2020-2021学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册第三章3.1.2椭圆的综合应用教学设计

3.1.2 椭圆的综合应用 一、教学内容 椭圆的综合应用 二、教学目标 1.能通过将关于椭圆的实际问题转化为关于椭圆的数学问题，解决数学问题，从而解决 关于椭圆的实际问题，发展数学建模素养. 2.熟练掌握椭圆的几何性质，能够根据条件求曲线的轨迹方程，并简单了解椭圆第二定 义为三种圆锥曲线的统一定义打下基础。 3.能类比用直线的方程与圆的方程研究直线与圆的位置关系，用直线的方程与椭圆的标 准方程研究直线与椭圆的位置关系，进一步体会坐标法在解析几何中的威力。 三、教学重难点 重点：根据几何特征求轨迹方程和探索直线与椭圆的位置关系 难点：探索直线与椭圆的位置关系 四、教学过程设计 师：同学们先对只是再现题的答案，然后思考，再现了哪些关于椭圆的知识。第一个用 到了椭圆的定义，第二个用到了椭圆的标准方程，第三个用到了椭圆的简单几何性质，本章 我们先学习了椭圆的定义，然后推导出椭圆的标准方程，再利用方程研究了简单几何性质， 那么接下来我们该学习什么问题了？ 生：应用 师： 对，这就是圆锥曲线通用的研究路径。下面我们先看椭圆在实际生活中的应用。讲解 例 1： 如图 1，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的 曲面）的一部分.过对称轴的截口 BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点 F1 上， 片门位于另一个焦点 F2 上.由椭圆一个焦点 F1 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另 一个焦点 F2.已知 ,21FFBC  ,6||,2.3|| 211 cmFFcmBF  试建立适当的平面直角坐标系， 求截口曲线 BAC 的方程. 设计意图：体会椭圆在生产生活中的应用，发展学生数学抽象、数学建模素养。 师：椭圆具有良好的性质，所以它在实际生活中有着广泛的应用。比如：行星运行轨道是椭 圆，拱桥造型也是椭圆一部分，还有椭圆的光学性质也具有良好的应用。看我们的例 1 这个 实际问题。读题：F1，F2 是两个焦点， ,21FFBC  ,6||,2.3|| 211 cmFFcmBF  建立适当 的坐标系，求曲线 BAC 的方程。如何建系才能使求出的方程更简单？ 生：以 21FF 的中点为原点 O 建系 师：很好，建系之后就把实际问题，转化为求曲线方程的数学问题了。下面我们看这个同学 是如何解决的这个问题 生：先建系，然后设椭圆的标准方程为 12 2 2 2  b y a x ，由垂直利用勾股定理求出 2BF 的长，， 利用椭圆的定义得到 a 的值，再求出 b 的值，得出椭圆的标准方程，然后又题中说的是求曲 线 BAC 的方程，曲线 BAC 只是求出的椭圆的一部分，所以用 x 的范围限制。x 的范围为 （ 55  x ）。 师：很好，请坐。这位同学注意到了求的曲线是椭圆的一部分，要注明 x 的范围，有些同学 就在这里出现了问题。这里是利用定义求出了 a 的值，这是求椭圆标准方程的定义法。再看 这个同学的做法。这个同学也是建系，设椭圆的标准方程，然后将点 B 的坐标代入椭圆方 程，结合 c=3，得到了关于 a 的方程，求出 a 的值，但是没求出来。这是利用待定系数法求 的椭圆。但是这个方法的计算要比上个方法麻烦。所以同学们在求椭圆标准方程的时候要选 择合适的方法。反思本题，如何解决实际问题？我们要先把实际问题转化 生：先把实际问题转化为数学问题，然后再求解数学问题 时：很好，这就是数学建模，将实际问题建立数学模型。 师：最后这一步，我们又回归到了实际问题上去，曲线 BAC 是椭圆的一部分，要写出范围。 此题是求曲线方程的问题，我们再看一个求轨迹方程的问题。例 2.读题，如何求动点的轨迹， 是不是需要先求出动点的轨迹方程，然后再看对应什么轨迹。讲解例 2 例 2：动点 M（x，y）与定点 F（4,0）的距离和 M 到定直线 l： 4 25x 的距离的比是常数 5 4 ， 求动点 M 的轨迹. 设计意图：回顾求椭圆轨迹方程的方法，让学生认识到椭圆还有其他产生方式 生：对 师：我们看这位同学是如何解决的 生：先表示出距离，然后列出关系式，整理就得到了轨迹方程，最后轨迹是个椭圆 师：很好，这是求轨迹方程方法的哪个方法？直接表示出关于 x，y 的关系式得到轨迹方程， 这是直接法，你能总结直接法求轨迹方程的步骤吗？ 生：写出关系式 师：如果题中没有坐标系，也没设动点的坐标呢？ 生：先建系，设点，然后在写关系式，再化简 师：化简完之后这个方程就是曲线的轨迹方程吗？当曲线上点的坐标满足方程，满足方程的 点都在曲线上，方程才是曲线的方程。这里我们要看这个方程需不需要抠点。回看各步骤， 有需要抠的点吗？ 生：没有。 师：本题不用抠点，但是这个思维过程要有。最后下结论。这是直接法求轨迹方程的步骤， 求轨迹方程还有哪些方法？ 生：相关点法，定义法 师：这两个方法的具体步骤呢？同学们课下思考。一分钟整理本题。前两个例题都是求方程 的问题，类比第二章直线和圆的方程，我们学完圆的方程，研究了什么？ 生：直线与圆的位置关系 师：类比过来，我们学完椭圆的方程接下来研究什么问题？ 生：直线与椭圆的位置关系 老师讲解例 3 例 3：已知椭圆 C： 1925 22  yx ，直线 l： 054  myx (1)当 m=0 时，直线 l 与椭圆 C 有几个公共点？ (2)当 m=25 时，直线 l 与椭圆 C 有几个公共点？ (3)当 m=40 时，直线 l 与椭圆 C 有几个公共点？ 设计意图：让学生体会用方程研究曲线问题的基本思路与方法，以及由特殊到一般的归纳抽 象思维。放开让学生去思考直线与椭圆的位置关系还会考查什么问题，使学生思维更灵活。 师：我们不妨在例 2 这个椭圆的基础上给出直线，也就是例 3 这样的直线，当 m 的值确定 时，直线与椭圆的位置关系就是确定的。怎么判断直线与椭圆几个交点呢？我们是不是也可 以类比判断直线与圆位置关系的方法，找个同学来说 生：联立直线与椭圆的方程，消元，得一元二次方程，看  ，如果 0 ，就有两个公共点 师：为什么？ 生：因为 0 ，方程就有两个根，对应就有两个交点。 0 ，有一个公共点， 0 ， 无公共点 师：这样我们可以联立每个问题下的直线方程和椭圆方程，求出相应的  来判断，第一题 0 ，有两个公共点，第二题 0 有一个公共点，第三题 0 没有公共点。这是判断 直线与椭圆位置关系的一个通用方法。我们再看第一题这条直线，m=0，这条直线是不是过 原点。这条直线过原点，原点在椭圆内，所以它肯定与椭圆有两个交点，这样就不用联立直 线与椭圆方程了。但是 m=25 时画图就看不出来了。就要用刚才的方法，用方程解决直线与 椭圆位置关系几何问题的方法叫坐标法。所以我们解决圆锥曲线问题时，要先用几何的眼光 去思考分析问题，然后再用坐标法解决问题。这三个题是不是也可以一起解决？怎么解决？ 生：可以先带着 m 联立直线与椭圆的方程，消元，求  ， 0 时， 2525  m ，此时 有两个公共点； 0 时， 25m ，此时有 yi 个公共点； 0 时， 2525  mm 或 ， 此时无公共点。然后，再看题中 m 的值在哪个范围，做出判断即可。 师：很好，这样是不是有衍生出来一个题，你能描述一下这道题吗？ 生：当 m 为何值时，直线 l 与椭圆 C ①有两个公共点？②有一个公共点？③没有公共点？ 师：很好，同学们思考如何判断直线与椭圆的位置关系？ 生：联立方程看 0 师：如果我们通过观察就能看出位置关系呢？ 生：先观察几何特征，不行再联立看  。 师：例 3 这三道题中的直线什么是相同的 生：斜率 师：它们是平行直线系，我们还研究过这样的直线系，这个直线方程因 m 未知，所以表示 很多直线，虽然直线在变化，有没有不变的量在里面？ 生：过定点。 师：过哪个定点？ 生：过（-1,0）点 师：那么你能判断这条直线与椭圆的位置关系吗？ 生：在椭圆呢，因为过的定点在椭圆内。 师：很好，所以解决圆锥曲线问题时，要先几何眼光分析问题，再用坐标法解决问题。 下面我们就观察着几何图形，看能提出什么问题？（小组讨论） 生 1：求交点 A，B 的坐标 生 2：求 AB 长 生 3：求三角形 AF1F2 的周长，面积 生 4：求焦点到直线的距离 生 5：求椭圆上的点到直线的距离 师：那这个距离就有很多了，前面几个学生提出的都是确定的值，这个同学提出的是变化的 值。变化的值就涉及到求范围，求最大最小值所以可以提出个什么问题 生 6：求椭圆上的点到直线 l3 的最大距离和最小距离。 师：同学们提出的这些问题都很好，时间关系，我们只能拿比较典型的问题来研究，比如刚 才说到的求弦长，如何求 生：求出 A，B 的坐标，再代入两点间的距离公式 师：如果求出的两根很麻烦呢？能不能设而不求呢？同学们能不能推导出不用求出两根，也 可以求弦长的公式呢？请同学们动手推导。老师投影学生推导过程和结果，强调弦长公式。 刚才有个同学还提到求椭圆上的点到直线 l3 的最大距离和最小距离。我们看这个问题如何解 决 生：平移直线 l3，当和椭圆有且只有一个公共点时，为 l4，继续向下平移，当和椭圆有且只 有一个公共点时为 l5，l3 与 l4 的距离为最小距离，l3 与 l5 的距离为最大距离 师：这个学生的做法很好，想到把直线平移，动起来，这里就用到了运动的思想，动起来， 体会其中的变化过程，就能得到解决问题的方法。其他问题等到我们有时间再探讨，我们总 结以下本节，你解决了哪些类型的问题 小结 设计意图：师生共同梳理本节所学知识和题型，总结解题思想和方法，进一步感受坐标法这 一解析几何的基本思想和方法 生：实际问题，轨迹方程问题还有直线与椭圆位置关系问题 师：用到了哪些知识 生：椭圆的定义、标准方程、性质，韦达定理等 师：用到了哪些思想和方法 生：数形结合的思想，求轨迹方程的方法，坐标法 师：你还有哪些困惑吗？我这有个问题，例 2 求出的轨迹是椭圆，这是偶然还是必然，同学 们可以阅读课本 116 页，自己寻找答案。今天的作业是学案检测题，最后用著名数学家华罗 庚老先生的几句话结束本课，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分 家万事休。愿在以后的学习中，同学们去进一步体会数形结合的思想，去体会数学的奥妙。