个 答案    B　因为五边形的内角和为(5-2)×180°=540°, 所以正五边形的每一个内角为540°÷5=108°, 如图,延长正五边形的两边相交于点O,则∠1=360°-108°×3=360°-324°=36°,360°÷36°=10, ∵已经有3个正五边形, ∴完成这一圆环还需10-3=7个正五边形. 故选B. 3.(2019上海长宁二模,6)已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,下列条件中,不能判定四边形 ABCD是平行四边形的是 (　　) A.∠ADB=∠CBD,AB∥CD B.∠ADB=∠CBD,∠DAB=∠BCD C.∠DAB=∠BCD,AB=CD D.∠ABD=∠CDB,OA=OC 答案    C　∵∠ADB=∠CBD,∴AD∥BC,又∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,故A选项不符合题 意; ∵∠ADB=∠CBD,∴AD∥BC,∴∠BAD+∠ABC=∠ADC+∠BCD=180°,∵∠DAB=∠BCD,∴∠ABC=∠ ADC,∴四边形ABCD是平行四边形,故B选项不符合题意; 由∠DAB=∠BCD,AB=CD不能判定四边形ABCD是平行四边形,故C选项符合题意; ∵∠ABD=∠CDB,∠AOB=∠COD,OA=OC,∴△AOB≌ △COD(AAS),∴OB=OD,又OA=OC,∴四边形 ABCD为平行四边形,故D选项不符合题意.故选C. 二、填空题(每小题3分,共12分) 4.(2020四川巴中5月模拟,17)如图,在平行四边形ABCD中,AB=2,BC=5,∠BCD的平分线交AD于点F,交BA 的延长线于点E,则AE的长为　　　 .   答案　3 解析　∵在平行四边形ABCD中,AB=2,BC=5, ∴CD=AB=2,AD=BC=5,AD∥BC, ∴∠DFC=∠FCB. ∵CE平分∠DCB,∴∠DCF=∠BCF, ∴∠DFC=∠DCF,∴DC=DF=2, ∴AF=AD-DF=5-2=3. ∵AB∥CD,∴∠E=∠DCF, 又∵∠EFA=∠DFC,∠DFC=∠DCF, ∴∠AEF=∠EFA,∴AE=AF=3. 5.(2020陕西西安西北工大附中二模,12)已知正六边形的周长为12,则这个正六边形的边心距是　　 . 答案   3 解析　如图,连接OA、OB,过点O作OG⊥AB于点G. 在Rt△AOG中,易知OA=AB=2,∠AOG=30°, ∴OG=OA·cos 30°=2× =  . 故这个正六边形的边心距为 . 3 2 3 3 6.(2019上海嘉定二模,16)如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点O的线段EF与AD、BC 分别交于点E、F,如果AB=4,BC=5,OE= ,那么四边形EFCD的周长为　　　 .   3 2 答案　12 解析　∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AB=CD=4,AD=BC=5,AO=OC,∠OAD=∠OCF,又∠AOE=∠COF,∴△OAE≌ △OCF, ∴OF=OE=1.5,CF=AE, ∴四边形EFCD的周长=ED+CD+CF+OF+OE =ED+AE+CD+OE+OF =AD+CD+OE+OF =12. 7.(2019上海长宁一模,18)点P在平行四边形ABCD的边BC上,将△ABP沿直线AP翻折,点B的对应点B'恰 好落在边AD的垂直平分线上,如果AB=5,AD=8,tan B= ,那么BP的长为　　　 .4 3 答案  或725 7 解析　①如图1,过A作AH⊥BC于H,连接DB', 设BB'与AP交于E,AD的垂直平分线交AD于M,交BC于N. ∵tan B= = , ∴设AH=4x,BH=3x(x>0), ∴AB=  =5x=5, ∴x=1, ∴AH=4,BH=3. ∵将△ABP沿直线AP翻折,点B的对应点B'恰好落在边AD的垂直平分线MN上, ∴AB'=AB=5,AM=DM= AD=4,∠AMN=∠HNM=90°. 又AH=4, ∴四边形AHNM是正方形,∴HN=MN=4, ∴BN=7,MB'=  =3, AH BH 4 3 2 2AH BH 1 2 2 2' -AB AM 则B'N=1,∴BB'=  =5  , ∴BE= BB'= . ∵∠BEP=∠BNB'=90°,∠PBE=∠B'BN, ∴△BPE∽△BB'N, ∴ = ,即  = ,∴BP= . 2 2'BN BN 2 1 2 5 2 2 ' PB BB BE BN 5 2 PB 5 2 2 7 25 7 ②如图2,由①知,MN=4,MB'=3,BN=7, ∴NB=NB',∴点N在BB'的垂直平分线上. ∵将△ABP沿直线AP翻折,点B的对应点B'恰好落在边AD的垂直平分线上,∴点P也在BB'的垂直平分线 上,∴点P与N重合,∴BP=BN=7. 综上所述,BP的长为 或7.25 7 三、解答题(共24分) 8.(2019上海虹口二模,23)如图,在▱ ABCD中,AC与BD相交于点O,过点B作BE∥AC,连接OE交BC于点F, 点F为BC的中点. (1)求证:四边形AOEB是平行四边形; (2)如果∠OBC=∠E,求证:BO·OC=AB·FC.   证明　(1)∵BE∥AC,∴ = . ∵点F为BC的中点,∴CF=BF,∴OC=BE. ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,∴AO=BE. ∵BE∥AC,∴四边形AOEB是平行四边形. (2)∵四边形AOEB是平行四边形,∴∠BAO=∠E. ∵∠OBC=∠E,∴∠BAO=∠OBC. ∵∠ACB=∠BCO,∴△CBA∽△COB,∴ = . ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AC=2OC. ∵点F为BC的中点,∴BC=2FC, ∴ = ,即BO·OC=AB·FC. AB BO AC BC AB BO OC FC OC BE CF BF 9.(2020上海奉贤二模,22)如图1,由于四边形具有不稳定性,因此在同一平面推矩形框架的边可以改变它 的形状(推移过程中边的长度保持不变).已知矩形ABCD,AB=4 cm,AD=3 cm,固定边AB,推边AD,使得点D 落在点E处,点C落在点F处. (1)如图2,如果∠DAE=30°,求点E到边AB的距离; (2)如图3,如果点A、E、C在同一条直线上,求四边形ABFE的面积.   图1　　　　　　　　图2　　　　　　　　图3　　 解析　(1)如图①,过点E作EH⊥AB,垂足为H, ∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB=90°, ∴AD∥EH,∴∠DAE=∠AEH. ∵∠DAE=30°,∴∠AEH=30°. 在Rt△AEH中,∠AHE=90°,AE=3 cm, ∴EH=AE·cos∠AEH=3× = (cm), 即点E到边AB的距离是  cm. 3 2 3 3 2 3 3 2   图①　　　　 　　　　　　图② (2)如图②,过点E作EH⊥AB,垂足为H. ∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC, ∵AD=3 cm,∴BC=3 cm. 在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=4 cm, ∴AC=  =5 cm.2 2AB BC 由作图及已知得EH∥BC,∴ =  , ∵AE=AD=3 cm,∴ = ,∴EH=  cm. ∵推移过程中边的长度保持不变, ∴AD=AE=BF,AB=DC=EF, ∴四边形ABFE是平行四边形, ∴S平行四边形ABFE=AB·EH=4× = (cm2). AE AC EH BC 3 5 3 EH 9 5 9 5 36 5