8.直线与平面垂直的判定课时作业高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册第八章立体几何初步

2021 年高中数学人教 A 版（新教材）8.6.2 直线与平面垂直第一课时 直线与平面垂 直的判定 一、选择题 1.已知直线 m，n 是异面直线，则过直线 n 且与直线 m 垂直的平面( ) A.有且只有一个 B.至多有一个 C.有一个或无数个 D.不存在 2.线段 AB 的长等于它在平面α内的射影长的 2 倍，则 AB 所在直线与平面α所成 的角为( ) A.30° B.45° C.60° D.120° 3.已知 m 和 n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条 件中，一定能推出 m⊥β的是( ) A.α∥β，且 m ⊂ α B.m∥n，且 n⊥β C.m⊥n，且 n ⊂ β D.m⊥n，且 n∥β 4.空间四边形 ABCD 的四边相等，则它的两对角线 AC，BD 的关系是( ) A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直 C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交 5.如图所示，定点 A 和 B 都在平面α内，定点 P∉α，PB⊥α，C 是平面α内异于 A 和 B 的动点，且 PC⊥AC，则△ABC 为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 13.(多选题)如图，在以下四个正方体中，直线 AB 与平面 CDE 垂直的是( ) 二、填空题 7.如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点， 若∠B1MN 是直角，则∠C1MN＝________. 8.平行四边形 ABCD 的对角线交点为 O，点 P 在平行四边形 ABCD 所在平面外， 且 PA＝PC，PD＝PB，则 PO 与平面 ABCD 的位置关系是________. 9.如图，四棱锥 S－ABCD 底面为正方形，SD⊥底面 ABCD，则下列结论中正确 的有________个. ①AC⊥SB； ②AB∥平面 SCD； ③SA 与平面 ABCD 所成的角是∠SAD； ④AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SC 所成的角. 10.已知三棱锥 S－ABC 中，底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形，SA 垂直于底 面 ABC，SA＝3，那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为________. 11.在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，BC＝CC1，当底面△A1B1C1 满足条件________ 时，有 AB1⊥BC1(答案不唯一，填上你认为正确的一种条件即可). 三、解答题 12.如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是棱 AB，BC 的中点，O 是 底面 ABCD 的中心，求证：EF⊥平面 BB1O. 13.如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点， AN⊥PM，N 为垂足. (1)求证：AN⊥平面 PBM； (2)若 AQ⊥PB，垂足为 Q，求证：NQ⊥PB. 14.如图，已知 AA1⊥平面 ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2 5，AA1＝ 7， BB1＝2 7，点 E 和 F 分别为 BC 和 A1C 的中点. (1)求证：EF∥平面 A1B1BA； (2)求证：直线 AE⊥平面 BCB1； (3)求直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小. 参考答案及解析 1.答案：B 解析：若异面直线 m，n 垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在. 2.答案：C 解析：如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则 BC 是 AB 在平面α内的射影，且 BC＝1 2AB， ∠ABC 为 AB 所在直线与平面α所成的角. 在 Rt△ABC 中，cos∠ABC＝BC AB ＝1 2 ，∴∠ABC＝60°，即 AB 与平面α所成的角为 60°. 3.答案：B 解析：A 中，由α∥β，且 m ⊂ α，知 m∥β；B 中，由 n⊥β，知 n 垂直于平面β内 的任意直线，再由 m∥n，知 m 也垂直于β内的任意直线，所以 m⊥β，符合题意； C，D 中，m ⊂ β或 m∥β或 m 与β相交，不符合题意.故选 B. 4.答案：C 解析：取 BD 中点 O，连接 AO，CO， 则 BD⊥AO，BD⊥CO，且 AO∩CO＝O， ∴BD⊥平面 AOC， 又 AC ⊂ 平面 AOC， ∴BD⊥AC， 又 BD，AC 异面，∴选 C. 5.答案：B 解析：易证 AC⊥平面 PBC，又 BC ⊂ 平面 PBC，所以 AC⊥BC. 6.答案：BD 解析：对于 A，由 AB 与 CE 所成角为 45°，可得直线 AB 与平面 CDE 不垂直； 对于 B，由 AB⊥CE，AB⊥ED，且 CE∩ED＝E，可得 AB⊥平面 CDE；对于 C， 由 AB 与 CE 所成角为 60°，可得直线 AB 与平面 CDE 不垂直；对于 D，连接 AC， 由 ED⊥平面 ABC，可得 ED⊥AB，同理可得 EC⊥AB，又 ED∩EC＝E，所以 AB⊥平面 CDE.故选 BD. 7.答案：90° 解析：∵B1C1⊥平面 ABB1A1，MN ⊂ 平面 ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M， B1M∩B1C1＝B1，∴MN⊥平面 C1B1M，∴MN⊥C1M，即∠C1MN＝90°. 8.答案：垂直 解析：因为 PA＝PC，O 是 AC 的中点，所以 PO⊥AC，同理 PO⊥BD，又 AC∩BD ＝O，AC，BD ⊂ 平面 ABCD，所以 PO⊥平面 ABCD. 9.答案：4 解析：∵SD⊥平面 ABCD，AC ⊂ 平面 ABCD， ∴SD⊥AC.∵四边形 ABCD 为正方形， ∴BD⊥AC，又 SD∩BD＝D， ∴AC⊥平面 SBD，而 SB ⊂ 平面 SBD， ∴AC⊥SB，故①正确. ∵AB∥CD，AB⊄平面 SDC，CD ⊂ 平面 SDC， ∴AB∥平面 SCD，故② 正确. ∵SD⊥平面 ABCD， ∴SA 在底面上的射影为 AD， ∴SA 与底面 ABCD 所成的角为∠SAD，③正确. ∵AB∥CD，故④也正确. 10.答案：3 4 解析：如图所示，取 BC 的中点 D，连接 SD，AD，则 BC⊥AD. 过点 A 作 AG⊥SD 于点 G，连接 GB. ∵SA⊥底面 ABC，BC ⊂ 平面 ABC， ∴BC⊥SA，又 SA∩AD＝A， ∴BC⊥平面 SAD. 又 AG ⊂ 平面 SAD，∴AG⊥BC. 又 AG⊥SD，SD∩BC＝D， ∴AG⊥平面 SBC. ∴∠ABG 即为直线 AB 与平面 SBC 所成的角. ∵AB＝2，SA＝3， ∴AD＝ 3，SD＝2 3. 在 Rt△SAD 中，AG＝SA·AD SD ＝3 2. ∴sin∠ABG＝AG AB ＝ 3 2 2 ＝3 4. 11.答案：A1C1⊥B1C1(答案不唯一) 解析：如图所示，连接 B1C，由 BC＝CC1，可得 BC1⊥B1C，因此，要证 AB1⊥BC1， 则只要证明 BC1⊥平面 AB1C，即只要证 AC⊥BC1 即可，由直三棱柱可知，只要 证 AC⊥BC 即可.因为 A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证 A1C1⊥B1C1 即可(或者能 推出 A1C1⊥B1C1 的条件，如∠A1C1B1＝90°等). 12.证明：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AC⊥BO. 又∵BB1⊥平面 ABCD，AC ⊂ 平面 ABCD， ∴AC⊥BB1， 又∵BO∩BB1＝B，BO，BB1 ⊂ 平面 BB1O， ∴AC⊥平面 BB1O， 又 EF 是△ABC 的中位线， ∴EF∥AC，∴EF⊥平面 BB1O. 13.证明：(1)∵AB 为⊙O 的直径， ∴AM⊥BM. 又 PA⊥平面 ABM，BM ⊂ 平面 ABM， ∴PA⊥BM. 又∵PA∩AM＝A，PA，AM ⊂ 平面 PAM， ∴BM⊥平面 PAM. 又 AN ⊂ 平面 PAM， ∴BM⊥AN. 又 AN⊥PM，且 BM∩PM＝M，BM，PM ⊂ 平面 PBM， ∴AN⊥平面 PBM. (2)由(1)知 AN⊥平面 PBM， 又 PB ⊂ 平面 PBM， ∴AN⊥PB. 又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ ⊂ 平面 ANQ， ∴PB⊥平面 ANQ. 又 NQ ⊂ 平面 ANQ，∴PB⊥NQ. 14.(1)证明：如图，连接 A1B. 在△A1BC 中，因为 E 和 F 分别是 BC 和 A1C 的中点，所以 EF∥BA1. 又因为 EF⊄平面 A1B1BA，BA1 ⊂ 平面 A1B1BA， 所以 EF∥平面 A1B1BA. (2)证明：因为 AB＝AC，E 为 BC 的中点， 所以 AE⊥BC. 因为 AA1⊥平面 ABC，BB1∥AA1， 所以 BB1⊥平面 ABC， 又 AE ⊂ 平面 ABC， 从而 BB1⊥AE. 又因为 BC∩BB1＝B，BC，BB1 ⊂ 平面 BCB1， 所以 AE⊥平面 BCB1. (3)解：取 BB1 的中点 M 和 B1C 的中点 N， 连接 A1M，A1N，NE. 因为 N 和 E 分别为 B1C 和 BC 的中点， 所以 NE∥B1B，NE＝1 2B1B， 故 NE∥A1A 且 NE＝A1A， 所以 A1N∥AE，且 A1N＝AE. 又因为 AE⊥平面 BCB1， 所以 A1N⊥平面 BCB1， 从而∠A1B1N 为直线 A1B1 与平面 BCB1 所成的角. 在△ABC 中，可得 AE＝2， 所以 A1N＝AE＝2. 因为 BM∥AA1，BM＝AA1， 所以四边形 MBAA1 为平行四边形， 所以 A1M∥AB，A1M＝AB， 又由 AB⊥BB1，得 A1M⊥BB1. 在 Rt△A1MB1 中， 可得 A1B1＝ B1M2＋A1M2＝4. 在 Rt△A1NB1 中， sin∠A1B1N＝A1N A1B1 ＝1 2 ， 因此∠A1B1N＝30°. 所以，直线 A1B1 与平面 BCB1 所成的角为 30°.