人教版数学七年级下册第五章5.1.2垂线课件

第五章 5.1.2 垂线 人教版数学七年级下册 如图所示是北京天安门 广场庄严隆重的升国旗仪式， 是亿万中国人民特别关注的 活动.众所周知，1949年10 月1日，毛泽东主席在天安 门城楼上用洪亮的声音向全 世界宣告中华人民共和国诞 生，亲手升起了第一面五星 红旗. 导入新知 天安门广场的升国旗仪式一招一式欣赏性极强， 人们概括有“五绝”.一绝：升旗；二绝：护旗；三绝： 敬礼；四绝：礼毕；五绝：收旗.其中的每招每式都有 极其严格的要求.每一次，当擎旗手以优美的动作，在 国歌奏响第一个音符时，将国旗展开抛出，到国歌的 最后一个音符终止，都是2分07秒，国旗也准时到达30 米高的旗杆顶端，做到了分秒不差.可是，你看着旗杆 与地面，会想到旗杆与地面有怎样的位置关系呢？ 1.认识生活中的垂直现象,理解垂直定义,并 能用符号表示.掌握垂线的性质,会过一点作已 知直线的垂线. 2.经历垂线画法,垂线的性质以及点到直线 的距离的探索过程,尝试从不同角度寻求垂线的 画法,用不同方法得到垂线的性质. 学习目标 1 垂直的定义 当转动一木条 的位置时，什么也 随着发生了变化？ 合作探究 a b 在同一平面内，如 果两条直线相交成直角， 就说这两条直线互相垂 直. 垂足 垂 线 垂 线 定义：在两条直线AB和CD相交所成的4个角中， 如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直； 记作“AB⊥CD”，读作“AB垂直于CD”；其中 一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点O 叫做垂足．如图. 导引： 要判断OE，OF是什么位置关 系，其实质是说明OE，OF是 否垂直，即要看∠EOF是否为 90°；要让∠EOF＝90°，需说明∠EOF＝ ∠AOC或∠EOF＝∠BOC都可，这样就把问题 转化为说明∠AOE＝∠COF(已知)了． 例1 如图，CO⊥AB于点O，∠AOE＝∠COF，则射 线OE，OF是什么位置关系？请说明理由． 解：射线OE，OF互相垂直．理由如下： 因为CO⊥AB，所以∠AOC＝90°. 又因为∠AOE＝∠COF， 所以∠AOE＋∠COE＝∠COF＋∠COE， 即∠AOC＝∠EOF＝90°.  所以OE与OF互相垂直(垂直定义)． 判断两直线(线段、射线所在直线)互相垂直，主要 依据是垂直定义，只要说明两条相交直线所构成的四 个角中有一个角是直角即可． 新知小结 导引：根据∠AOC与∠BOD是对顶角， 且∠BOD与∠BOE互余，即可 求出∠AOC的度数；根据OD平 分∠BOF，∠EOF＝∠BOE＋∠BOF即可求出 ∠EOF的度数；根据∠AOF与∠BOF互补可求得 ∠AOF的度数． 例2 如图，直线AB，CD相交于点O，过O点画射线OE， OF，使OE⊥CD，OD平分∠BOF.如果∠BOE＝ 50°，求∠AOC，∠EOF和∠AOF的度数． 合作探究 解：因为OE⊥CD，所以∠DOE＝90°(垂直定义)． 因为∠BOE＝50°， 所以∠AOC＝∠BOD＝∠DOE－∠BOE＝ 90°－50°＝40°. 因为OD平分∠BOF， 所以∠BOF＝2∠BOD＝80°. 所以∠EOF＝∠BOF＋∠BOE＝80°＋50°＝130°， ∠AOF＝∠AOB－∠BOF＝180°－80°＝100°. 1 当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条 直线有什么位置关系？为什么？ 当两条直线相交，所成的四个角都相等时，这两条 直线互相垂直．理由：设所成的四个角中有一个角 的度数为m°，则其余三个角的度数分别为180°－ m°，m°，180°－m°，由题意知，m°＝180° －m°，得m°＝90°，所以180°－m°＝90°， 所以这两条直线互相垂直．  解： 巩固新知 如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O， 若∠1＝145°，则∠3的度数为(  ) A．35° B．45° C．55° D．65° 2 C 【中考·德宏州】如图，三条直线相交于点O， 若CO⊥AB，∠1＝56°，则∠2等于(  ) A．30° B．34° C．45° D．56° 3 B 如图，点O在直线AB上，且OC⊥OD，若∠COA ＝36°，则∠DOB的大小为(  ) A．36° B．54° C．55° D．44° 4 B 如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分 ∠AOC，ON⊥OM.若∠AOM＝35°，则∠CON 的度数为(  ) A．35° B．45° C．55° D．65° 5 C 已知在同一平面内： ①两条直线相交成直角； ②两条直线互相垂直； ③一条直线是另一条直线的垂线． 那么下列因果关系：①→②③；②→①③； ③→①②中，正确的有(  ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6 D 2 垂线的画法 用三角尺画垂线的方法： 一贴，用三角尺的一条直角边贴住已知直线； 二靠，用三角尺的另一条直角边靠住已知点； 三画，画出垂线． 如果作线段互相垂直或作射线的垂 线，实际上是作线段所在的直线互相垂直，或作射线 所在的直线的垂线，因为射线和线段都是直线的一部 分．在垂线的画法中，有时需延长线段，垂足在延长 线上，并记上直角符号“﹁”． 合作探究 注意：画垂线也可用以下两种方法： (1)利用量角器画；(2)用折叠法画． 例3 如图，M是三角形ABC中BC边上的任意一点，请 你按照下列要求画图： (1)过M点画直线AB的垂线m； (2)过M点画直线BC的垂线n； (3)过M点画直线AC的垂线p. 导引：观察图形不难看出，(1)(3)属于过直线外一点画 已知直线的垂线，(2)属于过直线上一点画已知 直线的垂线，所以按照“一靠、二过、三画” 的方法画图即可． 解：画出的直线m，n，p如上页图. 过已知点画已知直线的垂线，实际上就是过已知 点画一条直线，使所画直线与已知直线相交所成的角 是90°. 新知小结 过一条线段外一点，作这条线段的垂线，垂足 在(  ) A．这条线段上 B．这条线段的端点处 C．这条线段的延长线上 D．以上都有可能 1 D 巩固新知 3 垂线的性质 探究 如图. (1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条? (2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？ (3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？ 合作探究 经过一点(已知直线上或直线外)，能画出已知直 线的一条垂线，并且只 能画出一条垂线.即 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知 直线垂直. 新知小结 在平面内，不是在空间内，这是需要注意的条件: 其中，一点可以是直线上一点也可以是直线外一点； “有且只有”中的“有”是指能画出一条已知直线的 垂线，即存在性，“只有”是指只能画一条，即唯 一性． 例4〈厦门〉如图，已知直线AB，CB，l在同一平面内， 若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合 题意的图形可以是(  )C 合作探究 导引：根据题意可知，过点B有AB，CB都与直线l垂直， 由垂线的性质可知，在同一平面内，过一点有且 只有一条直线与已知直线垂直，所以A、B、C三 点在一条直线上． 利用直线的性质解答题目，要注意直线性质满足的条件： 1. 在平面内； 2. 过一点，点的位置可以在直线上也可以在直线外； 3. 相交所成的角必须是直角，以上三条缺一不可. 新知小结 在同一平面内，下列语句正确的是(  ) A．过一点有无数条直线与已知直线垂直 B．和一条直线垂直的直线有两条 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．若两直线相交，则它们一定垂直 1 C 巩固新知 如图，如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a， 那么OM与ON重合(即O，M，N三点共线)，其理 由是(  ) A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过两点有且只 有一条直线与已知直线垂直 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已 知直线垂直 D．两点之间，线段最短 2 C 以下几个方面由学生自己总结: ① 垂线的定义及垂直的符号表示; ② 垂线的有关性质; ③ 过一点作已知直线的垂线的方法. 1 归纳新知 (1)在图①中，过AB外一点M作AB的垂线； (2)在图②中，过点A，B分别作OB，OA的垂线． 2 易错小结 解：(1)如图①所示． (2)如图②所示． 本题易错之处在于误认为垂足一定落在线段或 射线上． 易错点：误认为垂足一定要在线段或射线上而导致 错误. 互相垂直 AB⊥CD ∠AOC＝∠BOC＝∠BOD＝∠AOD＝90° 课后练习 B C B D 用三角尺的一条直角边靠在已知直线上 使已知点落在另一条直角边上 过已知点画出与已知直线垂直的直线 C 有且只有 上 存在 唯一     D B 【答案】A 再见