六年级上册数学讲义寒假专题——数理推理苏教版含答案

年 级 六年级 学 科 数学 版 本 苏教版 内容标题 寒假专题——数理推理 编稿老师 崔小兵 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 寒假专题——数理推理 二. 学法指导 小学数学竞赛中，有一类题目，需要以数值为依据，借助于估算和计算进行分析、判断、 推理，这类问题我们称它为数理推理。 解决这类问题常用的思考方法有： 1、把题目的要求，把各种可能的情况一一列举出来，然后把不符合条件的情况逐步淘汰。 2、假设一个数值或者计算一个数值，然后利用条件推理，如果推理出自相矛盾的结论时， 再进行调整。 三. 教学要点 例 1、一次数学竞赛，小王做对的题目占题目总数的 3 2 ，小李做错了 5 题，两人都做错的 题数占题目总数的 4 1 ，小王做对了多少题？ 分析与解：“题目总数的 3 2 ”和“题目总数的 4 1 ”都应该是整数，因此题目总数既是 3 的倍数，又是 4 的倍数，也就是 12 的倍数，可能是 12、24、36 等等，又因为小李做错了 5 题，所以两人都做错的题最多为 5 题，而“两人都做错的题数占题目总数的 4 1 ”，因此可知 题目总数最多为 20，那就只能是 12 题。 12× 3 2 ＝8（题） 答：小王做对了 8 题。 例 2、李老师在黑板上写了若干个从 1 开始的连续自然数 1、2、3……，后来擦掉其中一 个，剩下数的平均数是 10.8，擦掉的这个自然数是多少？ 分析与解：剩下数的平均数×剩下数的个数＝剩下数的总和，因为剩下的数的总和肯定 是一个整数，剩下的数的平均数是 10.8，只有乘 5 的倍数积才能是一个整数，所以剩下数的 个数肯定是 5 的倍数，原来的数的个数肯定是 5 的倍数多 1，又因为原来的数的个位应接近 10.8×2＝21.6，因此原来有 21 个数，剩下 20 个数，擦掉的数应为： （1＋2＋3＋……＋21）－10.8×20＝231－216＝15 答：擦掉的这个自然数是 15。 例 3、某人 2004 年时的年龄正好是他出生年份的四个数字之和，2004 年时他多少岁？ 分析与解：可分以下几种情况来思考： （1）设某人出生年份是 18AB 年，2004－18AB＞100，而 1＋8＋A＋B＜100，所以不 可能在 18AB 年出生。 （2）设某人出生年份是 19AB 年。此人的岁数可以表示为 2004－19AB＝2004－1900 －10A－B＝104－B－10A，因为这时的岁数与他出生年份的四个数字之和相等，所以 104 －B－10A＝1＋9＋A＋B，化简得 11A＋2B＝94，由此式可以判断出 A 是一个偶数，并且 又因为 B 是一位数，最多是 9，2B 最多是 18，11A 最少是 94－18＝76，故 A≥7，所以 A 只能等于 8。B＝（194－11×8）÷2＝3，出生年份就是 1983 年，2004 年的年龄为 2004 －1983＝21（岁）。 （3）设某人出生在 200A 年。此人的岁数可以表示为 2004－200A＝4－A，因为 4－A ＝2＋0＋0＋A，所以 A＝1，出生年份就是 2001 年，2004 年的年龄为 2004－2001＝3（岁）。 答：2004 年时他 3 岁或 21 岁。 例 4、五名选手在一次数学竞赛中共得 404 分，每人得分互不相等，并且都是整数，其中 得分最高的选手得 90 分，那么得分最少的选手至少得多少分，至多得多少分？ 分析与解：（1）要使得分最低的选手的得分尽可能地少，在五名选手总分一定的条件 下，应该使前四名的分数尽可能多。第一名得分是 90 分，当第二、三、四名依次得 89 分、 88 分、87 分时，第五名得分最少，是 404－（90＋89＋88＋87）= 50（分）。 （2）要使得分最低的选手的得分尽可能多，应该使第二、三、四名的分数尽可能少， 并尽可能接近于第五名，后 4 名共得分 404－90＝314（分），平均每人得分 314÷4＝78.5 （分），可知第五名最多 77 分，第四、三、二名的得分依次是 78 分、79 分、80 分。 答：得分最少的选手至少 50 分，至多 77 分。 例 5、有一个自然数，它与 168 的和恰好等于某个数的平方；它与 100 的和恰好等于另一 个数的平方，这个数是多少？ 分析与解：设这个自然数与 168 的和恰好等于 a²，它与 100 的和恰好等于 b²。很明显 a²－b²＝168－100＝68，（a＋b）（a－b）=68，而 a 和 b 无论是奇数还是偶数，（a＋b）与（a －b）奇偶性肯定相同，即要么同奇、要么同偶，因为 68＝1×68＝2×34＝4×17，只有 2 和 34 同偶，所以 a＋b＝34，a－b＝2，根据和差问题解决方法：a＝（34＋2）÷2＝18，b ＝（34－2）÷2＝16。这个数就是 16²－100＝156 或 18²－168＝156。 答：这个数是 156。 例 6、共有四人进行跳远、百米、铅球、跳高四项比赛，规定每个单项第一名记 5 分，单 项第二名记 3 分，单项第三名记 2 分，单项第四名记 1 分。每一项比赛中四人得分互不相同。 总分第一名共获 17 分，其中跳高得分低于其他项得分。总分第三名获 11 分，其中跳高得分 高于其他项得分。问总分第二名的铅球这项的得分是多少？ 分析与解：总分第一名共获 17 分，各项得分只可能是：5＋5＋5＋2，又跳高得分低于 其他项得分，所以唯一的 2 分应该是跳高的得分，总分第三名获 11 分，各项得分可能是：5 ＋3＋2＋1 或 3＋3＋3＋2，但要求跳高得分高于其他项得分，所以各项的得分情况只能是 5 ＋3＋2＋1，这样跳高得 5 分；总分第二名的得分在 11 分和 17 分之间，第二名单项成绩只 可能是 3 分，2 分或 1 分，所以第二名同学的得分只能是 3＋3＋3＋3，铅球这项的得分也就 是 3 分。 答：第二名的铅球这项的得分是 3 分。 【模拟试题】（答题时间：25 分钟） 1、张老师在黑板上写了从 1 开始的连续自然数 1、2、3……33，后来擦掉其中一个，剩 下数的平均数是 16.875，擦掉的这个自然数是多少？ 2、某人 2005 年时的年龄正好是他出生年份的四个数字之和，2005 年时他多少岁？ 3、五名选手在一次数学竞赛中共得 414 分，每人得分互不相等，并且都是整数，其中得 分最高的选手得 92 分，那么最低得分至少是多少分，至多得多少分？ 4、有一个自然数，它与 90 的和恰好等于某个数的平方；它与 38 的和恰好等于另一个数 的平方，这个数是多少？ 5、甲、乙、丙三人进行一场田径比赛，比赛项目有 100 米、400 米、800 米、跳远、跳高 五项，已知每项第一、第二、第三各得 5 分、2 分、1 分；乙在 800 米赛跑得第一名。比赛 结束后，乙、丙各得 9 分。100 米比赛的前三名分别是谁？ 【试题答案】 1、张老师在黑板上写了从 1 开始的连续自然数 1、2、3……33，后来擦掉其中一个，剩 下数的平均数是 16.875，擦掉的这个自然数是多少？ （1＋2＋3＋……＋33）－16.875×32＝21 2、某人 2005 年时的年龄正好是他出生年份的四个数字之和，2005 年时他多少岁？ 他应该是 1979 年出生，2005 年他应该是 2005－1979＝26（岁） 3、五名选手在一次数学竞赛中共得 414 分，每人得分互不相等，并且都是整数，其中得 分最高的选手得 92 分，那么最低得分至少是多少分，至多得多少分？ 至少得分：414－92－91－90－89＝52（分） 至多得分：（414－92）÷4＝80.5（分） 至多得 79 分 4、有一个自然数，它与 90 的和恰好等于某个数的平方；它与 38 的和恰好等于另一个数 的平方，这个数是多少？ 90－38＝52 52＝1×52＝2×26＝4×13 （2＋26）÷2＝14 14²－90＝106 5、甲、乙、丙三人进行一场田径比赛，比赛项目有 100 米、400 米、800 米、跳远、跳高 五项，已知每项第一、第二、第三各得 5 分、2 分、1 分；乙在 800 米赛跑得第一名。比赛 结束后，乙、丙各得 9 分。100 米比赛的前三名分别是谁？ 乙得分情况是：5＋1＋1＋1＋1 丙得分情况是：1＋2＋2＋2＋2 甲得分情况是：2＋5＋5＋5＋5 100 米比赛的前三名分别是 甲、丙、乙