安徽省数学中考复习课件考点分层训练6.3　解直角三角形

中考数学 （安徽专用） 第六章 图形与变换 §6.3　解直角三角形 考点一　锐角三角函数 2016—2020年全国中考题组 1.(2020天津,2,3分)2sin 45°的值等于 (　　) A.1　 B. 　 C. 　 D.22 3 答案 B　2sin 45°=2× = ,故选B.2 2 2 2.(2019天津,2,3分)2sin 60°的值等于 (　　) A.1　 B. 　 C. 　 D.22 3 答案 C　根据特殊角的三角函数值,可得sin 60°= ,则2sin 60°=2× = ,故选C.3 2 3 2 3 3.(2018云南,12,4分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=3,则∠A的正切值为 (　 　) A.3　 B. 　 C. 　 D.  1 3 10 10 3 10 10 答案 A　∵AC=1,BC=3,∠C=90°,∴tan A= =3.BC AC 4.(2020浙江杭州,4,3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,设∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则 (　　)   A.c=bsin B　 B.b=csin B　 C.a=btan B　 D.b=ctan B 答案 B　∵Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,∴sin B= ,即b=csin B,故A 选项不成立,B选项成立;tan B= ,即b=atan B,故C选项不成立,D选项不成立.故选B. b c b a 5.(2019吉林,21,7分)墙壁及淋浴花洒截面如图所示.已知花洒底座A与地面的距离AB为170 cm,花洒AC 的长为30 cm,与墙壁的夹角∠CAD为43°,求花洒顶端C到地面的距离CE(结果精确到1 cm). (参考数据:sin 43°=0.68,cos 43°=0.73,tan 43°=0.93)   解析　如图,过点C作CF⊥AB于点F,则∠AFC=90°. (1分) 在Rt△ACF中,AC=30 cm,∠CAF=43°, ∵cos∠CAF= , ∴AF=AC·cos∠CAF =30×cos 43° =30×0.73=21.9(cm). (5分) ∴CE=BF=AB+AF =170+21.9=191.9≈192(cm). 因此,花洒顶端C到地面的距离CE约为192 cm. (7分) 评分说明:(1)计算过程与结果中,写“=”或“≈”均不扣分;(2)计算过程不加单位不扣分. AF AC 考点二　解直角三角形 1.(2018湖北孝感,4,3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,则sin A等于 (　　)   A. 　 B. 　 C. 　 D.  3 5 4 5 3 4 4 3 答案 A　由勾股定理可得BC= = =6,∴sin A= = = .2 2-AB AC 2 210 -8 BC AB 6 10 3 5 2.(2020内蒙古包头,8,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,BE⊥CD,交CD的延长线于点E. 若AC=2,BC=2 ,则BE的长为 (　　)   A. 　 B. 　 C. 　 D.  2 2 6 3 6 2 3 2 答案 A　在Rt△ABC中,AB= = =2 , ∴sin∠ABC= = = , ∵D是AB的中点,∴CD=BD,∴∠DCB=∠ABC, 在Rt△BCE中,sin∠ECB= = ,∴ = , 解得BE= . 2 2AC BC 2 22 (2 2) 3 AC AB 2 2 3 3 3 BE BC 2 2 BE 2 2 BE 3 3 2 6 3 3.(2020安徽,8,4分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,点D在AC上,∠DBC=∠A.若AC=4,cos A= ,则BD的长度为  (　　)   A. 　 B. 　 C. 　 D.4 4 5 9 4 12 5 15 4 答案 C　∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,cos A= = ,∴AB=5,∴BC= =3,∵∠DBC=∠A,∴ cos∠DBC= = ,∴BD= ,故选C. AC AB 4 5 2 2-AB AC BC BD 4 5 15 4 思路分析　先利用cos A的值和勾股定理求出BC的长,再利用cos∠DBC=cos A= 求出BD的长.4 5 4.(2018贵州贵阳,7,3分)如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长都为1,则tan∠BAC的值为  (　　)   A. 　 B.1　 C. 　 D.  1 2 3 3 3 答案 B　如图,连接BC.   在△ABD和△BCE中,  ∴△ABD≌ △BCE(SAS), ∴AB=BC,∠ABD=∠BCE. ∵∠BCE+∠CBE=90°, ∴∠ABD+∠CBE=90°,即∠ABC=90°, ∴tan∠BAC= =1,故选B. , 90°, , AD BE ADB BEC BD CE        BC AB 5.(2019黑龙江齐齐哈尔,17,3分)如图,直线l:y= x+1分别交x轴、y轴于点A和点A1,过点A1作A1B1⊥l,交x 轴于点B1,过点B1作B1A2⊥x轴,交直线l于点A2;过点A2作A2B2⊥l,交x轴于点B2,过点B2作B2A3⊥x轴,交直线l 于点A3,依此规律,若图中阴影△A1OB1的面积为S1,阴影△A2B1B2的面积为S2,阴影△A3B2B3的面积为S3,… …,则Sn=　　　 .   3 3 答案  ×  3 6 2 -24 3 n     解析　在y= x+1中, 令x=0,得y=1,即OA1=1, 令y=0,得x=- ,即OA= . ∴在Rt△AOA1中,tan∠A1AO= , ∴∠A1AO=30°,∠AA1O=60°, ∵A1B1⊥l, ∴∠OA1B1=30°, ∴OB1=OA1·tan 30°= , ∴ = , ∴ = × +1= ,即A2B1= , 3 3 3 3 3 3 3 3 2Ax 3 3 2Ay 3 3 3 3 4 3 4 3 同理可得B1B2=   ,A3B2= ,B2B3=   , ∴S1= OB1·OA1= × ×1= , S2= B1B2·A2B1= ×   × = × , S3= B2B3·A3B2= ×   × = × , …… ∴Sn= × . 4 9 3 16 9 16 27 3 1 2 1 2 3 3 3 6 1 2 1 2 4 9 3 4 3 3 6 24 3      1 2 1 2 16 27 3 16 9 3 6 44 3      3 6 2 -24 3 n     6.(2017安徽,17,8分)如图,游客在点A处坐缆车出发,沿A→B→D的路线可至山顶D处.假设AB和BD都是 直线段,且AB=BD=600 m,α=75°,β=45°,求DE的长. (参考数据:sin 75°≈0.97,cos 75°≈0.26, ≈1.41)   2 解析　在Rt△BDF中,由sin β= 可得, DF=BD·sin β=600×sin 45° =600× =300 ≈423(m). (3分) 在Rt△ABC中,由cos α= 可得, BC=AB·cos α=600×cos 75°≈600×0.26=156(m). (6分) 所以DE=DF+EF=DF+BC=423+156=579(m). (8分) DF BD 2 2 2 BC AB 7.(2016安徽,19,10分)如图,河的两岸l1与l2相互平行,A、B是l1上的两点,C、D是l2上的两点.某人在点A处 测得∠CAB=90°,∠DAB=30°,再沿AB方向前进20米到达点E(点E在线段AB上),测得∠DEB=60°,求C、D 两点间的距离.   解析　如图,过D作l1的垂线,垂足为F.   ∵∠DEB=60°,∠DAB=30°, ∴∠ADE=∠DEB-∠DAB=30°, ∴△ADE为等腰三角形, ∴DE=AE=20(米). (3分) 在Rt△DEF中,EF=DE·cos 60°=20× =10(米). (6分) ∵DF⊥AF,∴∠DFB=90°, ∴AC∥DF, 1 2 已知l1∥l2,∴CD∥AF, ∴四边形ACDF为矩形. ∴CD=AF=AE+EF=30(米). 答:C、D两点间的距离为30米. (10分) 考点三　解直角三角形的应用 1.(2019河北,3,3分)如图,从点C观测点D的仰角是 (　　)   A.∠DAB　 B.∠DCE　 C.∠DCA　 D.∠ADC 答案 B　从点C观测点D的仰角是视线与过点C的水平线的夹角,故选B. 2.(2018辽宁大连,13,4分)如图,小明为了测量校园里旗杆AB的高度,将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B 点6 m的位置,在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°,若测角仪的高度是1.5 m,则旗杆AB的高度约为　　 m.(精确到0.1 m.参考数据:sin 53°≈0.80,cos 53°≈0.60,tan 53°≈1.33)   答案　9.5 解析　过点D作DE⊥AB,垂足为E.   ∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°, ∴∠ADE=53°, ∵DE=BC=6 m, ∴AE=DE·tan 53°≈6×1.33=7.98 m, ∴AB=AE+BE=AE+CD=7.98+1.5=9.48≈9.5 m. 3.(2020安徽,18,8分)如图,山顶上有一个信号塔AC,已知信号塔高AC=15米,在山脚下点B处测得塔底C的 仰角∠CBD=36.9°,塔顶A的仰角∠ABD=42.0°,求山高CD(点A,C,D在同一条竖直线上). (参考数据:tan 36.9°≈0.75, sin 36.9°≈0.60,tan 42.0°≈0.90)   解析　由题意,在Rt△ABD与Rt△CBD中, AD=BDtan∠ABD≈0.9BD,CD=BDtan∠CBD≈0.75BD. 于是AC=AD-CD=0.15BD. 因为AC=15米,所以BD=100米. 所以山高CD=0.75BD=75米. (8分) 解题关键　根据图形建立等式关系AC=AD-CD是解答本题的关键. 4.(2020四川成都,18,8分)成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一,现已成为外地游客到成都旅 游打卡的网红地.如图,为测量电视塔观景台A处的高度,某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶D 处测得塔A处的仰角为45°,塔底部B处的俯角为22°.已知建筑物的高CD约为61米,请计算观景台的高AB 的值.(结果精确到1米;参考数据:sin 22°≈0.37,cos 22°≈0.93,tan 22°≈0.40)   解析　如图所示,过D作DF⊥AB于F, 则四边形CDFB是矩形, ∴CD=BF=61米,   在Rt△ADF中,∠AFD=90°,∠ADF=45°, ∴AF=DF, 在Rt△DFB中,tan 22°= , ∴DF= ≈ =152.5米, BF DF 61 0.40 ∴AB=AF+BF=152.5+61=213.5米≈214米. 答:观景台的高AB约为214米. 5.(2020广西北部湾经济区,23,8分)如图,一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向,距离小岛40 n mile的点A 处,它沿着点A的南偏东15°的方向航行. (1)渔船航行多远距离小岛B最近(结果保留根号)? (2)渔船到达距离小岛B最近点后,按原航向继续航行20  n mile到点C处时突然发生事故,渔船马上向 小岛B上的救援队求救,问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短,最短航程是多少 (结果保留根号)?   6 解析　(1)过B点作AC的垂线BD,交AC于点D,   由垂线段最短,知AC上的D点距离B点最近,AD即为所求, 由题意可知∠BAF=30°,∠CAF=15°, ∴∠BAD=45°,∴AD=BD=ABsin 45°=40× =20  n mile, ∴渔船航行20  n mile时,距离小岛B最近. (2)在Rt△BDC中,tan C= = = , ∴∠C=30°,∠DBC=60°, 2 2 2 2 BD DC 20 2 20 6 3 3 ∴BC= =40  n mile, ∵∠ABD=45°,∠ABE=90°-30°=60°, ∴∠DBE=15°, ∴∠EBC=∠DBC-∠DBE=45°. 答:从B处沿南偏东45°的方向航行到达事故地点航程最短,最短航程为40  n mile. 2 2 思路分析　(1)过B点作AC的垂线BD交AC于点D,则AD为所求,根据已知条件得到∠BAD=45°即可解答; (2)根据特殊角的三角函数值得到∠C=30°,∠DBC=60°,从而求出BC的长度,再求出∠DBE的大小,即可得 到∠EBC的大小. 6.(2019河南,19,9分)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度.如图所示,炎帝 塑像DE在高55 m的小山EC上.在A处测得塑像底部E的仰角为34°,再沿AC方向前进21 m到达B处,测得塑 像顶部D的仰角为60°,求炎帝塑像DE的高度.(精确到1 m.参考数据:sin 34°≈0.56,cos 34°≈0.83,tan 34° ≈0.67, ≈1.73)   3 解析　在Rt△ACE中,∵∠A=34°,CE=55, ∴AC= ≈ ≈82.1. ∴BC=AC-AB=82.1-21=61.1. (4分) 在Rt△BCD中, ∵∠CBD=60°, ∴CD=BC·tan 60°≈61.1×1.73≈105.7. (7分) ∴DE=CD-CE=105.7-55≈51. 所以炎帝塑像DE的高度约为51 m. (9分) 55 0.67 思路分析　已知EC=55,∠A=34°,先解Rt△ACE,求得AC的长,由BC=AC-AB得BC的长,再解Rt△BCD,求 得CD的长,可得DE=CD-CE≈51 m. 7.(2018安徽,19,10分)为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地 面上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰 好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°,平面镜E的俯角为45°,FD=1.8 米,问旗杆AB的高度约为多少米?(结果保留整数) (参考数据:tan 39.3°≈0.82,tan 84.3°≈10.02)   解析　解法一:由题意知,∠AEB=∠FED=45°, ∴∠AEF=90°. 在Rt△AEF中, =tan∠AFE=tan 84.3°, 在△ABE和△FDE中,∠ABE=∠FDE=90°,∠AEB=∠FED, ∴△ABE∽△FDE, ∴ = =tan 84.3°, ∴AB=FDtan 84.3°≈1.8×10.02=18.036≈18(米). 答:旗杆AB的高度约为18米. (10分) 解法二:作FG⊥AB于点G, AE FE AB FD AE FE   由题意知,△ABE和△FDE均为等腰直角三角形, ∴AB=BE,DE=FD=1.8, ∴FG=DB=DE+BE=AB+1.8,AG=AB-GB=AB-FD=AB-1.8. 在Rt△AFG中, =tan∠AFG=tan 39.3°, AG FG 即 =tan 39.3°, 解得AB=18.2≈18(米). 答:旗杆AB的高度约为18米. (10分) -1.8 1.8 AB AB  思路分析　思路一:由题意可确定∠AEF=90°,从而可推出△ABE∽△FDE,最后由相似三角形中对应边 的比相等求解;思路二:作FG⊥AB于点G,由题意可推出△ABE和△FDE均为等腰直角三角形,在直角三 角形AFG中由锐角三角函数求出AB. 8.(2019天津,22,10分)如图,海面上一艘船由西向东航行,在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰 角为31°,再向东继续航行30 m到达B处,测得该灯塔的最高点C的仰角为45°.根据测得的数据,计算这座 灯塔的高度CD(结果取整数). 参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60.   解析　根据题意,∠CAD=31°,∠CBD=45°,∠CDA=90°,AB=30, ∵在Rt△ACD中,tan∠CAD= , ∴AD= , ∵在Rt△BCD中,tan∠CBD= , ∴BD= =CD, 又AD=AB+BD, ∴ =30+CD, ∴CD= ≈ =45. 答:这座灯塔的高度CD约为45 m. CD AD CD BD 30 0.60 1-0.60  思路分析　在Rt△ACD中利用∠CAD的三角函数表示出AD;在Rt△BCD中利用∠CBD的三角函数表示 出BD,进而根据AD=BD+30,求得CD的高度. 解题关键　解此题的关键是把实际问题转化为数学问题,根据实际情况建立数学模型,正确画出图形. 9.(2018江苏南京,23,8分)如图,为了测量建筑物AB的高度,在D处竖立标杆CD,标杆的高是2 m,在DB上选 取观测点E、F,从E测得标杆和建筑物的顶部C、A的仰角分别为58°、45°,从F测得C、A的仰角分别为 22°、70°.求建筑物AB的高度.(精确到0.1 m.参考数据:tan 22°≈0.40,tan 58°≈1.60,tan 70°≈2.75)   解析　在Rt△CED中,∠CED=58°, ∵tan 58°= , ∴DE= = . 在Rt△CFD中,∠CFD=22°, ∵tan 22°= ,∴DF= = , ∴EF=DF-DE= - . 同理,EF=BE-BF= - . ∴ - = - , 解得AB≈5.9(m). 因此,建筑物AB的高度约为5.9 m. CD DE CD DF 10.(2018湖北黄冈,21,7分)如图,在大楼AB正前方有一斜坡CD,坡角∠DCE=30°,楼高AB=60米,在斜坡下 的点C处测得楼顶B的仰角为60°,在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°,其中点A,C,E在同一直线上. (1)求坡底C点到大楼距离AC的值; (2)求斜坡CD的长度.   解析　(1)在Rt△ABC中,AB=60米,∠ACB=60°, ∴AC= =20  米. (2)过点D作DF⊥AB于点F,则四边形AEDF为矩形, ∴AF=DE,DF=AE.   设CD=x米,在Rt△CDE中,DE= x米, 3 1 2 CE= x米, 在Rt△BDF中,∠BDF=45°, ∴BF=DF=AB-AF= 米, ∵DF=AE=AC+CE, ∴20 + x=60- x, 解得x=80 -120, 即CD=(80 -120)米. 3 2 160- 2 x     3 3 2 1 2 3 3 考点一　锐角三角函数 教师专用题组 1.(2018天津,2,3分)cos 30°的值等于 (　 　) A. 　 B. 　 C.1　 D.  2 2 3 2 3 答案 B　根据特殊角的三角函数值可知,cos 30°= ,故选B.3 2 2.(2017甘肃兰州,3,4分)如图,一个斜坡长130 m,坡顶离水平地面的距离为50 m,那么这个斜坡与水平地 面夹角的正切值等于 (　　)   A. 　 B. 　 C. 　 D.  5 13 12 13 5 12 13 12 答案 C　在直角三角形中,根据勾股定理可知水平的直角边长为120 m,故这个斜坡与水平地面夹角的 正切值等于 = ,故选C.50 120 5 12 思路分析　先利用勾股定理求得第三边的长,再利用正切的定义求正切值. 3.(2016广东,8,3分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,3),那么cos α的值是 (　　)   A. 　 B. 　 C. 　 D.  3 4 4 3 3 5 4 5 答案 D　过点A作AB垂直x轴于B,则AB=3,OB=4. 由勾股定理得OA=5.∴cos α= = .故选D.   OB OA 4 5 4.(2018山东滨州,15,5分)在△ABC中,∠C=90°,若tan A= ,则sin B=　 　　 .1 2 答案   2 5 5 解析　在Rt△ABC中,∠C=90°,∵tan A= = , ∴设a=x,则b=2x,则c= = x, ∴sin B= = = . a b 1 2 2 2(2 )x x 5 b c 2 5 x x 2 5 5 考点二　解直角三角形 1.(2019陕西,6,3分)如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AD平分∠BAC,交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E.若 DE=1,则BC的长为 (　 　)   A.2+ 　 B. + 　 C.2+ 　 D.32 2 3 3 答案 A　过点D作DF⊥AC,垂足为F.∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∴DE=DF=1.∵∠B=30°,∴BD=2DE=2. ∵∠C=45°,∴DC= DF= ,∴BC=BD+CD=2+ ,故选A.2 2 2 2.(2020广西北部湾经济区,11,3分)《九章算术》是古代东方数学代表作,书中记载:今有开门去阃(读kǔ n,门槛的意思)一尺,不合二寸,问门广几何?题目大意是:如图1、2(图2为图1的平面示意图),推开双门,双 门间隙CD的距离为2寸,点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸),则AB的长是 (　　)   图1 图2 A.50.5寸　 B.52寸　 C.101寸　 D.104寸 答案 C　如图,过O作OE⊥CD于E,易知四边形EDFO为矩形,O为AB的中点,E为DC的中点,故FO=DE=  DC=1寸.   设AO=AD=BC=OB=x寸, 则AF=(x-1)寸, 在Rt△ADF中,AD2=AF2+DF2,即x2=(x-1)2+102, 解得x= ,故AB=2x=101寸,故选C. 1 2 101 2 3.(2020广东,17,4分)有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑,一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠, 等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如图,∠ ABC=90°,点M,N分别在射线BA,BC上,MN的长度始终保持不变,MN=4,E为MN的中点,点D到BA,BC的距 离分别为4和2.在此滑动过程中,猫与老鼠的距离DE的最小值为　　　 .   答案　2 -25 解析　连接BE,在此滑动过程中,MN的长度始终保持不变,∠ABC=90°,∴BE= MN,长度也始终保持不 变.显然点E在以点B为圆心, MN的长为半径的圆弧上.如图,当B、D、E三点共线时,DE有最小值.   ∵∠ABC=90°,MN=4,E为MN的中点,∴BE=2. ∵点D到BA,BC的距离分别为4和2, ∴BD= =2 ,∴DE最小值=BD-BE=2 -2. 1 2 1 2 2 24 2 5 5 解题关键　确定猫与老鼠的距离DE的最小值需判断点E的运动轨迹,利用直角三角形斜边的中线等于 斜边的一半确定点E在以点B为圆心, MN的长为半径的圆弧上是解题的关键.1 2 4.(2019浙江杭州,14,4分)在直角三角形ABC中,若2AB=AC,则cos C=　　 　 . 答案  或  3 2 2 5 5 解析　①当AC为斜边,AB为直角边时,如图.   ∵2AB=AC,∴BC= = AB, ∴cos C= = = . ②当AB,AC均为直角边时,如图.   2 2-AC AB 3 BC AC 3 2 AB AB 3 2 ∵2AB=AC,∴BC= = AB, ∴cos C= = = . 综上所述,cos C= 或 . 2 2AB AC 5 AC BC 2 5 AB AB 2 5 5 3 2 2 5 5 5.(2019新疆,14,5分)如图,在△ABC中,AB=AC=4,将△ABC绕点A顺时针旋转30°,得到△ACD,延长AD交 BC的延长线于点E,则DE的长为　　　 .   答案　2 -23 解析　由旋转得,∠CAD=∠CAB=30°,AD=AC=4, ∴∠BCA=∠ACD=∠ADC=75°. ∴∠ECD=180°-2×75°=30°. ∴∠E=75°-30°=45°. 过点C作CH⊥AE于H点, 在Rt△ACH中,CH= AC=2,AH=2 . ∴HD=AD-AH=4-2 . 在Rt△CHE中,∠E=45°, ∴EH=CH=2. ∴DE=EH-HD=2-(4-2 )=2 -2. 1 2 3 3 3 3 思路分析　根据旋转的性质可知∠CAD=∠CAB=30°,AD=AC=4.从而得到∠DCE=30°,∠E=45°.过点C作 CH⊥AE于H点,在Rt△ACH中,求出CH和AH的长,在Rt△CHE中可求EH的长,利用DE=EH-(AD-AH)即可 求解. 6.(2017黑龙江哈尔滨,20,3分)如图,在矩形ABCD中,M为BC边上一点,连接AM,过点D作DE⊥AM,垂足 为E,若DE=DC=1,AE=2EM,则BM的长为　　　 .   答案   2 5 5 解析　∵∠BAM+∠EAD=90°,∠EAD+∠EDA=90°, ∴∠BAM=∠EDA.又∵∠B=∠AED=90°, ∴△ADE∽△MAB.∴ = ,即 = . ∴AE=BM.由AE=2EM可设AE=2x,EM=x(x>0), 则BM=2x, 在Rt△ABM中,由勾股定理可知(2x+x)2=12+(2x)2, 解得x= (舍负),∴BM=2x= . AE BM DE AB AE BM 1 1 5 5 2 5 5 7.(2017山西,15,3分)一副三角板按如图方式摆放,得到△ABD和△BCD,其中∠ADB=∠BCD=90°,∠A=60 °,∠CBD=45°.E为AB的中点,过点E作EF⊥CD于点F.若AD=4 cm,则EF的长为　　　 cm.   答案　( + )2 6 解析　如图,连接DE,过点E作EM⊥BD于点M,设EF交BD于点N,∵AD=4 cm,∠A=60°,∴AB=8 cm,DB=4   cm,∵点E为AB的中点,EM⊥BD,∴DE= AB=4 cm,EM= AD=2 cm,由等腰直角三角形的性质可知∠ ENM=∠FND=45°,∴在Rt△ENM中,EN= EM=2  cm,MN=EM=2 cm,∴DN=DM-MN= DB-MN=(2 - 2)cm,在Rt△DFN中,FN= DN=( - )cm,∴EF=EN+FN=2 + - =( + )cm.   3 1 2 1 2 2 2 1 2 3 2 2 6 2 2 6 2 2 6 8.(2020河南,18,9分)位于河南省登封市境内的元代观星台,是中国现存最早的天文台,也是世界文化遗产 之一.   某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示,他们在地面一条水平步 道MP上架设测角仪,先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°,然后沿MP方向前进16 m到达点N处, 测得点A的仰角为45°,测角仪的高度为1.6 m. (1)求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 22°≈0.37,cos 22°≈0.93,tan 22°≈ 0.40, ≈1.41); (2)“景点简介”显示,观星台的高度为12.6 m.请计算本次测量结果的误差,并提出一条减小误差的合理 2 化建议. 解析　(1)如图,过点A作AF⊥MP,垂足为点F,交BC的延长线于点E, 由题意知,四边形MBCN和四边形NCEF均为矩形, (2分) 设AE=x m,   在Rt△ACE中,∠AEC=90°,∠ACE=45°, ∴CE=AE=x m, (3分) 在Rt△ABE中,∠AEB=90°,∠ABE=22°, ∵tan 22°= , ∴BE= ≈ = x m, (4分) ∵BE-CE=BC, ∴ x-x=16. 解得x= ≈10.67. (6分) ∵EF=BM=1.6 m, ∴AF=AE+EF=10.67+1.6≈12.3 m. 即观星台最高点A距离地面的高度约为12.3 m. (7分) (2)误差为12.6-12.3=0.3(m). (8分) 可多次测量,取测量数据的平均值(答案不唯一,合理即可). (9分) AE BE 0.40 x 5 2 5 2 32 3 考点三　解直角三角形的应用 1.(2020重庆A卷,9,4分)如图,在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60 m的C点处有一个山坡,山坡CD 的坡度(或坡比)i=1∶ 0.75,山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD=45 m,在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的 仰角为28°,居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内,则居民楼AB的高度约为(参考数据:sin 28°≈0.47, cos 28°≈0.88,tan 28°≈0.53) (　　)   A.76.9 m　　B.82.1 m C.94.8 m　　D.112.6 m 答案 B　过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于E,作DF⊥AB,交AB于F,设DE=x m,因为山坡CD的坡比为 1∶ 0.75,所以x2+(0.75x)2=452,解得x=36,则CE=0.75×36=27 m,BF=DE=36 m,所以DF=BE=60+27=87 m,在 Rt△ADF中,AF=DF·tan∠ADF=87×tan 28°≈87×0.53=46.11 m,故AB=36+46.11=82.11≈82.1 m,故选B.   2.(2018江苏苏州,8,3分)如图,某海监船以20海里/时的速度在某海域执行巡航任务,当海监船由西向东航 行至A处时,测得岛屿P恰好在其正北方向,继续向东航行1小时到达B处,测得岛屿P在其北偏西30°方向, 保持航向不变又航行2小时到达C处,此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为 (　　)   A.40海里　 B.60海里 C.20  海里　 D.40  海里 3 3 答案 D　由题意可知∠APB=30°,∠A=90°,AB=20,BC=40, 在Rt△PAB中,PB=2AB=40,∠PBA=60°,PA=20 , ∴PB=BC,∴∠BPC=∠C=30°,∴PC=2PA=40 , ∴海监船与岛屿P之间的距离是40  海里. 故选D. 3 3 3 3.(2018重庆,10,4分)如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学 楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°,升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米,升旗台坡面CD 的坡度i=1∶ 0.75,坡长CD=2米,若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米,则旗杆AB的高度约为 (　　) (参考数据:sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.6) A.12.6米　 B.13.1米 C.14.7米　 D.16.3米 答案 B　如图,延长AB交直线ED于M,作CJ⊥DM于J.则四边形BMJC是矩形.   在Rt△CJD中, = = ,设CJ=4k,DJ=3k,k>0,已知CD=2, 则有9k2+16k2=4,解得k= , ∴BM=CJ= ,DJ= , 又∵BC=MJ=1, ∴EM=MJ+DJ+DE= , CJ DJ 1 0.75 4 3 2 5 8 5 6 5 46 5 在Rt△AEM中,tan∠AEM= , ∴tan 58°= ≈1.6, 解得AB≈13.1(米),故选B. AM EM 8 5 46 5 AB  4.(2018辽宁葫芦岛,15,3分)如图,某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上,一架无人机在空中沿MN 方向水平飞行进行航拍作业,MN与AB在同一铅直平面内,当无人机飞行至C处时,测得景点A的俯角为 45°,景点B的俯角为30°,此时C到地面的距离CD为100米,则两景点A、B间的距离为　　　 米(结果保留 根号).   答案　(100+100 )3 解析　∵∠MCA=45°,∠NCB=30°, ∴∠ACD=45°,∠DCB=60°,∠B=30°. ∵CD=100米, ∴AD=CD=100米,DB= CD=100 米, ∴AB=AD+DB=(100+100 )米, 故两景点A、B间的距离为(100+100 )米. 3 3 3 3 5.(2020内蒙古包头,22,8分)如图,一个人骑自行车由A地到C地途经B地.当他由A地出发时,发现他的北偏 东45°方向有一电视塔P,他由A地向正北方向骑行了3  km到达B地,发现电视塔P在他北偏东75°方向, 然后他由B地向北偏东15°方向骑行了6 km到达C地. (1)求A地与电视塔P的距离; (2)求C地与电视塔P的距离.   2 解析　(1)过点B作BD⊥AP于点D,∴∠ADB=90°.   ∵∠BAP=45°,∴∠ABD=45°. 在Rt△ADB中,∵sin A= ,AB=3 , ∴AD=BD=3 × =3. ∵∠NBP=75°,∴∠APB=∠NBP-∠A=30°. 在Rt△BDP中,∵tan∠DPB= = , BD AB 2 2 2 2 BD DP 3 3 ∴DP=3 . ∴AP=AD+PD=3+3 km. ∴A地与电视塔P的距离为(3+3 )km. (5分) (2)在Rt△BDP中,∵∠BPD=30°,BD=3,∴BP=6. ∵BC=6,∴BP=BC. ∵∠CBP=∠NBP-∠NBC=60°,∴△BCP为等边三角形, ∴CP=BC=6.∴C地与电视塔P的距离为6 km. (8分) 3 3 3 思路分析　(1)已知AB的长及∠BAP,∠NBC,∠NBP的度数,求AP的长,关键在于将AB及已知角构造到直 角三角形中,过B作BD⊥AP于点D,在Rt△ABD中,利用三角函数求得AD,BD的长,然后在Rt△BDP中,利用 三角函数求得DP的长,从而求得AP的长;(2)在Rt△BDP中,利用三角函数求得BP的长,得△BCP为等腰三 角形,又求得∠CBP=60°,证得△BCP为等边三角形,得CP的长. 6.(2020新疆,20,9分)如图,为测量建筑物CD的高度,在A点测得建筑物顶部D点的仰角为22°,再向建筑物 CD前进30米到达B点,测得建筑物顶部D点的仰角为58°(A,B,C三点在一条直线上),求建筑物CD的高度. (结果保留整数.参考数据:sin 22°≈0.37,cos 22°≈0.93,tan 22°≈0.40,sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58° ≈1.60)   解析　设建筑物CD的高度为x m, 在Rt△BCD和Rt△ADC中, tan 58°= ,tan 22°= , ∴BC= = , AC= = . 则 - =30, 即 - =30, 解得x=16. 答:建筑物CD的高度为16 m. CD BC CD AC 0.4 x 1.6 x 7.(2020海南,20,10分)为了促进海口主城区与江东新区联动发展,文明东越江通道将于今年年底竣工通 车.某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度.如图,隧道AB在水平直线上,且无人 机和隧道在同一个铅垂面内,无人机在距离隧道450米的高度上水平飞行,到达点P处测得点A的俯角为3 0°,继续飞行1 500米到达点Q处,测得点B的俯角为45°. (1)填空:∠A=　　 　 度,∠B=　　　 度; (2)求隧道AB的长度(结果精确到1米). (参考数据: ≈1.414, ≈1.732)   2 3 解析　(1)30;45. (4分) (2)过点P作PM⊥AB于点M,过点Q作QN⊥AB于点N, 则PM=QN=450米,MN=PQ=1 500米, 在Rt△APM中,∵tan A= , ∴AM= = = =450 (米), (6分) 在Rt△QNB中, ∵tan B= , ∴NB= = = =450(米), (8分) ∴AB=AM+MN+NB=450 +1 500+450≈2 729(米). (9分) 答:隧道AB的长度约为2 729米. (10分) PM AM tan PM A 450 3 3 3 QN NB tan QN B 450 1 3 思路分析　(1)根据平行线的性质即可得解;(2)分别作PM⊥AB,QN⊥AB,构造直角三角形,然后利用锐角 三角函数求出AM和NB的长,而NM=PQ,问题即可解决. 8.(2020云南昆明,21,9分)【材料阅读】　2020年5月27日,2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛 峰,将用中国科技“定义”世界新高度.其基本原理之一是三角高程测量法,在山顶上立一个觇标,找到2 个以上测量点,分段测量山的高度,再进行累加.因为地球面并不是水平的,光线在空气中会发生折射,所 以当两个测量点的水平距离大于300 m时,还要考虑球气差,球气差计算公式为f= (其中d为两点间 的水平距离,R为地球的半径,R取6 400 000 m),即:山的海拔高度=测量点测得山的高度+测量点的海拔高 度+球气差. 【问题解决】　某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动.如图,点A,B的水平距 离d=800 m,测量仪AC=1.5 m,觇标DE=2 m,点E,D,B在垂直于地面的一条直线上,在测量点A处用测量仪 测得山顶觇标顶端E的仰角为37°,测量点A处的海拔高度为1 800 m. (1)数据6 400 000用科学记数法表示为　　　 ; (2)请你计算该山的海拔高度.(要计算球气差,结果精确到0.01 m) (参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75) 20.43d R 解析　(1)6.4×106. (2分) (2)过点C作CM⊥EB,垂足为M,   由题意得∠ECM=37°,四边形ABMC为矩形, 则CM=AB=800 m,BM=AC=1.5 m, (4分) 在Rt△CME中,∠CME=90°, tan∠ECM= , (5分) ∴EM=CM·tan∠ECM=800×tan 37°≈800×0.75=600 m, (6分) ∵d=800 m,R=6 400 000 m, ∴f= = =0.043 m, ∴该山的海拔高度为 (600+1.5-2)+1 800+0.043≈2 399.54(m). (8分) 答:该山的海拔高度约为2 399.54 m. (9分) EM CM 20.43d R 20.43 800 6 400 000  9.(2019四川成都,18,8分)2019年,成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事,这大幅提升了成都 市的国际影响力.如图,在一场马拉松比赛中,某人在大楼A处,测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°,底 部D的俯角为45°,如果A处离地面的高度AB=20米,求起点拱门CD的高度.(结果精确到1米;参考数据:sin 35°≈0.57,cos 35°≈0.82,tan 35°≈0.70)   解析　如图,作CE⊥AB于点E,∴∠AEC=∠CEB=90°,   由题意得∠CDB=∠EBD=90°,∠1=35°,∠2=45°. ∴四边形CDBE为矩形. ∴CD=BE,CE=DB. 在Rt△ABD中,BD=AB=20米, ∴CE=20米. 在Rt△ACE中,AE=CE·tan∠1. ∴BE=AB-AE=20-20·tan 35°≈6米. ∴CD≈6米. 答:起点拱门CD的高度约为6米. 解题关键　本题为解直角三角形的实际问题,过点C作CE⊥AB构造出直角三角形和矩形是解题关键. 10.(2019内蒙古呼和浩特,20,7分)如图(1),已知甲地在乙地的正东方向,因有大山阻隔,由甲地到乙地需要 绕行丙地.已知丙地位于甲地北偏西30°方向,距离甲地460 km,丙地位于乙地北偏东66°方向,现要打通穿 山隧道,建成甲乙两地直达高速公路.如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C,可抽象成图(2)所示的 三角形,求甲乙两地之间直达高速线路的长AB(结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可).   解析　过C作CD⊥AB,垂足为D, 在Rt△ACD中,∵∠ACD=30°, ∴AD=AC·sin 30°=460× =230 km, CD=AC·cos 30°=460× =230  km, 在Rt△BCD中,tan∠BCD= ,而∠BCD=66°, ∴BD=CD·tan 66°=230 tan 66° km, ∴AB=AD+DB=230(1+ tan 66°)km. 答:甲乙两地之间直达高速线路的长为230(1+ tan 66°)km. 1 2 3 2 3 BD CD 3 3 3 方法总结　解直角三角形的应用,要根据题意抽象出数学图形,构造适当的直角三角形,解直角三角形,得 出实际问题的答案. 11.(2018天津,22,10分)如图,甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78 m,从甲的顶部A处测得乙的顶部D处 的俯角为48°,测得底部C处的俯角为58°,求甲、乙建筑物的高度AB和DC(结果取整数). 参考数据:tan 48°≈1.11,tan 58°≈1.60.   解析　如图,过点D作DE⊥AB,垂足为E.   则∠AED=∠BED=90°. 由题意可知,BC=78,∠ADE=48°,∠ACB=58°,∠ABC=90°,∠DCB=90°. 可得四边形BCDE为矩形. ∴ED=BC=78,DC=EB. 在Rt△ABC中,tan∠ACB= ,AB BC ∴AB=BC·tan 58°≈78×1.60≈125. 在Rt△AED中,tan∠ADE= , ∴AE=ED·tan 48°. ∴DC=EB=AB-AE=BC·tan 58°-ED·tan 48°≈78×1.60-78×1.11≈38. 答:甲建筑物的高度AB约为125 m,乙建筑物的高度DC约为38 m. AE ED 12.(2018四川成都,18,8分)由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一 次海上试验任务.如图,航母由西向东航行,到达A处时,测得小岛C位于它的北偏东70°方向,且与航母相距 80海里,再航行一段时间后到达B处,测得小岛C位于它的北偏东37°方向.如果航母继续航行至小岛C的 正南方向的D处,求还需航行的距离BD的长.   (参考数据:sin 70°≈0.94,cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.75,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75) 解析　由题可知∠ACD=70°,∠BCD=37°,AC=80. 在Rt△ACD中,cos∠ACD= , ∴0.34≈ , ∴CD≈27.2, 在Rt△BCD中,tan∠BCD= , ∴0.75≈ , ∴BD≈20.4. 答:还需要航行的距离BD的长约为20.4海里. CD AC 80 CD BD CD 27.2 BD 13.(2017天津,22,10分)如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向,距离灯塔120海里的A处,它沿正南方 向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处,求BP和BA的长(结果取整数). 参考数据:sin 64°≈0.90,cos 64°≈0.44,tan 64°≈2.05, 取1.414.   2 解析　如图,过点P作PC⊥AB,垂足为C,   由题意可知,∠A=64°,∠B=45°,PA=120, 在Rt△APC中,sin A= ,cos A= , ∴PC=PA·sin A=120×sin 64°, AC=PA·cos A=120×cos 64°. 在Rt△BPC中,sin B= ,tan B= , ∴BP= = ≈ ≈153(海里), PC PA AC PA PC BP PC BC sin PC B 120 0.90 2 2  BC= = =PC=120×sin 64°, ∴BA=BC+AC=120×sin 64°+120×cos 64°≈120×0.90+120×0.44≈161(海里). 答:BP的长约为153海里,BA的长约为161海里. tan PC B 思路分析　在Rt△APC中,利用∠A的三角函数求出PC和AC;在Rt△PCB中,利用∠B的三角函数求出BC 和PB即可解决问题. 解题关键　解此题的关键是把实际问题转化为数学问题,根据实际情况建立数学模型,正确画出图形,找 准三角形. 14.(2018内蒙古呼和浩特,21,7分)如图,一座山的一段斜坡BD的长度为600米,且这段斜坡的坡度i=1∶ 3 (沿斜坡从B到D时,其升高的高度与水平前进的距离之比).已知在地面B处测得山顶A的仰角为33°,在斜 坡D处测得山顶A的仰角为45°.求山顶A到地面BC的高度AC是多少米.(结果用含非特殊角的三角函数和 根式表示即可)   解析　过点D作DH⊥BC,垂足为H.   ∵斜坡BD的坡度i=1∶ 3, ∴DH∶ BH=1∶ 3. 在Rt△BDH中,BD=600, ∴DH2+(3DH)2=6002, ∴DH=60 ,∴BH=180 . 设AE=x米,在Rt△ADE中,∠ADE=45°,∴DE=AE=x, 10 10 又HC=DE,EC=DH, ∴HC=x,EC=60 , 在Rt△ABC中,tan 33°= = , ∴x= , ∴AC=AE+EC= +60 = . 答:山顶A到地面BC的高度为 米. 10 AC BC 60 10 180 10 x x   10 时间:60分钟　分值:75分 A组　2018—2020年模拟·基础题组 一、选择题（每小题4分，共12分） 1.(2020安徽贵池第三次联考,5)如图,有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30 m,斜坡的倾斜角是∠ BAC,若tan∠BAC= ,则此斜坡的水平距离AC为 (　 　)   A.75 m　　B.50 m　　C.30 m　　D.12 m 2 5 答案 A　∵tan∠BAC= = ,BC=30 m, ∴AC= BC=75 m. BC AC 2 5 5 2 2.(2019安徽淮南西部第五次联考,1)在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A= ,BC=6,则AB= (　　 ) A.4　 B.6　 C.8　 D.10 3 5 答案 D　由sin A= 可得AB= =10,故选D.BC AB 6 3 5 3.(2020安徽合肥三十八中二模,7)如图,在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α,大桥主 架的顶端D的仰角为β,已知测量点与大桥主架的水平距离AB=a,则此时大桥主架顶端离水面的高CD为  (　 　)   A.asin α+asin β　 B.acos α+acos β C.atan α+atan β　 D. +  tan a α tan a β 答案 C　在Rt△ABC中, BC=AB·tan α=atan α,在Rt△ABD中,BD=AB·tan β=atan β, ∴CD=BC+BD=atan α+atan β.故选C. 解题关键　由三角函数得出BD和BC的长是解答本题的关键. 二、解答题(共63分) 4.(2020安徽合肥四十六中一模,16)如图,直升机在隧道BD上方A点处测得B、D两点的俯角分别为45°和 31°.若飞机此时飞行高度AC为1 208 m,且点C、B、D在同一条直线上,求隧道BD的长.(精确到1 m)(参考 数据:sin 31°≈0.52 ,cos 31°≈0.86,tan 31°=0.60)   解析　∵∠EAD=31°,∠EAB=45°, ∴∠ADC=31°,∠ABC=45°, 在Rt△ACD中,∠ACD=90°,AC=1 208 m, ∴CD= = ≈ ≈2 013.3 m, 在Rt△ACB中,∠ACD=90°,∠ABC=45°,AC=1 208 m, ∴BC=AC=1 208 m, ∴BD=CD-BC=2 013.3-1 208≈805 m. 答:隧道BD的长约为805 m. tan AC ADC 1 208 0.60 5.(2019安徽合肥四十五中第六次段考,15)如图,热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼的顶部B的仰 角为45°,看这栋高楼底部C的俯角为60°,热气球与高楼的水平距离AD为20 m,求这栋楼的高度.(结果保 留根号)   解析　在Rt△ABD中,∠BDA=90°,∠BAD=45°, ∴BD=AD=20 m. 在Rt△ACD中,∠ADC=90°,∠CAD=60°, ∴CD= AD=20  m. ∴BC=BD+CD=(20+20 )m. 答:这栋楼的高度为(20+20 )m. 3 3 3 3 6.(2020安徽合肥瑶海一模,19)下表是小安填写的数学实践活动报告的部分内容. 题目 测量铁塔顶端到地面的高度 测量目标 示意图     相关数据 CD=20米,α=45°,β=52° 求铁塔的高度FE.(结果精确到1米) 参考数据:sin 52°≈0.79,cos 52°≈0.62,tan 52°≈1.28 . 解析　∵在Rt△DFH中,α=45°,∴DH=FH. ∵四边形DCEH是矩形,∴DH=CE, ∴FH=CE. (4分) 设FE=x米,则CE=(x-20)米, 在Rt△EFC中,tan β= = , 即x=(x-20)tan 52°, 解得x≈91. (9分) 答:铁塔的高度FE约为91米. (10分) EF CE -20 x x 7.(2019安徽合肥二模,19)为积极宣传国家相关政策,某村在一山坡的顶端的平地上竖立一块宣传牌AB. 为测得宣传牌的高度,小明站在山脚C处测得宣传牌的顶端A的仰角为40°,已知山坡CD的坡度i=1∶ 2,山 坡CD的长度为4 米,山坡顶端D与宣传牌底端B的水平距离为2米,求宣传牌的高度AB(精确到1米). (参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84, ≈2.24)   5 5 解析　如图,延长AB交CE于点E,过点D作DF⊥CE于点F,   则四边形BDFE是矩形,∴BD=EF,BE=DF. (2分) 在Rt△CDF中,tan∠DCF=i=1∶ 2, 设DF=x米,则CF=2x米. 在Rt△CFD中,由勾股定理得x2+(2x)2=(4 )2, 解得x=4,则DF=4米,CF=8米, ∴CE=CF+EF=8+2=10米. (6分) 5 在Rt△ACE中,∵tan 40°= ,∴AE≈10×0.84=8.4米, ∴AB=AE-BE=8.4-4≈4米. 答:宣传牌的高度AB约为4米. (10分) AE CE 8.(2019安徽合肥168教育集团一模,19)如图,线段AB、CD分别表示甲、乙两建筑物的高,AB⊥BC,DC⊥ BC,垂足分别为B、C,从B点测得D点的仰角α为60°,从A点测得D点的仰角β为30°,已知甲建筑物的高度 AB=34 m,求甲、乙两建筑物之间的距离BC和乙建筑物的高度DC.(结果保留根号)   解析　作AE⊥CD交CD于E.   ∵CD=BC·tan α= BC,DE=BC·tan β= BC, ∴AB=CD-DE= BC, ∴BC=17  m, ∴CD=BC·tan α= BC=51 m. 答:甲、乙两建筑物之间的距离BC为17  m,乙建筑物的高度DC为51 m. 3 3 3 2 3 3 3 3 3 9.(2020安徽合肥168中学一模,21)身高1.65米的兵兵在建筑物前放风筝,风筝不小心挂在了树上.在如图 所示的平面图形中,矩形CDEF代表建筑物,兵兵位于建筑物前点B处,风筝挂在建筑物上方的树枝点G处 (点G在FE的延长线上).经测量,兵兵与建筑物的距离BC=5米,建筑物底部宽FC=7米,风筝所在点G与建 筑物顶点D及风筝线在手中的点A在同一条直线上,点A距地面的高度AB=1.4米,风筝线与水平线的夹角 为37°. (1)求风筝距地面的高度GF; (2)在建筑物后面有长5米的梯子MN,梯脚M在距墙3米处固定摆放,通过计算说明:兵兵充分利用梯子和 一根5米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝? (参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75) 解析　(1)过点A作AP⊥GF于P, 由题意得AP=BF=12米, AB=PF=1.4米,∠GAP=37°, 在Rt△PAG中,tan∠GAP= , ∴GP=AP·tan 37° ≈12×0.75=9米, ∴GF=GP+PF=9+1.4=10.4米. ∴风筝距地面的高度为10.4米. (2)由题意知MN=5米,MF=3米,∴NF= =4米, ∵4+1.65+5=10.65>10.4, ∴能触到挂在树上的风筝. GP AP 2 2-MN MF 1.(2019安徽淮南寿县第5次月考,19)如图,热气球在离地面800米的A处,在A处测得一大楼楼顶C的俯角 是30°,热气球沿着水平方向向此大楼飞行400米后到达B处,从B处再次测得此大楼楼顶C的俯角是45°,求 该大楼CD的高度.(参考数据: ≈1.41, ≈1.73)   2 3 B组　2018—2020年模拟·提升题组 时间:80分钟　分值:96分 解答题(共96分) 解析　分别延长AB、DC交于点E. ∵AB与地面平行,DC与地面垂直,∴DE⊥AB,∴∠E=90°. 在Rt△CEB中,∠EBC=45°,∴∠ECB=45°,∴EC=BE. 设CE=x(米),则BE=x(米),AE=(x+400)米. 在Rt△AEC中,∠E=90°,∴tan∠CAE= , 即tan 30°= ,解得x=200( +1), 即CE=200( +1)≈200×(1.73+1)=546(米). (6分) ∴CD=800-546=254(米). (9分) 答:大楼CD的高度为254米. (10分) EC AE 400 x x  3 3 2.(2020安徽合肥五十中二模,18)如图,某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高,先在A处用 高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角∠HFE为45°,此时教学楼顶端G恰好在视线FH上,再向前走 10米到达B处,又测得教学楼顶端G的仰角∠GED为60°,点A、B、C三点在同一水平线上. (1)求古树BH的高; (2)求教学楼CG的高.(参考数据: ≈1.4, ≈1.7)   2 3 解析　(1)在Rt△EFH中,∠HEF=90°,∠HFE=45°,∴HE=EF=10米, ∴BH=BE+HE=1.5+10=11.5米, ∴古树的高为11.5米. (2)在Rt△EDG中,∠GED=60°,∴DG=DEtan 60°= DE, 设DE=x米,则DG= x米,在Rt△GFD中,∠GDF=90°,∠GFD=45°, ∴GD=DF=EF+DE,∴ x=10+x,解得x=5 +5, ∴CG=DG+DC= x+1.5= (5 +5)+1.5=16.5+5 ≈25米. 答:教学楼CG的高约为25米. 3 3 3 3 3 3 3 3 思路分析　(1)由∠HFE=45°知HE=EF=10米,据此可求BH;(2)设DE=x米,则DG= x米,由∠GDF=90°,∠ GFD=45°知GD=DF=EF+DE,由此得到关于x的方程求得x,则CG可求. 3 3.(2020安徽临泉第二次调研,22)如图,小明站在江边某瞭望台DE的顶端D处,测得江面上的渔船A的俯角 为40°.若瞭望台DE垂直于江面,它的高度为3米,CE=2米,CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=1∶ 0.75,坡 长BC=10米.(参考数据:sin 40°=0.64,cos 40°=0.77,tan 40°≈0.84) (1)求瞭望台DE的顶端D到江面AB的距离; (2)求渔船A到迎水坡BC的底端B的距离.(结果保留一位小数)   解析　(1)延长DE交AB于点F,过点C作CG⊥AB,垂足为点G, 由题意可知CE=GF=2米,CG=EF, 在Rt△BCG中,∠BGC=90°,∴i= = = , 设CG=4k米,BG=3k米,则BC= =5k米, ∴5k=10,∴k=2,∴BG=6米,∴CG=EF=8米, ∵DE=3米,∴DF=DE+EF=3+8=11米. 答:瞭望台DE的顶端D到江面AB的距离为11米. (2)由题意得∠A=40°,在Rt△ADF中,∠DFA=90°, ∴tan A= ,∴AF= ≈ ≈13.095米, ∴AB=AF-BG-GF=5.095≈5.1米. 答:渔船A到迎水坡BC的底端B的距离为5.1米. CG BG 1 0.75 4 3 2 2CG BG DF AF tan DF A 11 0.84 4.(2020安徽安庆一模,19)为响应“绿色出行,低碳生活”的号召,今年春天,安庆市的街头出现了一道道 绿色的风景线——“共享单车”.图1所示的是共享单车的实物图.图2是共享单车的部分几何示意图,其 中车架档AC长为40 cm,座杆CE的长为18 cm.点A、C、E在同一条直线上,且∠CAB=60°,∠ACB=75°. (1)求车座点E到车架档AB的距离; (2)求车架档AB的长.   解析　(1)如图,过E作EF⊥AB,垂足为F. AE=AC+CE=58 cm, 在Rt△AEF中,∠EFA=90°,∠EAF=60°,AE=58 cm, ∴EF=AE·sin∠EAF=58 sin 60°=29  cm. 答:车座点E到车架档AB的距离为29  cm. (5分)   (2)如图,过C作CG⊥AB,垂足为G, 在Rt△ACG中,∠CGA=90°,∠CAG=60°,AC=40 cm, 3 3 ∴∠ACG=30°, AG=AC·cos∠CAG=40 cos 60°=20 cm, CG=AC·sin∠CAG=40 sin 60°=20  cm. 在Rt△BCG中,∠BGC=90°,∠BCG=∠ACB-∠ACG=45°,CG=20  cm, ∴BG=CG=20  cm, ∴AB=AG+BG=(20+20 )cm. 答:车架档AB的长为(20+20 ) cm. (10分)   3 3 3 3 3 解题关键　作辅助线CG⊥AB,根据特殊角的锐角三角函数值求出AG与CG是解答第(2)问的关键. 5.(2018安徽合肥、安庆大联考,18)如图,在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,AC=20. (1)求BC的长度; (2)若∠ADC=75°,求CD的长.   解析　(1)过点A作AE⊥BC于点E.   在Rt△AEC中,CE=AC·cos 60°=10,AE=AC·sin 60°=10 . 在Rt△AEB中,BE=AE=10 . ∴BC=BE+CE=10+10 . (2)在△ABC中,∠BAC=180°-45°-60°=75°=∠ADC, ∵∠C=∠C, 3 3 3 ∴△ABC∽△DAC, ∴ = , ∴AC2=CD·CB,即202=(10+10 )CD, ∴CD=20( -1). AC DC BC AC 3 3 6.(2019安徽合肥包河一模,19)如图,小明和小亮同时在山顶A和山脚B测得空中不明飞行物P的仰角分别 为30°和60°,已知山的坡角∠ABC=45°,山的高度AC=1 km,求不明飞行物P距地面BC的高PD(结果保留根 号).   解析　作AE⊥PD于E,设不明飞行物P距地面BC的高PD为x千米, 在△ABC中,∠ABC=45°,AC=1千米,所以BC=1千米, (3分) 在△PAE中,∠APE=60°,PE=(x-1)千米,tan 60°= , ∴AE= (x-1)千米, (4分) ∴BD=AE-BC=( x- -1)千米, (5分) 在△PBD中,tan 60°= ,∴ = , (8分) 解得x= , ∴不明飞行物P距地面BC的高为 千米. (10分) AE PE 3 3 3 PD BD 3 - 3-1 x x 3 3 3 2  3 3 2  解题关键　通过作AE⊥PD构造直角三角形PAE,找到BD与PD的关系是解答本题的关键. 7.(2020安徽志诚教育十校联盟二模,19)如图,在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站,AB=2 km,从A测 得船C在北偏东45°的方向,从B测得船C在北偏东22.5°的方向. (1)求∠ACB的度数; (2)船C离海岸线l的距离(即CD的长)为多少?(不取近似值)   解析　(1)由题意得,∠CBD=90°-22.5°=67.5°,∠CAD=45°, ∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=22.5°. (2)作BE∥AC交CD于E, 则∠EBD=∠CAD=45°, ∴DB=DE, ∵DA=DC, ∴CE=AB=2 km, ∵∠ACD=45°,∠ACB=22.5°, ∴∠BCD=22.5°, ∴∠CBE=∠BED-∠BCD=22.5°, ∴∠CBE=∠BCE, ∴BE=CE=2 km, ∴DE= BE=  km,2 2 2 ∴CD=DE+CE=(2+ ) km. 答:船C离海岸线l的距离为(2+ )km.   2 2 8.(2020安徽无为三模,21)如图,一艘船由A港沿北偏东65°方向航行60 海里至B港,然后再沿北偏西40° 方向航行至C港,C港在A港北偏东20°的方向,求A,C两港之间的距离为多少海里. (保留根号)   2 解析　由题意得,∠CAB=65°-20°=45°,∠ACB=40°+20°=60°, AB=60 海里, 如图,过B作BE⊥AC于E,∴∠AEB=∠CEB=90°, 又∵∠EAB=45°,∴∠ABE=45°,∴△ABE是等腰直角三角形, ∴AE=BE= AB= 60海里. (4分) 在Rt△CBE中,∵∠ACB=60°,tan∠ACB= , ∴CE= = =20 海里, ∴AC=AE+CE=(60+20 )海里, ∴A,C两港之间的距离为(60+20 )海里. (8分) 2 2 2 BE CE60 3 3 3 3 9.(2019安徽C20教育联盟一模,19)如图是某款篮球架的示意图,AB⊥BC于点B,底座BC=1.3米,底座BC与 支架AC所成的角∠ACB=60°,点H在支架AF上,篮板底部支架EH∥BC,EF⊥EH于点E,已知AH= 米,HF = 米,HE=1米.   (1)求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数; (2)求篮板底部点E到地面的距离.(精确到0.01米,参考数据: ≈1.41, ≈1.73) 2 2 2 2 3 解析　(1)由题意可得:cos∠FHE= = = , 则∠FHE=45°. (4分) (2)延长FE交CB的延长线于M,过A作AG⊥FM于点G,过点H作HN⊥AG于点N,   在Rt△ABC中,tan∠ACB= ,∴AB=BC·tan 60°=1.3× ≈2.249米,∴GM=AB=2.249米, 在Rt△AHN中,∵∠HAG=∠FHE=45°,sin∠HAG= , ∴sin 45°= ,∴HN=0.5米. HE HF 1 2 2 2 AB BC 3 HN AH 2 2 HN ∴EG=HN=0.5米, ∴EM=EG+GM=2.249+0.5=2.749≈2.75米. 答:篮板底部点E到地面的距离是2.75米. (10分) 难点突破　本题第(2)问的突破口是延长FE交CB的延长线于M,过点A作AG⊥FM于G,过点H作HN⊥AG 于点N,从而构造直角三角形AHN求出HN,问题解决.