第四章 因式分解
1 因式分解
获取新知
993－99能被100整除吗？你是怎样想的？
与同伴交流.
小明是这样做的:
993－99
＝99×992－99×1
＝99(992－1)
＝99×9 800
＝98×99×100.
所以，993－ 99能被100整除.
在这里，解决问题的关键是把一个数式化成了几个数
的积的形式.
993－99还能被
哪些正整数整除？
议一议
你能尝试把a3－a化成几个整式的乘积的形式吗？
与同伴交流.
解： a3-a
=a·a2-a·1
=a(a2-1)
=a(a+1) (a-1).
你是怎么想的呢？
你如何检查做的
是否正确呢？
做一做 观察下面拼图过程，写出相应的关系式.
a b c
m m m
a+b+c
m
x
x x
1 1 1
1
x
ma+mb+mc = m(a+b+c)
x2+x+x+1 = (x+1)2
x+1
x+1
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式
分解. 例如，a3－a＝ a (a＋1)(a－1)，am＋bm＋cm＝m(a＋b＋c)，
x2＋2x＋l＝(x＋1)2都是因式分解. 因式分解也可称为分解因式.
整式乘法与因式分解的关系：
整式乘法与因式分解是两种互逆的变形．
即：多项式 整式乘积．
因式分解
整式乘法
x2-1 (x+1)(x-1)
因式分解
整式乘法
例题讲解
例1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( )
A．a2＋1＝a(a＋ )
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1
D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
1
a
D
分解因式的要求：
1.分解的结果最后是积的形式；
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于多项式的次数；
3.必须分解到每个因式不能再分解为止
随堂演练
1.下列各式由左到右的变形中,属于因式分解的是(
)A.a(m+n)=am+an B.a2-b2-c2=(a-b)(a+b)-
c2C.10x2-5x=5x(2x-1) D.x2-xy+y2=(x-y)2
C
3.如图所示,由一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别
为a,b的小长方形拼接成一个大长方形,则利用整个图形可
表达出一些有关多项式因式分解的等式,请你写出任意一
个表示因式分解的等式: . a2+2ab=a(a+2b)
667 × 37+667 ×63
=667 ×（37+63）
=667 ×100
=66700
提出公因数
667
计算
观察下列多项式，各项中有相同的因式吗?
ab+bc 3x²+x mb²+nb-b
多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式
各项的公因式。
探索新知
问题1
667×37 +667×63
b x b
多项式 2x2+6x3 中，各项的公因式是什么？
问题2
系数：
最大公约数
2
字母：
相同的字母
x
所以公因式是2x2.
指数：
相同字母的
最低次幂
2
探索新知
u确定多项式各项公因式的方法：
1.定系数：找多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母：找多项式各项中都含有的相同字母.
3.定指数：找各项相同字母的最低次幂.
确定公因式一
探索新知
例1 下列多项式中，各项的公因式是什么？
（1） （2）2 32 6x x 3 2 26 9a b a b c
22x 3 a b2 1
4k
巩固练习 写出下列多项式各项的公因式
（1） （2）4 8kx ky 2 22m n mn mn
mn
37×667+63×667
=667 ×（37+63）
提出公因数
667
探索新知
探索新知
例2 将下列各式分解因式：
(1)3x＋x2 (2)7x2－21x
解：(1)3x＋x2＝x·3＋x·x
(2)7x2－21x＝7x·x－7x·3
＝x(3＋x)
＝7x(x－3)
667×37+667×63
=667 ×（37+63）
探索新知
例2 将下列各式分解因式：
(1)3x＋x2 (2)7x2－21x
解：(1)3x＋x2＝x·3＋x·x
(2)7x2－21x＝7x·x－7x·3
＝x(3＋x)
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个
公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式
的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
＝7x(x－3)
探索新知
1.确定公因式
2.提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.
u提公因式法分解因式的步骤：
探索新知
例3 将下列各式分解因式：
(1)8a3b2－12ab3c＋ab
＝ab(8a2b－12b2c＋1)
解：(1) 8a3b2－12ab3c＋ab
＝ab·8a2b－ab·12b2c＋ab·1
提公因式后括号里多项式的项数
与原多项式的项数相同
探索新知
例3 将下列各式分解因式：
(2)－24x3＋12x2－28x
＝－(4x·6x2－4x·3x＋4x·7)
解：(2)－24x3＋12x2－28x
＝ －(24x3－12x2＋28x)
提公因式后括号里第一项
的系数为正数
＝－4x (6x2－3x＋7)
当多项式第
一项的系数
是负数时，
可以先提出
负号，但要
注意括号里
的各项都要
变号。
因式分解：12x2y+18xy2.
解：原式 =3xy(4x + 6y).
错误 公因式没有提尽，还可以
提出公因式2
正确解：原式=6xy(2x+3y).
请你判断小明的解法有误吗？
易错分析
提公因式后括号里少了一项.错误
解：原式 =x(3x-6y).
因式分解：3x2 - 6xy+x.
正确解：原式=3x·x-6y·x+1·x
=x(3x-6y+1)
请你判断小明的解法有误吗？
提出负号时括号里的项
没变号
错误
因式分解： - x2+xy-xz.
解：原式= - x(x+y-z).
正确解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z)
请你判断小明的解法有误吗？
解：=3x·3x-3x·2y+3x·z
=3x (3x-2y+z)
=-(14x3 +21x2-28x )
= -(7x·2x2 +7x·3x-7x·4)
=-7x(2x2 +3x-4)
=abc·2a2b+abc·4b2-abc·1
=abc (2a2b+4b2-1)
(1)9x2-6xy+3xz (2)2a3b2c+4ab3c-abc
(3) ﹣14x3 -21x2+28x (4) （m-1为正整数）
巩固练习 将下列各式分解因式
1 12 4 2m m ma a a
1 2 1 1=2 2 2 2 1m m ma a a a a
1 2=2 2 1ma a a （ ）
探索新知
1. 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是 （ ）
A. x2－y B. x2+2x C. x2+3y D. x2－xy+y2
2.把12a2b3c-8a2b2c+6ab3c2分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A.2 B.2abc C.2ab2c D.2a2b2c
3．下列提公因式法分解因式正确的是（ ）
A．12abc－9a2b2=3abc(4－3ab) B．3x2y－3xy+6y=3y(x2－x+2y)
C．－a2+ab－ac=－a(a－b+c) D．x2y+5xy－y=y(x2+5x)
B
当堂检测
C
C
新课自主预习
温故而知新
1.多项式的第一项系数为负数时，先提取“-”号，
注意多项式的各项变号；
2.公因式的系数是多项式各项__________________；
3.字母取多项式各项中都含有的____________；
4.相同字母的指数取各项中最小的一个,即
_________.
提公因式法因式分解的一般步骤：
系数的最大公约数
相同的字母
最低次幂
思考1：提公因式时，公因式可以是多项式吗？找找
上面各式的公因式.
思考2：公因式是多项式形式，怎样运用提公因式法分
解因式？
)()( yxbyxa )1(
)2( )(3)(2 cbcba
)3(
)4(
)3(2)3( xbxa
22 )1()1( xyxy
提公因式为多项式的因式分解
例1 把下列各式分解因式：
（1）a(x-3)+2b(x-3)；
（2） .
解:（1） a(x-3)+2b(x-3) =(x-3)(a+2b)；
22 11 xyxy
221 1y x y x =y(x+1)(1+xy+y).(2)
典例精析
归纳总结
1.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一
个多项式的形式.
2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
练一练：
1. x(a+b)+y(a+b)
2. 3a(x－y)－(x－y)
3. 6(p+q)2－12(q+p)
=(a+b)(x+y)
=(x－y)(3a－1)
=6(p+q)(p+q-2)
( ) ( )a x y b x y
(1) ( ) ( );a x y b y x
(1) ( ) ( )a x y b y x 解： ( )x y ( )y x
( )( )x y a b
( )b x y
例2 把下列各式因式分解：
3 2(2)6( ) 12( )m n n m
26( ) [( ) 2]m n m n
3 26( ) 12( )m n m n 2)(12 nm
)2()(6 2 nmnm
两个只有符号不同的多项式是否有关系,有如下判
断方法:
(1)当相同字母前的符号相同时,
则两个多项式相等.
如: a-b 和 -b+a 即 a-b = -b+a
(2)当相同字母前的符号均相反时,
则两个多项式互为相反数.
如: a-b 和 b-a 即 a-b = -(a-b)
归纳总结
由此可知规律：
(1)a-b 与 -a+b 互为相反数.
(a-b)n = (b-a)n (n是偶数）
(a-b)n = -(b-a)n (n是奇数）
(2) a+b与b+a 相等,
(a+b)n = (b+a)n (n是整数）
a+b 与 -a-b 互为相反数.
(-a-b)n = (a+b)n (n是偶数）
(-a-b)n = -(a+b)n (n是奇数）
在下列各式等号右边的括号前填入“+”
或“-”号，使等式成立：
(1) (a-b) =___(b-a); (2) (a-b)2 =___(b-a)2;
(3) (a-b)3 =___(b-a)3; (4) (a-b)4 =___(b-a)4;
(5) (a+b) =___(b+a); (6) (a+b)2 =___(b+a)2；
+-
-
+
+
+
(7) (a+b)3 =__(-b-a)3;- (8) (a+b)4 =__(-a-b)4.+
当堂跟踪练习
1.请在下列各式等号右边填入“+”或“-”
号,使等式成立.
(1) 2-a= (a-2)； (2) y-x= (x-y)；
(3) b+a= (a+b)；
-
(6)-m-n= (m+n)；(5) –s2+t2= (s2-t2)；
(4) (b-a)2= (a-b)2；
(7) (b-a)3= (a-b)3.
-
+ +
- -
-
3.因式分解：(x-y)2+y(y-x).
解法1：(x-y)2+y(y-x)
=（x-y)2-y(x-y)
=(x-y)(x-y-y)
=(x-y)(x-2y).
解法2：(x-y)2+y(y-x)
=（y-x)2+y(y-x)
=(y-x)(y-x+y)
=(y-x)(2y-x).
2.因式分解：p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 ).
解：p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )=(a2+b2)(p-q).
解：
课堂小结
因 式
分 解
公因式为
多 项 式
确定公因式的方法：三定，
即定系数；定字母；定指数
分两步：（整体思想）
第一步找公因式；第二步提公
因式
注 意
1.分解因式是一种恒等变形；
2.公因式：要提尽；
3.不要漏项；
4.提负号，要注意变号
课堂小结
因
式
分
解
定义：把一个多项式化成几个整式的_____的形
式，叫做因式分解，也可称为___________
其中，每个整式叫做这个多项式的_______
与整式乘法运
算的关系
的变形过程
前者是把一个多项式化为几个整式
的_____，后者是把几个整式的______
化为一个_________
积
分解因式
因式
互逆
多项式
乘积 乘积
提
公
因
式
法
分
解
因
式
确定公因式的方法：三定，
即1.系数 2. 字母 3.指数
步骤：
1.确定公因式 2.提出公因式
注意：
1.分解因式的结果是几个因式乘积的形式
2.公因式要提尽
3.不要漏项
4.提负号时，要注意变号
课堂小结
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