九年级数学人教版下册第二十八章锐角三角函数知识点配套练习学案

1 第二十八章 锐角三角函数 知识点 1:锐角三角函数 一、锐角三角函数的概念 1.正弦：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA，即 斜边 的对边AA sin . 2.余弦：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作 cosA，即 斜边 的邻边AA cos 3.正切：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 tanA，即 的邻边 的对边 A AA  tan 二、锐角三角函数之间的关系 1.同角： ① 1cossin 22  AA ② AA A tancos sin  2.互余的两锐角： ①若∠A+∠B=90°，那么 ,cossin BA  .sincos BA  ②若∠A+∠B=90°，那么 1tantan  BA 三、30°，45°，60°角的三角函数值及有关计算 30° 45° 60° 2 sin 2 1 2 2 2 3 cos 2 3 2 2 2 1 tan 3 3 1 3 例 1：已知 ,5 4sin   为锐角，求 cos 和 tan 的值. 例 2：将一副三角尺（Rt△ABC 与 Rt△BDC）如图所示摆放在一起，连接 AD，试求∠ADB 的 正切值. 3 例 3： （1）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为 1，点 A,B,O 都在格点上，则∠AOB 的正弦 值是___________. （1） （2） （2）如图，网格中的每个小正方形的边长都是 1，△ABC 的每个顶点都在格点上，则∠BAC 的余弦值是_____________. 例 4：如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=9，BC=12，把△BCD 沿对角线 BD 折叠使点 C 落在点 C’ 处，BC’交 AD 于点 G，则 ABGsin 的值为（ ） A. 7 25 B. 24 7 C. 25 24 D. 25 7 4 例 5：已知 ，＜＜＜  9030  则     cos12 3coscoscos 2 _________. 例 6：如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，∠B=30°，∠C=45°，BD=10，求 AC 的长. 例 7：如图，CD 是 Rt△ABC 斜边上的高，AC=4，BC=3，求 BCDcos 的值. 5 例 8:如图，已知⊙O 试△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，连接 CD.若 AD=3，AC=2，则 cosB 的值（ ） A. 2 3 B. 3 5 C. 2 5 D. 3 2 例 9：如图，在平面直角坐标系中，点 A 在第一象限内，点 B 的坐标为（3，0），OA=2，∠ AOB=60°. （1）求点 A 的坐标； （2）若直线 AB 交 y 轴于点 C，求△AOC 的面积. 例 10：如图，在平面直角坐标系中，0 为原点，点 A 的坐标为（10,0），点 B 在第一象限内， BO=5, 5 3sin BOA . 求：（1）点 B 的坐标；（2）cos∠BAO 的值. 6 例 11：已知 为锐角，且 tan 是方程 0322  xx 的一个根，求   15tan3cossin2 22  的值. 例 12：已知关于 x 的一元二次方程 02  nmxx 的两个根分别是一个直角三角形两锐角 的余弦值，且 5 1-  mn ，求 m,n 的值. 练习： 1.如图，在△ABC 中，点 D 在 AC 上，且点 A,B,C,D 均在格点上，则 cosA 的值为（ ） A. 3 3 B. 5 5 C. 3 32 D. 5 52 2. 如图，直径为 10 的⊙A 经过点 C（0,5）和点 O（0,0），点 B 是 y 轴右侧⊙A 上的一点， 则∠OBC 的余弦值是（ ） 7 A. 2 1 B. 5 3 C. 2 3 D. 5 4 3.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，sinB= 5 3 ，点 D 在 BC 边上且∠ADC=45°，CD=6，求∠BAD 的正切值. 4.如图，在正方形 ABCD 中，M 为 AD 的中点，E 为 AB 上一点且 BE=3AE，求 ECMsin 的值. 8 5.如图，在四边形 ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC=30°，AD=3，BC=15，求 tan∠ABD 的值. C 6.如图，已知一次函数 y=kx+b（b≠0）的图象经过点 A（-2，-1），B（1,3）两点且交 x 轴 于点 C，交 y 轴于点 D. （1）求一次函数的解析式； （2）求 tan∠OCD 的值； （3）求证：∠AOB=135°. 知识点 2：解直角三角形及其应用 9 一、解直角三角形 1.边角关系：勾股定理、三角函数（边、角之间的关系） 2.解直角三角形的类型 （1）两边； （2）一边一角 例：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形. 3.解非直角三角形：构造直角三角形 例：如图，在△ABC 中，∠B=45°，∠ACB=75°，AC=2，求 BC 的长. 二、解直角三角形再实际问题中的应用 1.一般步骤： （1）将实际问题抽象为数学问题； （2）根据问题中的条件，选用合适的锐角三角函数解直角三角形； 10 （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案. 2.六种基本表现形式* 例 1：被誉为东昌三宝之首的铁塔，始建于北宋时期，是山东聊城市现存的最古老的建筑， 铁塔由塔身和塔座两部分组成.为了测得铁塔的高度，小莹利用自制的测角仪，在 C 点测得 塔顶 E 的仰角为 45°，在 D 带你测得塔顶 E 的仰角为 60°，已知测角仪 AC 的高为 1.6m， CD 的长为 6m，CD 所在的水平线 CG⊥EF 于点 G，求铁搭 EF 的高（结果精确到 0.1m） 例 2：如图，海上有一灯塔 P，在它周围 6n mile 内有暗礁.一艘轮船以 18n mile/h 的速 度由西向东方向航行，行至点 A 处测得灯塔 P 在它北偏东 60°的方向上.继续向东行驶 20min 后，到达 B 处又测得灯塔 P 在它北偏东 45°的方向上.如果轮船不改变方向继续前进，有没 有触礁的危险？ 11 例 3：如图，梯形 ABCD 是拦水坝的横断面图.∠B=60°，AB=6m，AD=4m，求拦水坝的横断面 ABCD 的面积.（结果取整数，参考数据： 414.12732.13  ， ） 综合练习： 1.如图，在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC 的面积（结果可保留根号）. 2.如图，在△ABC 中，已知 AC=2，∠B=30°，∠A 的 120°，求△ABC 的面积（结果可保留 根号）. 12 3.如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，点 E 为边 AC 的中点，BC=14，AD=12，sinB= 5 4 , 求：（1）线段 CD 的长；（2）tan∠EDC 的值. 4.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于点 E， ,9,2 1tan  AEB 求 DE 的长. 13 5.如图，已知四边形 ABCD，∠ABC=120°，AD⊥BA，CD⊥BC，AB=30 3 ，BC=50 3 ，求四 边形 ABCD 的面积. 14 6.如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 N，点 M 在⊙O 上，∠1=∠C. （1）求证：CB∥MD. （2）若 BC=4，sinM= 3 2 ，求⊙O 的直径. 7.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极 强的破坏力.据气象台观测，某台风最大风力为 12 级，每远离台风中心 20km，风力就会减 弱一级.如图，该台风中心（B 点）现正在某城市 A 的正南方 220km 处以 15km/h 的速度沿北 偏东 30°方向往 C 移动，且台风中心风力不变.若城市所受风力达到或超过 4 级，则称为受 台风影响. （1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由. （2）若受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ （3）该城市受台风影响的最大风力为几级？ 15 8.如图，在大楼 AB 的正前方有一斜坡 CD，CD=4m，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点 C 处测得楼顶 B 的仰角为 60°，在斜坡上的点 D 处测得楼顶 B 的仰角为 45°，其中点 A,C,E 在同一直线上. （1）求斜坡 CD 的高度 DE； （2）求大楼 AB 的高度（结果保留根号）. 9.某数学活动小组组织一次登山活动.他们从山脚下 A 点出发沿斜坡 AB 到达 B 点，再从 B 点沿斜坡 BC 到达山顶 C 点，路线如图，斜坡 AB 的长为 1040 米，斜坡 BC 的长为 400 米，在 C 点测得 B 点的俯角为 30°.已知 A 点海拔 121 米，C 点海拔 721 米. （1）求 B 点的海拔；（2）求斜坡 AB 的坡度. 16 10.如图，一巡逻艇航行至海绵 B 处时，得知其正北方向上 C 处一渔船发生故障，已知港口 A 在 B 处的北偏西 37°方向上，距 B 处 20 海里；C 处在港口 A 的北偏东 65°方向上，求 B， C 之间的距离（结果精确到 0.1 海里） 11.如图，某居民楼 I 高 20m，窗户朝南.该楼内一楼住户的窗台离地面距离 CM 为 2m，窗户 CD 高 1.8m.现计划在 I 楼的正南方距 I 楼 30m 处新建一居民楼 II.当正午时刻太阳光线与底 面成 30°角时，要使 II 楼的影子不影响 I 楼所有住户的采光，新建 II 楼最高只能建多少 米？ 17 12.为了测量一颗大叔的高度，准备了如下测量工具：①镜子；②皮尺；③长为 2m 的标杆； ④高为 1.5m 的测角仪（能测量仰角和俯角的仪器）.请根据你所设计的测量方案，回答下列 问题： （1）在你设计的方案中，选用的测量工具是________； （2）在图中画出你的测量方案示意图； （3）你需要测量示意图中哪些数据，并用 a,b,c，α等字母表示测得的数据________; （4）写出求树高的算式，AB=__________. 18 13.某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距 40km 的 A、B 两地，分别有甲、乙两个 医疗站，如图，在 A 地北偏东 45°、B 地北偏西 60°方向上有一牧民区 C.一天，甲医疗站 接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案： 方案 1：从 A 地开车沿公路到离牧民区 C 最近的 D 处，再开车穿越草地沿 DC 方向到牧民区 C； 方案 2：从 A 地开车穿越草地沿 AC 方向到牧民区 C. 已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的 3 倍. （1）求牧民区到公路的最短距离 CD. （2）你认为这两种救助方案，哪一种方案比较合理？并说明理由.（结果精确到 0.1km；参 考数据： 414.12732.13  ， ）