华东师大版八年级数学下册第17章（17.4反比例函数）培优试题与简答

2020—2021 学年八年级数学华东师大版下册第 17 章（17.4 反比例函 数）培优试题与简答 一．选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 1．已知 x 与 y 成反比例， z 与 x 成正比例，则 y 与 z 的关系是 ( ) A．成正比例 B．成反比例 C．既成正比例也成反比例 D．以上都不是 2．正比例函数 2y x 和反比例函数 2y x  的一个交点为 (1,2) ，则另一个交点为 ( ) A． ( 1, 2)  B． ( 2, 1)  C． (1,2) D． (2,1) 3．关于 x 的函数 ( 1)y k x  和 ( 0)ky kx   ，它们在同一坐标系内的图象大致是 ( ) A． B． C． D． 4．对于反比例函数 2y x   ，下列说法正确的是 ( ) A．图象经过点 ( 2, 1)  B．已知点 1( 2, )P y 和点 2(6, )Q y ，则 1 2y y C．其图象既是轴对称图形也是中心对称图形 D．当 0x  时， y 随 x 的增大而减小 5．已知反比例函数 2 ky x  的图象在第一、三象限内，则 (k ) A． 2k  B． 2k… C． 2k  D． 2k„ 6．在平面直角坐标系 xOy 中， A 为双曲线 6y x   上一点，点 B 的坐标为 (4,0) ．若 AOB 的面积为 6，则点 A 的坐标为 ( ) A． 3( 4, )2  B． 3(4, )2  C． ( 2,3) 或 (2, 3) D． ( 3,2) 或 (3, 2) 7．若点 1(A x ， 1) ， 2(B x ， 2) ， 3(C x ， 3) 都在反比例函数 6y x  的图象上，则 1x ， 2x ， 3x 的大小 关系是 ( ) A． 1 2 3x x x  B． 1 3 2x x x  C． 2 3 1x x x  D． 3 1 2x x x  8．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数 1 (y kx b k  、b 是常数，且 0)k  与反比例函数 2 (cy cx  是常数，且 0)c  的图象相交于 ( 3, 2)A   ， (2, )B m 两点，则不等式 1 2y y 的解集是 ( ) A． 3 2x   B． 3x   或 2x  C． 3 0x   或 2x  D． 0 2x  9．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的 体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：则可以反映 y 与 x 之间的关系的式子是 ( ) 体积 ( )x mL 100 80 60 40 20 压强 ( )y kPa 60 75 100 150 300 A． 3000y x B． 6000y x C． 3000y x  D． 6000y x  10．一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间 ( )t h 与行驶速度 ( / )v km h 满足函数关系： kt v  ，其图象 为如图所示的一段曲线，且端点为 (40,1)A 和 ( ,0.5)B m ，若行驶速度不得超过 60( / )km h ，则汽车通 过该路段最少需要时间为 ( ) A． 2 3 分 B．40 分 C．60 分 D． 200 3 分 二．填空题（共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．已知： 2 5( 2) my m x   是反比例函数，则 m  ． 12．反比例函数 2 ( 0)my xx   的图象如图所示，则 m 的取值范围为 ． 第 8 题图 第 10 题图 13．一次函数 y ax b  和反比例函数 by x  在同一坐标系内的大致图象如图所示，则 a 0， b 0． 14．如图是三个反比例函数的图象的分支，其中 1k ， 2k ， 3k 的大小关系是 ． 15．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 2 ( 0)y xx   的图象经过点 A ， B ， AC x 轴于点 C ， BD y 轴于点 D ，连接OA ， OB ，则 OAC 与 OBD 的面积之和为 ． 16．点 1(2, )A y ， 2(3, )B y 是反比例函数 6y x   图象上的两点，那么 1y ， 2y 的大小关系是 1y 2y ．（填“  ”，“  ”或“  ” ) 17．如图，直接写出 1 2y y 且 0x  时的解集为 ． 18．如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点 O 左侧固定位置 B 处悬挂重物 A ，在中点 O 右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点 O 的距离 ( )x cm ，观察弹簧 秤的示数 ( )y N 的变化情况．实验数据记录如下： 第 12 题图 第 13 题图 第 14 题图 第 15 题图 第 17 题图 第 18 题图 ( ) 10x cm  15 20 25 30 ( ) 30y N  20 15 12 10 猜测 y 与 x 之间的函数关系，并求出函数关系式为 ． 三．解答题（共 6 小题，满分 56 分，其中 19 题 6 分，20 题 8 分，21、22、23 每小题 10 分，24 题 12 分） 19．已知点 ( , )p m n 是反比例函数 2y x  图象上一动点，且 m n ，将代数式 2 2 2 1 1( ) m n m n m n m n     化简并求值． 20．如图，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点．已知反比例函数 ( 0)ky kx   的图象经过点 (2, )A m ，过点 A 作 AB x 轴于点 B ，且 AOB 的面积为 5． （1）求 k 和 m 的值； （2）当 8x… 时，求函数值 y 的取值范围． 21．已知反比例函数 1(ky kx  为常数， 1)k  ． （1）若点 (2, 4)A  在这个函数的图象上，求 k 的值； （2）若在这个函数图象的每一分支上， y 随 x 的增大而减小，求 k 的取值范围； （3）若 11k  ，试判断点 (3,4)B 、 (2,5)C 是否在这个函数的图象上，并说明理由． 22．如图，一次函数 1y kx b  与反比例函数 2 my x  的图象交于 (1,4)A ， (4, )B n 两点． （1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； （2）点 P 为 x 轴上一动点，试确定点 P 并求出它的坐标，使 PA PB 最小； （3）利用函数图象直接写出关于 x 的不等式 m kx bx   的解集． 23．心理学家研究发现，一般情况下，一节课 40 分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学 生的注意力指数 y 随时间 x（分 ) 的变化规律如图所示（其中 AB 、BC 为线段，CD 为双曲线的一部 分）． （1）上课后的第 5 分钟与第 30 分钟相比较， 分钟时学生的注意力更集中． （2）分别求出线段 AB 和双曲线 CD 的函数关系式． （3）一道数学题，需要讲 18 分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于 40，那 么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？ 24．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 1y x  的图象与反比例函数 ( 0)ky kx   的图象交 于一、三象限内的 A 、 B 两点，直线 AB 与 x 轴交于点 C ，点 B 的坐标为 ( 2, )n ． （1）求反比例函数的解析式； （2）求 AOB 的面积； （3）在 x 轴上是否存在一点 P ，使 AOP 是等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请 说明理由． 2020—2021 学年八年级数学华东师大版下册第 17 章（17.4 反比例函 数）培优试题参考简答 一．选择题（共 10 小题） 1． B ． 2． A ． 3． C ． 4． C ． 5． C ． 6． C ． 7． B ． 8． C ． 9． D ． 10． B ． 二．填空题（共 8 小题） 11． 2 ． 12． 2m   ． 13． a  0，b  0． 14． 1 2 3k k k  ． 15． 2 ． 16．  ． 17． 0 1x  或 3x  ． 18． 300y x  ． 三．解答题（共 6 小题） 19．已知点 ( , )p m n 是反比例函数 2y x  图象上一动点，且 m n ，将代数式 2 2 2 1 1( ) m n m n m n m n     化简并求值． 【解】：点 ( , )p m n 是反比例函数 2y x  图象上一动点， 2mn  ， m n ， 0m n   ， 2 2 2 1 1( ) m n m n m n m n     2 2 2 2 2 2m m n m n m n   2 mn  1 ． 20．如图，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点．已知反比例函数 ( 0)ky kx   的图象经过点 (2, )A m ，过点 A 作 AB x 轴于点 B ，且 AOB 的面积为 5． （1）求 k 和 m 的值； （2）当 8x… 时，求函数值 y 的取值范围． 【解】：（1） (2, )A m ， 2OB  ， AB m ， 1 1 2 5 2 2AOB OB ABS m       ， 5m  ， 点 A的坐标为 (2,5) ， 把 (2,5)A 代入 ky x  ，得 10k  ； （2） 当 8x  时， 5 4 y  ， 又 反比例函数 10y x  在 0x  时， y 随 x 的增大而减小， 当 8x… 时， y 的取值范围为 50 4 y „ ． 21．已知反比例函数 1(ky kx  为常数， 1)k  ． （1）若点 (2, 4)A  在这个函数的图象上，求 k 的值； （2）若在这个函数图象的每一分支上， y 随 x 的增大而减小，求 k 的取值范围； （3）若 11k  ，试判断点 (3,4)B 、 (2,5)C 是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【解】：（1）点 (2, 4)A  在这个函数的图象上， 1 2 ( 4)k     ， 解得 7k   ； （2）在函数 1ky x  图象的每一支上， y 随 x 的增大而减小， 1 0k   ， 解得 1k  ； （3） 11k  ，有 1 10k   ， 反比例函数的解析式为 10y x  ， 将点 B 的坐标代入 10y x  ， 可知 104 3  ，点 B 的坐标不满足函数关系式， 点 B 不在函数 10y x  的图象上， 将点 C 的坐标代入 10y x  ， 由 105 2  ，可知点 C 的坐标满足函数关系式， 点 C 在函数的图象上． 22．如图，一次函数 1y kx b  与反比例函数 2 my x  的图象交于 (1,4)A ， (4, )B n 两点． （1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； （2）点 P 为 x 轴上一动点，试确定点 P 并求出它的坐标，使 PA PB 最小； （3）利用函数图象直接写出关于 x 的不等式 m kx bx   的解集． 【解】：（1）把 (1,4)A 代入 2 my x  得： 4m  ， 反比例函数的解析式为： 4y x  ； 把 (4, )B n 代入 4y x  得： 1n  ， (4,1)B ， 把 (1,4)A ， (4,1)B 代入 y kx b  得 4 4 1 k b k b      ，  1 5 k b     ， 一次函数的解析式为： 5y x   ； （2）作点 B 关于 x 轴的对称点 B ，连接 AB 交 x 轴于 P ， 则 AB 的长度就是 PA PB 的最小值， 由作图知， (4, 1)B  ， 直线 AB 的解析式为： 5 17 3 3y x   ， 当 0y  时， 17 5x  ， 17( 5P ， 0) ； （3）观察图像，关于 x 的不等式 m kx bx   的解集是 0x  或1 4x  ． 23．心理学家研究发现，一般情况下，一节课 40 分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学 生的注意力指数 y 随时间 x（分 ) 的变化规律如图所示（其中 AB 、BC 为线段，CD 为双曲线的一部 分）． （1）上课后的第 5 分钟与第 30 分钟相比较， 5 分钟时学生的注意力更集中． （2）分别求出线段 AB 和双曲线 CD 的函数关系式． （3）一道数学题，需要讲 18 分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于 40，那 么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？ 【解】：（1）由图象知，上课后的第 5 分钟与第 30 分钟相比较，5 分钟时学生的注意力更集中， （2）设线段 AB 的解析式为： ABy kx b  ， 把 (10,50) 和 (0,30) 代入得， 10 50 30 k b b     ， 解得： 2 30 k b    ， 直线 AB 的解析式为： 2 30ABy x  ； 设双曲线 CD 的函数关系式为： CD ay x  ， 把 (20,50) 代入得， 50 20 a ， 1000a  ， 双曲线CD 的函数关系式为： 1000 CDy x  ； （3）当 40y  时， 2 30 40x   ， 10005. 40, 25x xx    ． 25 5 20 18    ． 教师能在学生注意力达到所需要求状态下讲完这道题． 24．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 1y x  的图象与反比例函数 ( 0)ky kx   的图象交 于一、三象限内的 A 、 B 两点，直线 AB 与 x 轴交于点 C ，点 B 的坐标为 ( 2, )n ． （1）求反比例函数的解析式； （2）求 AOB 的面积； （3）在 x 轴上是否存在一点 P ，使 AOP 是等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请 说明理由． 【解】：（1）点 ( 2, )B n 在 1y x  上， 1n   ， ( 2, 1)B   ， ( 2, 1)B   在 ky x  上， 2k  ， 反比例函数的解析式为： 2y x  ； （2） 1y x  交 x 轴于点 C ， ( 1,0)C  ， 1y x  与 2y x  交于点 A ， (1,2)A ， AOB AOC COBS S S    ，  1 | | | | 12AOC AS OC y     ， 1 1| | | |2 2BOC BS OC y     ， 3 2AOB AOC BOCS S S      ； （3）解 2 1 y x y x      得， 2 1 x y      ， 1 2 x y    ， (1,2)A ， 2 21 2 5OA    ， ①当OA OP 时， 1 ( 5P ， 0) 或 2 ( 5,0)P  ； ②当 AO AP 时，如图 1， 过 A 作 3AH OP 于 H ， 1OH  ， 3 2 2OP OH   ， 3 (2,0)P ； ③当 PA PO 时，如图 2， 过 A 作 4AH OP 于 H ， 1OH  ， 2AH  ， 4 4 1P H OP   ， 2 2 2 4 4AH P H AP  ， 2 2 2 4 42 ( 1)OP OP    ， 2 5 2OP  ，  4 5( ,0)2P ； 综上所述，点 P 的坐标为： ( 5 ， 0) 或 ( 5 ， 0) 或 (2,0) 或 5(2 ， 0) ．