复数的加、减运算及其几何意义课时跟踪检测高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册第七章

课时跟踪检测 复数的加、减运算及其几何意义 A 级——学考合格性考试达标练 1．复数 z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数 a，b 的值 为( ) A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4 C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4 2．已知复数 z 对应的向量如图所示，则复数 z＋1 所对应的向量正确的是( ) 3．已知 z1，z2∈C，|z1＋z2|＝2 2，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|等于( ) A．1 B. 1 2 C．2 D．2 2 4．已知复数 z 满足 z＋2i－5＝7－i，则|z|＝( ) A．12 B．3 C．3 17 D．9 5．设向量 OP―→，PQ―→， OQ―→对应的复数分别为 z1，z2，z3，那么( ) A．z1＋z2＋z3＝0 B．z1－z2－z3＝0 C．z1－z2＋z3＝0 D．z1＋z2－z3＝0 6．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________. 7．已知复数 z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且 z1－z2 为纯虚数，则 a＝ ________. 8．在复平面内，复数 1＋i 与 1＋3i 分别对应向量 OA―→和 OB―→，其中 O 为坐标原点，则 | AB―→|＝________. 9．计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)． 10．设 z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且 z1＋z2＝5－6i，求 z1－z2. B 级——面向全国卷高考高分练 1．若 z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且在复平面内 z1＋z2 所对应的点在实轴上，则 a 的值 为( ) A．3 B．2 C．1 D．－1 2．若|z－1|＝|z＋1|，则复数 z 对应的点 Z( ) A．在实轴上 B．在虚轴上 C．在第一象限 D．在第二象限 3．若|z|＋z＝3＋i，则 z 等于( ) A．1－4 3i B．1＋4 3i C.4 3 ＋i D．－4 3 ＋i 4．△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为 z1，z2，z3，复数 z 满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－ z3|，则 z 对应的点是△ABC 的( ) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 5．已知 z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．若 z＝z1－z2，且 z ＝13－2i，则 z1＝________，z2＝________. 6．在平行四边形 OABC 中，各顶点对应的复数分别为 zO＝0，zA＝2＋a 2i，zB＝－2a＋ 3i，zC＝－b＋ai，a，b∈R，则 a－b＝________. 7.复数 z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面内的对应点是一个正方形的 三个顶点，如图所示，求这个正方形的第四个顶点对应的复数． C 级——拓展探索性题目应用练 已知复平面内的平行四边形 ABCD 中，A 点对应的复数为 2＋i，向量 BA―→对应的复数为 1＋2i，向量 BC―→对应的复数为 3－i，求： (1)点 C，D 对应的复数； (2)平行四边形 ABCD 的面积． 课时跟踪检测 复数的加、减运算及其几何意义 A 级——学考合格性考试达标练 1．复数 z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数 a，b 的值 为( ) A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4 C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4 解析：选 A 由题意可知 z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i 是实数，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i 是纯 虚数，故 b＋4＝0， a＋3＝0， 4－b≠0， 解得 a＝－3，b＝－4.故选 A. 2．已知复数 z 对应的向量如图所示，则复数 z＋1 所对应的向量正确的是( ) 解析：选 A 由图可知 z＝－2＋i，所以 z＋1＝－1＋i，则复数 z＋1 所对应的向量的坐 标为(－1,1)．故选 A. 3．已知 z1，z2∈C，|z1＋z2|＝2 2，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|等于( ) A．1 B. 1 2 C．2 D．2 2 解析：选 D 由复数加法、减法的几何意义知，在复平面内，以 z1，z2 所对应的向量为 邻边的平行四边形为正方形，所以|z1－z2|＝2 2.故选 D. 4．已知复数 z 满足 z＋2i－5＝7－i，则|z|＝( ) A．12 B．3 C．3 17 D．9 解析：选 C 由题意知 z＝7－i－(2i－5)＝12－3i， ∴|z|＝ 122＋－32＝3 17.故选 C. 5．设向量 OP―→，PQ―→， OQ―→对应的复数分别为 z1，z2，z3，那么( ) A．z1＋z2＋z3＝0 B．z1－z2－z3＝0 C．z1－z2＋z3＝0 D．z1＋z2－z3＝0 解析：选 D ∵ OP―→＋ PQ―→＝ OQ―→，∴z1＋z2＝z3，即 z1＋z2－z3＝0.故选 D. 6．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________. 解析：|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝ 32＋42＝5. 答案： 5 7．已知复数 z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且 z1－z2 为纯虚数，则 a＝ ________. 解析：z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，∴ a2－a－2＝0， a2＋a－6≠0， 解得 a ＝－1. 答案：－1 8．在复平面内，复数 1＋i 与 1＋3i 分别对应向量 OA―→和 OB―→，其中 O 为坐标原点，则 | AB―→|＝________. 解析：由题意 AB―→＝ OB―→－ OA―→，∴ AB―→对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，∴| AB―→|＝ 2. 答案：2 9．计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)． 解：(1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i) ＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2. (2)原式＝(－1＋i)＋ 0＋12＋(1＋i) ＝－1＋i＋1＋1＋i＝1＋2i. 10．设 z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且 z1＋z2＝5－6i，求 z1－z2. 解：∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi， ∴z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i＝5－6i， ∴ x＋3＝5， 2－y＝－6， 解得 x＝2， y＝8. ∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i， ∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i. B 级——面向全国卷高考高分练 1．若 z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且在复平面内 z1＋z2 所对应的点在实轴上，则 a 的值 为( ) A．3 B．2 C．1 D．－1 解析：选 D z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.∵在复平面内 z1＋z2 所 对应的点在实轴上， ∴1＋a＝0，∴a＝－1.故选 D. 2．若|z－1|＝|z＋1|，则复数 z 对应的点 Z( ) A．在实轴上 B．在虚轴上 C．在第一象限 D．在第二象限 解析：选 B 设 z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－1|＝|z＋1|得(x－1)2＋y2＝(x＋1)2＋y2，化简得： x＝0.故选 B. 3．若|z|＋z＝3＋i，则 z 等于( ) A．1－4 3i B．1＋4 3i C.4 3 ＋i D．－4 3 ＋i 解析：选 C 设 z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z|＋z＝3＋i 得 x2＋y2＋x＋yi＝3＋i，即 x2＋y2＋x＝3， y＝1， 解得 x＝4 3 ， y＝1. 所以 z＝4 3 ＋i.故选 C. 4．△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为 z1，z2，z3，复数 z 满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－ z3|，则 z 对应的点是△ABC 的( ) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 解析：选 A 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数 z 的对应点 P 到 △ABC 的顶点 A，B，C 距离相等，∴P 为△ABC 的外心．故选 A. 5．已知 z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．若 z＝z1－z2，且 z ＝13－2i，则 z1＝________，z2＝________. 解析：z＝z1－z2＝[(3x＋y)＋(y－4x)i]－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝(5x－3y)＋(x＋4y)i， 又 z＝13－2i，所以 5x－3y＝13， x＋4y＝－2， 解得 x＝2， y＝－1. 所以 z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i， z2＝(－4－2×2)－(5×2－3×1)i＝－8－7i. 答案：5－9i －8－7i 6．在平行四边形 OABC 中，各顶点对应的复数分别为 zO＝0，zA＝2＋a 2i，zB＝－2a＋ 3i，zC＝－b＋ai，a，b∈R，则 a－b＝________. 解 析 ： 因 为 OA―→ ＋ OC―→ ＝ OB―→ ， 所 以 2 ＋ a 2 i ＋ ( － b ＋ ai) ＝ － 2a ＋ 3i ， 所 以 2－b＝－2a， a 2 ＋a＝3， 解得 a＝2， b＝6. 故 a－b＝－4. 答案：－4 7.复数 z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面内的对 应点是一个正方形的三个顶点，如图所示，求这个正方形的第四个顶点 对应的复数． 解：复数 z1，z2，z3 所对应的点分别为 A，B，C，设正方形的第四 个顶点 D 对应的复数为 x＋yi(x，y∈R)． 因为 AD―→＝ OD―→－ OA―→， 所以 AD―→对应的复数为(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i， 因为 BC―→＝ OC―→－ OB―→， 所以 BC―→对应的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i. 因为 AD―→＝ BC―→，所以它们对应的复数相等， 即 x－1＝1， y－2＝－3， 解得 x＝2， y＝－1. 故点 D 对应的复数为 2－i. C 级——拓展探索性题目应用练 已知复平面内的平行四边形 ABCD 中，A 点对应的复数为 2＋i，向量 BA―→对应的复数为 1＋2i，向量 BC―→对应的复数为 3－i，求： (1)点 C，D 对应的复数； (2)平行四边形 ABCD 的面积． 解：(1)∵向量 BA―→对应的复数为 1＋2i，向量 BC―→对应的复数为 3－i， ∴向量 AC―→对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又∵ OC―→＝ OA―→＋ AC―→， ∴点 C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. ∵ AD―→＝ BC―→， ∴向量 AD―→对应的复数为 3－i， 即 AD―→＝(3，－1)．设 D(x，y)， 则 AD―→＝(x－2，y－1)＝(3，－1)， ∴ x－2＝3， y－1＝－1， 解得 x＝5， y＝0. ∴点 D 对应的复数为 5. (2)∵ BA―→· BC―→＝| BA―→|| BC―→|cos B， ∴cos B＝ BA―→· BC―→ | BA―→|| BC―→| ＝ 3－2 5× 10 ＝ 2 10. ∵0