北师大版数学七年级下册1.5.2平方差公式的应用学案

章节名称 第一章整式的乘除 第 5 节第二课时 平方差公式（2） 教材分析 本节选自北师大版七年级数学下册第一章第五节第二课时平方差公式 的运用。通过几何画板演示拼接图形的过程，给出平方差公式的几何解释， 发展学生的几何直观。而后由特例引出平方差公式之于简化运算的作用， 通过对特例的归纳、猜想、符号表示，将规律一般化，让学生在这一系列 数学活动中归纳并利用平方差公式模型解决数学运算问题的方法。与此同 时，在每个教学环节中渗透数学思想，如验证平方差公式过程中体现的数 形结合思想，在简化运算过程中体现的从特殊到一般、转化与化归思想， 在巩固提高环节体现的数形结合、转化与化归思想等等。 本节是对上一节课平方差公式的进一步巩固，也是对平方差公式的一 个拓展——平方差公式的几何背景、应用平方差公式解决数的简便运算问 题；并从中体会数形结合思想和建模思想。同时本节课也为另一个乘法公 式——完全平方公式的运用的类比学习奠定了技能基础和活动经验基础。 学情分析 学生在上节课经历了平方差公式的探索和推导过程，积累了一定的数 学活动经验，培养了符号感和推理能力，具备一定的自主探究和合作探究 的意识和能力。上节课也要求学生能够运用平方差公式进行整式的简单计 算，通过有理数的运算、整式的运算等基础知识及基本技能的学习也为本 节课的学习提供了知识技能基础。 教学目标 （一）知识与技能 1.通过实例，了解平方差公式的几何背景，会运用平方差公式进行一些简 便运算； （二）过程与方法 1. 通过观察图形的拼接，验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景， 发展几何直观，从中体会数形结合的数学思想； 2. 通过探索规律，在数学活动中建立平方差公式模型，从而归纳出利用平 方差公式解决数学简便运算问题的方法，体会符号运算对解决问题的作用， 培养学生观察、归纳等能力。 （三）情感、态度与价值观 在数学活动中培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能 力与探索精神，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验。 教学重难点 1. 教学重点：熟练运用平方差公式 2. 教学难点：正确运用平方差公式，体会其对解决问题的作用 教学策略 与方法 本节课采用讲授法、启发式教学法、讨论法等多种教学方法。 首先通过几何画板展示几何图形的拼接过程，以问题为驱动，启发学 生从两种拼接方法中分别计算出其面积，体现等面积法，从而感受平方差 公式的几何背景，并体会数形结合这一数学思想。 其次，从学生生活中的实例引入，激发学生的学习兴趣，引导学生在 独立思考后进行小组交流讨论，经历观察、猜想、验证等过程，从而归纳 出运用平方差公式解决数字简便运算的一般方法，进一步加深对知识的理 解并学以致用，体会从特殊到一般的思想方法。 教学媒体 与资源 导学案、投影仪、几何画板、PPT 教学过程 教学 环节 教学内容 教师行为与 学生行为 设计意图 一、 自 主 学 习 1. 在下列多项式乘法中，可以用平方差公式 计算的是( ) A．(2a－3b)(－2a＋3b) B．(－3a＋4b)(－4b－3a) C．(a＋1)(－a－1) D．(a2－b)(a＋b2) 2. 下列计算正确的是（ ） A a2·an=a2n B（x4）5=x9 C（x2y）3=x2y3 D（—a+b）（a+b）=b2— a2 师： 1. 引导学生自主 完成习题 2. 引导学生用准 确的语言表述求解 的过程 生： 1. 独立完成问题 2.回答并解释答案 通过回顾旧知导入 本节学习内容，为 进一步应用平方差 公式建立知识储 备，引导学生利用 已学知识解决问题 3. 计算： （mn-3n）（mn+3n） 2）（5m-n）（-5m-n） 二、 互 助 探 究 探究一： 平方差公式的几何背景 1. 探究一：如图所示 1）从边长为 a 的大正方形中剪去边长为 b 的 小正方形 则剩余图形的面积为_________________ 2）将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方 形的长是_______；宽是________；则它的面 积是________________ 3）比较（1）和（2）的结果，你能验证平方 差公式吗？ _______________________________________ _____________________________________ 师： 1. 操作几何画板 ——验证平方差公 式，展示图形拼接 过程 2. 以问题为驱动， 引导学生发现平方 差公式的几何意 义。 3. 渗透数形结合 的数学思想 生： 1. 认真观察教师 所展示的图片拼接 过程 2. 独立思考并完 成问题 3. 同桌间交流，积 极举手发言。 通过演示图片 拼接的过程，令学 生直观的感受到拼 接过程中面积保持 不变，发展几何直 观，将数形结合思 想渗透其中。 以问题为驱 动，循序渐进，层 层深入，有引导性 的让学生发现这一 规律。 探究二： 运用平方差公式简化计算 1. 情境导入：王同学去商店买了单价是 10.2 元/kg 的棒棒糖 9.8 千克。售货员刚 拿起计算器，王同学就已经说出了总价 99.96 元。售货员惊讶的发现，结果正是 99.96，于是不禁好奇：“你简直就是神童！ 怎么算的这样快？”王同学说：“过奖了， 这是因为我利用了数学上刚学过的一个 公式” 问：你知道王同学用的是一个什么样的 公式吗？ （平方差公式） 2. 下列两个算式能用平方差公式计算 吗？若能，请写出计算过程；若不能， 请说明理由。 1）103×97 2）118×122 （独立思考+小组讨论+小组代表分享） 3. 归纳：满足什么条件时可运用平方差 公式？计算时有哪些地方需要注意？ （独立思考+小组讨论+小组代表分享） 4. 用平方差公式计算下列两个算式： 1）a2（a+b）（a-b）+a2b2 2）（2x-5）（2x+5）—2x（2x-3） （独立完成+同桌交流） 师： 1. 提问并鼓励学 生回答问题 2. 把控学生自主 思考时间，适时组 织学生讨论 4. 及时反馈小组 代表分享的观点， 并根据学生的回答 归纳、强调进行数 字简便运算的方 法。 5. 根据学生投影 的答案，规范书写 生： 1. 根据教师的指 引，按照要求完成 学习任务 2. 独立思考、积极 参与讨论 3. 大方展示与分 享、结合投影讲解 以贴合学生实 际的问题情境导 入，能够吸引学生 的注意力，提高学 生学习的兴趣和积 极性。 以特例引入， 后引导学生思考利 用平方差公式的条 件、发现规律，利 用符号语言提炼出 一般的解决方法， 体现从一般到特殊 的思想方法。 在组织交流讨 论前，给学生足够 的思考问题的时间 与空间，发展学生 的思维。同时通过 小组讨论，体现同 伴互助的重要性， 培养学习上存在困 难时勇敢向别人求 助的意识，培养学 生沟通、交流、合 作的能力。 三、 巩 固 1. 观察下方图形，从图 1 到图 2 的变化 过程可以发现的代数结论是( ) A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 B．a2－b2＝(a＋b)(a－b)[来源:学+科 通过不同的问 题形式（选择题、 填空题、解答题）， 提 高 C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 2. 下列运算正确的是（ ） A．a2•a3=a6 B．（a2）3=a5 C．2a2+3a2=5a6 D．（a+2b）（a﹣2b）=a2﹣4b2 3. 若(x＋1)(x－1)(x2＋1)(x4＋1)＝xn－1， 则 n 等于( ) A．16 B．8 C．6 D．4 4. 计算 2 0162－2 015×2 017 的结果是 ( ) A．2 B．－2 C．－1 D．1 5. 已知 a+b=3，a﹣b=5，则代数式 a2﹣ b2 的值是 ． 6. 计算： 1）204×196； 2）（2a+b）（2a-b）－2a（2a+4） 【反馈提高】 7. 王大伯家把一块边长为 a 米的正方形 土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对 李大妈说：“我把这块地一边减少 4 米， 另外一边增加 4 米，继续原价租给你， 你看如何？”李大妈一听，就答应了．你 认为李大妈吃亏了吗？为什么？ 师： 1. 巡堂并指导学 生 2. 根据学生的作 答及时反馈 3. 适时提问、引导 学生订正并提点思 想方法（提高题 7 可数形结合，提高 题 8 利用转化与化 归） 生： 1. 自主完成题目， 有疑问时与同学讨 论或举手示意 2. 部分学生板演 3. 主动分享解题 方法 以及不同的考查方 向（平方差公式的 运用与逆用），多方 位、多角度的检测 与巩固当堂所学知 识，在练习中发现 学生问题并纠正， 强化当堂知识。 通过设置题目 不同的难度梯度， 满足各层次学生的 需求，使得各层次 的学生都能够得到 提高。 8. 试比较 7×9×(26＋1)(212＋1)与 224－1 的大小． 四、 课 堂 小 结 1、本节课你学习到什么知识？ （1）平方差公式 （2）平方差公式的几何背景 （3）运用平方差公式进行简便运算 2、本节课你了解到解决问题有什么思想 方法？ 3、本节课所学内容中，你发现易错点在 哪里？ 师：提问与引导 生：分享本节课收 获 让学生对所学习的 知识能够有更好的 理解和把握，加深 学生对所学知识的 印象，系统的认识 知识点间的相互联 系，帮助学生构建 自己的知识体系 五、 作业 布置 1、完成练习册§1.5.2 平方差公式（二） 2、一道错题 学生独立完成、当 日反思 让学生巩固当天所 学知识，内化提高。 板书 设计 §1.5.2 平方差公式（二） 1. 平方差公式： 22 b-ab-aba =+ ））（（ 2. 几何背景（等面积法） （数形结合） 3. 简便运算（转化与化归） 例：103×97 解：原式＝（100+3）（100-3） ＝1002－32 ＝10000-9 ＝9991