8.4.1平面课时作业高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册第八章立体几何初步

2021 年高中数学人教 A 版（新教材）8.4.1 平 面 一、选择题 1.下列有关平面的说法正确的是( ) A.平行四边形是一个平面 B.任何一个平面图形都是一个平面 C.平静的太平洋面就是一个平面 D.圆和平行四边形都可以表示平面 2.下列命题中正确的是( ) A.空间三点可以确定一个平面 B.三角形一定是平面图形 C.若 A，B，C，D 既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合 D.四条边都相等的四边形是平面图形 3.已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有( ) A.1 条或 2 条 B.2 条或 3 条 C.1 条或 3 条 D.1 条或 2 条或 3 条 4.已知α，β为平面，A，B，M，N 为点，a 为直线，下列推理错误的是( ) A.A∈a，A∈β，B∈a，B∈β ⇒ a ⊂ β B.M∈α，M∈β，N∈α，N∈β ⇒ α∩β＝MN C.A∈α，A∈β ⇒ α∩β＝A D.A，B，M∈α，A，B，M∈β，且 A，B，M 不共线 ⇒ α，β重合 5.空间四点 A，B，C，D 共面而不共线，那么这四点中( ) A.必有三点共线 B.必有三点不共线 C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线 6.在空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上分别取 E，F，G，H 四点，若 EF 与 HG 交于点 M，则( ) A.M 一定在直线 AC 上 B.M 一定在直线 BD 上 C.M 可能在 AC 上，也可能在 BD 上 D.M 不在 AC 上，也不在 BD 上 7.(多选题)已知 A，B，C 表示不同的点，l 表示直线，α，β表示不同的平面，则 下列推理正确的是( ) A.A∈l，A∈α，B∈l，B∈α ⇒ l ⊂ α B.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β ⇒ α∩β＝AB C.l⊄α，A∈l ⇒ A∉α D.A∈α，A∈l，l⊄α ⇒ l∩α＝A 8.(多选题)如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，若 E，F，G 分别为棱 BC，CC1， B1C1 的中点，O1，O2 分别是四边形 ADD1A1，A1B1C1D1 的中心，则( ) A.A，C，O1，D1 四点共面 B.D，E，G，F 四点共面 C.A，E，F，D1 四点共面 D.G，E，O1，O2 四点共面 二、填空题 9..平面α，β相交，α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________ 个平面. 10.给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两 相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的 三条直线确定三个平面.其中正确的个数是________. 11.(1)空间任意 4 点，没有任何 3 点共线，它们最多可以确定________个平面. (2)空间 5 点，其中有 4 点共面，它们没有任何 3 点共线，这 5 个点最多可以确 定________个平面. 三、解答题 12.如图，若α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且 AB 与 l 不平行，试画出平面 ABC 与 平面α，β的交线. 13.已知△ABC 在平面α外，其三边所在的直线满足 AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α ＝R，如图所示，求证：P，Q，R 三点共线. 14.如图，在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB 和 CB 上的点，G，H 分别是 CD 和 AD 上的点，且AE EB ＝CF FB ＝1，AH HD ＝CG GD ＝2.求证：EH，BD，FG 三条直线 相交于同一点. 参考答案及解析 1.答案:D 解析:我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面，故 A 项 不正确；平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，而平面无法度量， 故 B 项不正确；太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故 C 项不正确；在需 要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面，故 D 项正确. 2.答案:B 解析:共线的三点不能确定一个平面，故 A 错；当 A，B，C，D 四点共线时，这 两个平面可以是相交的，故 C 错；四边都相等的四边形可以是空间四边形. 3.答案:D 解析:当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有 1 条交线；当平面β和γ平行 时，它们的交线有 2 条；当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有 3 条交线. 4.答案:C 解析:∵A∈α，A∈β，∴A∈(α∩β). 由基本事实可知α∩β为经过 A 的一条直线而不是 A. 故α∩β＝A 的写法错误. 5.答案:B 解析:如图①②所示，A，C，D 均不正确，只有 B 正确. 6.答案:A 解析:由题意得 EF ⊂ 平面 ABC，HG ⊂ 平面 ACD，又 EF∩HG＝M，故 M∈平面 ABC，且 M∈平面 ACD，又平面 ABC∩平面 ACD＝AC，所以 M 一定在直线 AC 上. 7.答案:ABD 解析:显然 A，B，D 正确.C 中 l⊄α分两种情况：l 与α相交或 l∥α.当 l 与α相交时， 若交点为 A，则 A∈α，C 错误.故选 ABD. 8.答案:ACD 解析:因为正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F，G 分别为棱 BC，CC1，B1C1 的中 点，O1，O2 分别为四边形 ADD1A1，A1B1C1D1 的中心，所以 O1 是 AD1 的中点， 所以 O1 在平面 ACD1 内，故 A 正确；因为 E，G，F 在平面 BCC1B1 内，D 不在 平面 BCC1B1 内，所以 D，E，G，F 四点不共面，故 B 错误；由已知可知 EF∥AD1， 所以 A，E，F，D1 四点共面，故 C 正确；连接 GO2 并延长，交 A1D1 于 H，则 H 为 A1D1 的中点，连接 HO1，则 HO1∥GE，所以 G，E，O1，O2 四点共面. 9.答案:1 或 4 解析:(1)当四点确定的两条直线平行或相交时，则四个点确定 1 个平面； (2)当四点确定的两条直线不共面时，这四个点能确定 4 个平面，如三棱锥的顶 点和底面上的顶点. 10.答案:0 解析:命题①错，因为在空间中这两条直线可能既不相交也不平行，即不在同一 平面内；命题②错，若交于同一点时，可以不共面，如正方体同一顶点的三条棱； 命题③错，这三个不同公共点可能在它们的公共交线上；命题④错，两两平行的 三条直线也可在同一个平面内.所以正确命题的个数为 0. 11.答案:(1)4 (2)7 解析:(1)可以想象三棱锥的 4 个顶点，它们总共确定 4 个平面. (2)可以想象四棱锥的 5 个顶点，它们总共确定 7 个平面. 12.解:∵若α∩β＝l，A，B∈α， ∴AB 是平面 ABC 与α的交线. 延长 BA 交 l 于 D，则 D∈平面 ABC， ∵C∈β， ∴CD 是平面 ABC 与β的交线， 则对应的图示如图. 13.证明:法一 ∵AB∩α＝P， ∴P∈AB，P∈平面α. 又 AB ⊂ 平面 ABC， ∴P∈平面 ABC. ∴由基本事实 3 可知：点 P 在平面 ABC 与平面α的交线上，同理可证 Q，R 也在 平面 ABC 与平面α的交线上. ∴P，Q，R 三点共线. 法二 ∵AP∩AR＝A， ∴直线 AP 与直线 AR 确定平面 APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R， ∴平面 APR∩平面α＝PR. ∵B∈平面 APR，C∈平面 APR， ∴BC ⊂ 平面 APR. ∵Q∈BC， ∴Q∈平面 APR， 又 Q∈α，∴Q∈PR， ∴P，Q，R 三点共线. 14.证明:连接 EF，GH，AC. 因为AE EB ＝CF FB ＝1，AH HD ＝CG GD ＝2， 所以 EF∥AC，HG∥AC 且 EF≠HG， 所以 EH，FG 共面，且 EH 与 FG 不平行， 不妨设 EH∩FG＝P， 则 P∈EH，EH ⊂ 平面 ABD， 所以 P∈平面 ABD； 同理 P∈平面 BCD. 又因为平面 ABD∩平面 BCD＝BD， 所以 P∈BD， 所以 EH，BD，FG 三条直线相交于同一点 P.