复数的乘、除运算高一数学人教A版（2019）必修第二册第七章课时跟踪检测

课时跟踪检测 复数的乘、除运算 A 级——学考合格性考试达标练 1．若复数 z1＝1＋i，z2＝3－i，则 z1z2 等于( ) A．4＋2i B．2＋i C．2＋2i D．3＋i 2．若 i 是虚数单位，则 i 3＋3i 等于( ) A.1 4 － 3 12i B.1 4 ＋ 3 12i C.1 2 ＋ 3 6 i D.1 2 － 3 6 i 3．已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足 zi＝1＋i，则 z2＝( ) A．－2i B．2i C．－2 D．2 4．复数1＋2i2 3－4i ＝( ) A．－1 B．1 C．－i D．i 5．(1＋i)20－(1－i)20 的值是( ) A．－1 024 B．1 024 C．0 D．512 6．已知2－3i z ＝－i，则复数 z＝________. 7．设复数 z＝1＋ 2i，则 z2－2z＝________. 8．若 z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且z1 z2 为纯虚数，则实数 a 的值为________． 9．已知 z 为 z 的共轭复数，若 z· z －3i z ＝1＋3i，求 z. 10．已知复数 z＝－3＋2i(i 为虚数单位)是关于 x 的方程 2x2＋px＋q＝0(p，q 为实数)的 一个根，求 p＋q 的值． B 级——面向全国卷高考高分练 1．[多选]设有下面四个命题，其中为真命题的是( ) A．若复数 z 满足1 z ∈R，则 z∈R B．若复数 z 满足 z2∈R，则 z∈R C．若复数 z1，z2 满足 z1z2∈R，则 z1＝ z 2 D．若复数 z∈R，则 z ∈R 2．(2019·西北三省联考)1－2i2 i 在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若 a 为正实数，i 为虚数单位，|a＋i i |＝2，则 a＝( ) A．2 B. 3 C. 2 D．1 4．对于复数 a，b，c，d，若集合 S＝{a，b，c，d}满足“对任意的 x，y∈S，必有 xy ∈S”，则当 a＝1， b2＝1， c2＝b 时，b＋c＋d 等于( ) A．1 B．－1 C．0 D．i 5．设复数 z＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为 z ，则2－ z z ＝________. 6．设复数 z 满足 z2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则 z 的模为________． 7．计算： (1)1＋i2＋31－i 2＋i ； (2)1 i( 2＋ 2i)5＋ 1 1＋i 4＋ 1＋i 1－i 7. C 级——拓展探索性题目应用练 复数 z＝1＋i3a＋bi 1－i 且|z|＝4，z 对应的点在第一象限，若复数 0，z， z 对应的点是正 三角形的三个顶点，求实数 a，b 的值． 课时跟踪检测 复数的乘、除运算 A 级——学考合格性考试达标练 1．若复数 z1＝1＋i，z2＝3－i，则 z1z2 等于( ) A．4＋2i B．2＋i C．2＋2i D．3＋i 解析：选 A z1·z2＝(1＋i)·(3－i)＝1×3－i×i＋(3－1)i＝4＋2i. 2．若 i 是虚数单位，则 i 3＋3i 等于( ) A.1 4 － 3 12i B.1 4 ＋ 3 12i C.1 2 ＋ 3 6 i D.1 2 － 3 6 i 解析：选 B i 3＋3i ＝ i 3－3i  3＋3i 3－3i ＝3＋ 3i 12 ＝1 4 ＋ 3 12i. 3．已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足 zi＝1＋i，则 z2＝( ) A．－2i B．2i C．－2 D．2 解析：选 A ∵zi＝1＋i，∴z＝1＋i i ＝1 i ＋1＝1－i. ∴z2＝(1－i)2＝1＋i2－2i＝－2i. 4．复数1＋2i2 3－4i ＝( ) A．－1 B．1 C．－i D．i 解析：选 A 1＋2i2 3－4i ＝－3＋4i 3－4i ＝－1. 5．(1＋i)20－(1－i)20 的值是( ) A．－1 024 B．1 024 C．0 D．512 解析：选 C (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝ 0. 6．已知2－3i z ＝－i，则复数 z＝________. 解析：因为2－3i z ＝－i，所以 z＝2－3i －i ＝(2－3i)i＝3＋2i. 答案：3＋2i 7．设复数 z＝1＋ 2i，则 z2－2z＝________. 解析：∵z＝1＋ 2i，∴z2－2z＝z(z－2)＝(1＋ 2i)(1＋ 2i－2)＝(1＋ 2i)(－1＋ 2i)＝－ 3. 答案：－3 8．若 z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且z1 z2 为纯虚数，则实数 a 的值为________． 解析：z1 z2 ＝a＋2i 3－4i ＝a＋2i3＋4i 25 ＝3a－8＋6＋4ai 25 ， 根据已知条件，得 a＝8 3. 答案：8 3 9．已知 z 为 z 的共轭复数，若 z· z －3i z ＝1＋3i，求 z. 解：设 z＝a＋bi(a，b∈R)， 则 z ＝a－bi(a，b∈R)， 由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i， 即 a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i， 则有 a2＋b2－3b＝1， －3a＝3， 解得 a＝－1， b＝0 或 a＝－1， b＝3. 所以 z＝－1 或 z＝－1＋3i. 10．已知复数 z＝－3＋2i(i 为虚数单位)是关于 x 的方程 2x2＋px＋q＝0(p，q 为实数)的 一个根，求 p＋q 的值． 解：∵z＝－3＋2i 是关于 x 的方程 2x2＋px＋q＝0 的一个根， ∴2×(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0， 即 2×(9－4－12i)－3p＋2pi＋q＝0， 得 10＋q－3p＋(2p－24)i＝0. 由复数相等得 10＋q－3p＝0， 2p－24＝0， 解得 p＝12， q＝26. ∴p＋q＝38. B 级——面向全国卷高考高分练 1．[多选]设有下面四个命题，其中为真命题的是( ) A．若复数 z 满足1 z ∈R，则 z∈R B．若复数 z 满足 z2∈R，则 z∈R C．若复数 z1，z2 满足 z1z2∈R，则 z1＝ z 2 D．若复数 z∈R，则 z ∈R 解析：选 AD 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)． 对于 A，若1 z ∈R，即 1 a＋bi ＝ a－bi a2＋b2 ∈R，则 b＝0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以 A 为真命题； 对于 B，若 z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则 ab＝0.当 a＝0，b≠0 时，z＝a＋bi＝ bi∉R，所以 B 为假命题；对于 C，若 z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i ∈R，则 a1b2＋a2b1＝0.而 z1＝ z 2，即 a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为 a1b2＋a2b1＝ 0⇒/ a1＝a2，b1＝－b2，所以 C 为假命题；对于 D，若 z∈R，即 a＋bi∈R，则 b＝0⇒ z ＝a －bi＝a∈R，所以 D 为真命题．故选 A、D. 2．(2019·西北三省联考)1－2i2 i 在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选 B 1－2i2 i ＝－3－4i i ＝－3－4i－i i×－i ＝－4＋3i，对应的点为(－4,3)，位于第 二象限．故选 B. 3．若 a 为正实数，i 为虚数单位，|a＋i i |＝2，则 a＝( ) A．2 B. 3 C. 2 D．1 解析：选 B ∵a＋i i ＝(a＋i)(－i)＝1－ai，∴|a＋i i |＝|1－ai|＝ 1＋a2＝2，解得 a＝ 3 或 a＝－ 3(舍)．故选 B. 4．对于复数 a，b，c，d，若集合 S＝{a，b，c，d}满足“对任意的 x，y∈S，必有 xy ∈S”，则当 a＝1， b2＝1， c2＝b 时，b＋c＋d 等于( ) A．1 B．－1 C．0 D．i 解析：选 B 由已知条件得 b＝－1，c＝±i，d＝－c， ∴b＋c＋d＝－1.故选 B. 5．设复数 z＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为 z ，则2－ z z ＝________. 解析：∵z＝－1－i，∴ z ＝－1＋i， 2－ z z ＝2－－1＋i －1－i ＝ 3－i －1－i ＝－1＋2i. 答案：－1＋2i 6．设复数 z 满足 z2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则 z 的模为________． 解析：设 z＝a＋bi(a，b∈R)， 则 z2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i， ∴ a2－b2＝3， 2ab＝4， 解得 a＝2， b＝1 或 a＝－2， b＝－1. ∴|z|＝ a2＋b2＝ 5. 答案： 5 7．计算： (1)1＋i2＋31－i 2＋i ； (2)1 i( 2＋ 2i)5＋ 1 1＋i 4＋ 1＋i 1－i 7. 解：(1)原式＝2i＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i ＝3－i2－i 5 ＝5－5i 5 ＝1－i. (2)1 i( 2＋ 2i)5＋ 1 1＋i 4＋ 1＋i 1－i 7 ＝－i·( 2)5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋ 1 1＋i2 2＋i7 ＝16 2(－1＋i)－1 4 －i ＝－ 16 2＋1 4 ＋(16 2－1)i. C 级——拓展探索性题目应用练 复数 z＝1＋i3a＋bi 1－i 且|z|＝4，z 对应的点在第一象限，若复数 0，z， z 对应的点是正 三角形的三个顶点，求实数 a，b 的值． 解：z＝1＋i3a＋bi 1－i ＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi. 由|z|＝4，得 a2＋b2＝4，① ∵复数 0，z， z 对应的点构成正三角形， ∴|z－ z |＝|z|. 把 z＝－2a－2bi 代入化简得 |b|＝1.② 又∵z 对应的点在第一象限， ∴a＜0，b＜0. 由①②得 a＝－ 3， b＝－1. 故所求值为 a＝－ 3，b＝－1.