2020—2021学年华东师大版八年级下册数学课件19.3正方形第2课时正方形的判定

HS版八年级下 19．3　正方形 第19章 矩形、菱形与正方形 第2课时　正方形的判定 习题链接 4 提示：点击 进入习题 答案显示 6 7 1 2 3 5B D B B C A 8 B B 习题链接 提示：点击 进入习题 答案显示 10 11 9 C 见习题 见习题 12 见习题 13 见习题 夯实基础 1．【2020•绵阳】如图是以正方形的边长为直径，在正方 形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有(　　) A．2条 B．4条 C．6条 D．8条 B 夯实基础 B 夯实基础 夯实基础 【点拨】如图，过点E作EO⊥CD于点O，EH⊥BC于 点H，显然四边形EHCO为正方形， ∴EH＝EO，∠HEO＝90°. ∵∠GEF＝∠HEO＝90°， ∴∠OEN＝∠MEH. 又∵∠EHM＝∠EON＝90°，∴△EHM≌△EON. ∴S△EHM＝S△EON.∴S四边形EMCN＝S正方形EHCO. 夯实基础 【答案】D 夯实基础 *4.【中考•台州】小红用次数最少的对折方法验证了一条 四边形丝巾的形状是正方形，她对折了(　　) A．1次 B．2次 C．3次 D．4次 夯实基础 【点拨】先沿对角线对折，看两侧的三角形是否重 合，再沿四边形一组对边的中点连线对折，看两个 四边形是否重合，如果两次对折后都能重合，那么 四边形丝巾的形状是正方形．故选B. 【答案】B 夯实基础 5．【中考•巴中】下列命题是真命题的是(　　) A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．四边相等的平行四边形是正方形 C 夯实基础 6．【2020•台州】下面是关于某个四边形的三个结论：① 它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩 形．下列推理过程正确的是(　　) A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③ C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出② A 夯实基础 7．【2020·绍兴】如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点 E从点A出发沿AB向点B移动，移动到点B停止，延长 EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为(　 　) 夯实基础 A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→菱形→正方形→矩形 【答案】B 夯实基础 8．【2020·襄阳】已知四边形ABCD是平行四边形，AC， BD相交于点O，下列结论错误的是(　　) A．OA＝OC，OB＝OD B．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形 C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形 D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形 B 夯实基础 9．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，假设有下 列条件：①AB＝AD；　②∠DAB＝90°； ③AO＝CO，BO＝DO；　　④四边形ABCD为矩形； ⑤四边形ABCD为菱形；　⑥四边形ABCD为正方形． 则下列推理不成立的是(　　) A．①④ ⇒ ⑥ B．①③ ⇒ ⑤ C．①② ⇒ ⑥ D．②③ ⇒ ④ 夯实基础 【点拨】本题易将特殊四边形的判定相混淆导致出 错，选项C的四边形可以是一个如图所示的梯形，不 一定是正方形． 【答案】C 整合方法 10．如图，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形 ABCD的边AB，CD，DA上，连结CF. 整合方法 (1)求证：∠HEA＝∠CGF. 证明：连结GE，∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠CGE. ∵四边形EFGH是菱形，∴GF∥HE， ∴∠HEG＝∠FGE， ∴∠AEG－∠HEG＝∠CGE－∠FGE， ∴∠HEA＝∠CGF. 整合方法 (2)当AH＝DG时，求证：菱形EFGH为正方形． 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°. ∵四边形EFGH是菱形，∴HG＝HE. 整合方法 又∵∠DHG＋∠DGH＝90°， ∴∠DHG＋∠AHE＝90°， ∴∠GHE＝90°， ∴菱形EFGH为正方形． 整合方法 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过 点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F. 整合方法 (1)求证：△BED≌△CFD. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵D是BC的中点，∴BD＝CD. ∴△BED≌△CFD. 整合方法 (2)若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形． 解：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED＝∠AFD＝90°. 又∵∠A＝90°，∴四边形DFAE为矩形． 由(1)知，△BED≌△CFD， ∴DE＝DF.∴四边形DFAE是正方形． 整合方法 整合方法 (1)求证：四边形ABCD是正方形； 证明：∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD. ∴平行四边形ABCD是矩形． 整合方法 (2)若H是边AB上一点(H与A，B不重合)，连接DH，将线 段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，过点E分 别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为F，G.设四边 形BGEF的面积为S1，以HB，BC为邻边的矩形的面积 为S2，且S1＝S2.当AB＝2时，求AH的长． 整合方法 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB＝∠ABC＝∠CBG＝90°， AB＝AD＝BC＝2. ∵EF⊥BC，EG⊥AG， ∴∠G＝∠EFB＝∠FBG＝90°. ∴四边形BGEF是矩形． 整合方法 ∵将线段DH绕点H顺时针旋转90°得到线段HE， ∴∠DHE＝90°，DH＝HE. 又∵∠DAB＝90°， ∴∠ADH＋∠AHD＝∠AHD＋∠EHG＝90°. ∴∠ADH＝∠EHG. 整合方法 又∵∠DAH＝∠G＝90°，DH＝HE， ∴△ADH≌△GHE.∴AD＝HG，AH＝EG. ∵AB＝AD，∴AB＝HG. ∴AH＝BG.∴BG＝EG. ∴四边形BGEF是正方形． 整合方法 探究培优 13．【中考•天水】如图①，对角线互相垂直的四边形叫 做垂美四边形． 探究培优 (1)概念理解：如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD， CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说 明理由． 探究培优 解：四边形ABCD是垂美四边形． 理由：连结BD，AC.∵AB＝AD， ∴点A在线段BD的垂直平分线上． ∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线， ∴AC⊥BD，∴四边形ABCD是垂美四边形． 探究培优 (2)性质探究：如图①，四边形ABCD的对角线AC，BD交 于点O，AC⊥BD.试证明：AB2＋CD2＝AD2＋BC2. 证明：∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝ ∠BOC＝∠COD＝90°. 探究培优 由勾股定理，得AB2＋CD2＝AO2＋BO2＋CO2＋DO2， AD2＋BC2＝AO2＋DO2＋BO2＋CO2， ∴AB2＋CD2＝AD2＋BC2. 探究培优 (3)解决问题：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜 边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结 CE，BG，GE.已知AC＝4，AB＝5， 求GE的长． 探究培优 解：如图，连结CG，BE，设CE与AB交于点M. ∵∠CAG＝∠BAE＝90°， ∴∠CAG＋∠BAC＝∠BAE＋∠BAC， 即∠GAB＝∠CAE. 探究培优 探究培优 又∵∠AEC＋∠AME＝90°，∠AME＝∠BMC， ∴∠ABG＋∠BMC＝90°， ∴CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形． 由(2)得CG2＋BE2＝CB2＋GE2. 探究培优