2021届陕西省高考第八次模拟考试数学（理科）试卷（解析版）

2021 年陕西省高考数学八模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题）. 1．下列命题中的假命题是（ ） A． ∀ x ∈ R，2x﹣1＞0 B． ∀ x ∈ N*，（x﹣1）2＞0 C． ∃ x ∈ R，lgx＜1 D． ∃ x ∈ R，tanx＝2 2．设 a ∈ ，则使函数 y＝xa 的定义域是 R，且为奇函数的所有 a 的值是 （ ） A．1，3 B．﹣1，1 C．﹣1，3 D．﹣1，1，3 3．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设 I 为地震时所散发出来的相对能量程度，则 里氏震级 r 可定义为 r＝0.6lgI，若 6.5 级地震释放的相对能量为 I1，7.4 级地震释放的相 对能量为 I2，记 n＝ ，n 约等于（ ） A．16 B．20 C．32 D．90 4．若 a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（ ） A． ＞ B． ＜ C． ＞ D． ＜ 5．男、女学生共有 8 人，从男生中选取 2 人，从女生中选取 1 人，共有 30 种不同的选法， 其中女生有（ ） A．2 人或 3 人 B．3 人或 4 人 C．3 人 D．4 人 6．设（2x﹣1）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则 a1+a3+a5+a7+a9 的值（ ） A． B． C． D．﹣ 7．数列{an}是等比数列，首项为 a1，公比为 q，则“a1（q﹣1）＞0”是“数列{an}递增” 的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．如图所示是一个无水游泳池，ABCD﹣A′B′C′D′是一个四棱柱，游泳池是由一个长 方体切掉一个三棱柱得到的．现在向泳池注水，如果进水速度是均匀的（单位时间内注 入的水量不变），水面与 AB 的交点为 M，则 AM 的高度 h 随时间 t 变化的图象可能是（ ） A． B． C． D． 9．已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，BC 的中点为 D，A1D⊥底面 ABC， 则异面直线 AB 与 CC1 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 10．黑板上有一道解三角形的习题，求解过程是正确的，但一位同学不小心把其中一部分擦 去了，现在只能看到：在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a＝2，...， 解得 B＝60°，根据以上信息，你认为下面哪个选项不可以作为这个习题的其余已知条 件（ ） A．b＝2 ，C＝90° B．A＝30°，c＝4 C．b＝2 ，A＝30 ° D．b＝2 ，c＝4 11．已知过抛物线 G：y2＝2px（p＞0）焦点 F 的直线 l 与抛物线 G 交于 M、N 两点（M 在 x 轴上方），满足 ， ，则以 M 为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准 方程为（ ） A． B． C． D． 12．已知函数 f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0），f′（x）＝g（x），给出下列四个结论，分 别是：①a＞0；②f（x）在 R 上单调；③f（x）有唯一零点；④存在 x0，使得 g（x0） ＜0．其中有且只有一个是错误的，则错误的一定不可能是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分，其中第 15 题第一空 2 分，第二 空 3 分） 13．将一长为 4，宽为 2 的矩形 ABCD 沿 AB、DC 的中点 E、F 连线折成如图所示的几何体， 若折叠后 AE＝AB，则该几何体的正（主）视图面积为 ． 14．在椭圆 + ＝1（a＞b＞0）中，左焦点为 F，右顶点为 A，短轴上方端点为 B，若 ∠ABF＝90°，则该椭圆的离心率为 ． 15．“韩信点兵”问题在我国古代数学史上有不少有趣的名称，如“物不知数”“鬼谷算” “隔墙算”“大衍求一术”等，其中《孙子算经》中“物不知数”问题的解法直至 1852 年传由传教士传入至欧洲，后验证符合由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因 而西方称之为“中国剩余定理”．原文如下：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五 数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这是一个已知某数被 3 除余 2，被 5 除余 3，被 7 除余 2，求此数的问题．满足条件的数中最小的正整数是 ；1 至 2021 这 2021 个数中满足条件的数的个数是 ． 16．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自 行车的平面结构示意图，已知图中的圆 A（前轮），圆 D（后轮）的半径均为 ，△ABE， △BEC，△ECD 均是边长为 4 的等边三角形．设点 P 为后轮上的一点，则在骑动该自行 车的过程中， • 的最大值为 ． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．新时代的青年应该注重体育锻炼，全面发展．为了强健学生体魄，陕西省决定 全校学生参与课间健身操运动．为了调查学生对健身操的喜欢程度，现从全校学生中随 机抽取了 20 名男生和 20 名女生的测试成绩（满分 100 分）组成一个样本，得到如图所 示的茎叶图，并且认为得分不低于 80 分的学生为喜欢． （1）请根据茎叶图填写下面的列联表，并判定能否有 85%的把握认为该校学生是否喜欢 健身操与性别有关？ 喜欢 不喜欢 合计 男生 女生 合计 （2）用样本估计总体，将样本频率视为概率，现从全校男生，女生中各抽取 1 人，求其 中喜欢健身操的人数 X 的分布列及数学期望． 参考公式及数据：K2＝ ，其中 n＝a+b+c+d． P（K2≥k0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 18．如图，四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，O 为底面中心，A1O⊥平面 ABCD， AB＝AA1＝ ． （1）证明：A1C⊥平面 BB1D1D； （2）求平面 OCB1 与平面 BB1D1D 的夹角 θ 的大小． 19．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，角 φ 的终边与单位圆的交点为 A，圆 C：x2+y2＝3 与 x 轴正半轴的交点是 P0.若圆 C 上一动点从 P0 开始，以 π rad/s 的角速度逆时针做圆周运动， t 秒后到达点 P．设 f（t）＝|AP|2． （1）若 且 t ∈ （0，2），求函数 f（t）的单调递增区间； （2）若 ， ，求 ． 20．已知函数 f（x）＝ex﹣（x+m）ln（x+m）+x，m≤2． （1）当 m＝1 时，求函数在 x＝0 处的切线方程； （2）证明：函数 f（x）为单调递增函数． 21．在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点， ， ，已知△PMN 周长为定值 ． （1）求动点 P 的轨迹方程； （2）过 作互相垂直的两条直线 l1、l2，l1 与动点 P 的轨迹交于 A、B，l2 与动 点 P 的轨迹交于点 C、D，AB、CD 的中点分别为 E、F； ①证明：直线 EF 恒过定点，并求出定点坐标． ②求四边形 ACBD 面积的最小值． 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做 的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22．在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为 （t＞0， α 为参数）．以 坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线 l 的极 坐标方程为 ． （1）当 t＝1 时，求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值； （2）若曲线 C 上的所有点都在直线 l 的下方，求实数 t 的取值范围． 23．已知函数 f（x）＝|2x|+|x﹣1|，x ∈ R． （Ⅰ）求 f（x）≥2 的解集； （Ⅱ）若 f（x）＝kx 有 2 个不同的实数根，求实数 k 的取值范围． 参考答案 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 12 小题， 每小题 5 分，共 60 分） 1．下列命题中的假命题是（ ） A． ∀ x ∈ R，2x﹣1＞0 B． ∀ x ∈ N*，（x﹣1）2＞0 C． ∃ x ∈ R，lgx＜1 D． ∃ x ∈ R，tanx＝2 解：∵指数函数 y＝2t 的值域为（0，+∞） ∴任意 x ∈ R，均可得到 2x﹣1＞0 成立，故 A 项正确； ∵当 x ∈ N*时，x﹣1 ∈ N，可得（x﹣1）2≥0，当且仅当 x＝1 时等号 ∴存在 x ∈ N*，使（x﹣1）2＞0 不成立，故 B 项不正确； ∵当 x＝1 时，lgx＝0＜1 ∴存在 x ∈ R，使得 lgx＜1 成立，故 C 项正确； ∵正切函数 y＝tanx 的值域为 R ∴存在锐角 x，使得 tanx＝2 成立，故 D 项正确 综上所述，只有 B 项是假命题 故选：B． 2．设 a ∈ ，则使函数 y＝xa 的定义域是 R，且为奇函数的所有 a 的值是 （ ） A．1，3 B．﹣1，1 C．﹣1，3 D．﹣1，1，3 解：当 a＝﹣1 时，y＝x﹣1 的定义域是 x|x≠0，且为奇函数； 当 a＝1 时，函数 y＝x 的定义域是 R 且为奇函数； 当 a＝ 时，函数 y＝ 的定义域是 x|x≥0 且为非奇非偶函数． 当 a＝3 时，函数 y＝x3 的定义域是 R 且为奇函数． 故选：A． 3．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设 I 为地震时所散发出来的相对能量程度，则 里氏震级 r 可定义为 r＝0.6lgI，若 6.5 级地震释放的相对能量为 I1，7.4 级地震释放的相 对能量为 I2，记 n＝ ，n 约等于（ ） A．16 B．20 C．32 D．90 解：∵r＝0.6lgI， ∴I＝ 当 r＝6.5 时，I1＝ ， 当 r＝7.4 时，I2＝ ， ∴n＝ ＝ ÷ ＝ ＝10× ≈32 故选：C． 4．若 a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（ ） A． ＞ B． ＜ C． ＞ D． ＜ 解：不妨令 a＝3，b＝1，c＝﹣3，d＝﹣1， 则 ， ，∴A、B 不正确； ， ＝﹣ ， ∴C 不正确，D 正确． 解法二： ∵c＜d＜0， ∴﹣c＞﹣d＞0， ∵a＞b＞0， ∴﹣ac＞﹣bd， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 5．男、女学生共有 8 人，从男生中选取 2 人，从女生中选取 1 人，共有 30 种不同的选法， 其中女生有（ ） A．2 人或 3 人 B．3 人或 4 人 C．3 人 D．4 人 解：设男学生有 x 人，则女学生有 8﹣x 人， 从男生中选 2 人，从女生中选 1 人，共有 30 种不同的选法，是组合问题， ∴ ∁ x2C8﹣x1＝30， ∴x（x﹣1）（8﹣x）＝30×2＝2×6×5，或 x（x﹣1）（8﹣x）＝3×4×5． ∴x＝6，8﹣6＝2．或 x＝5，8﹣5＝3． 女生有：2 或 3 人． 故选：A． 6．设（2x﹣1）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则 a1+a3+a5+a7+a9 的值（ ） A． B． C． D．﹣ 解：令展开式的 x＝1 得 a0+a1+a2+…+a9+a10＝1 令 x＝﹣1 得 a0﹣a1+a2+…﹣a9+a10＝310 两式相减得：1﹣310＝2（a1+a3+a5+a7+a9） ∴a1+a3+a5+a7+a9＝ ． 故选：B． 7．数列{an}是等比数列，首项为 a1，公比为 q，则“a1（q﹣1）＞0”是“数列{an}递增” 的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解：由 a1（q﹣1）＞0 得 a1＞0 且 q＞1，或 a1＜0 且 q＜1 且 q≠0， 当 a1＞0 且 q＞1 时，数列{an}递增， 当 a1＜0 且 q＜1 且 q≠0 时，数列不一定是递增数列，当 q＜0 时，数列为摆动数列，不 是递增数列，即充分性不成立， 若数列{an}递增，则满足 an+1＞an，即 a1（q﹣1）qn＞0，即 a1（q﹣1）＞0 成立，即必要 性成立， 即“a1（q﹣1）＞0”是“数列{an}递增”的必要不充分条件， 故选：B． 8．如图所示是一个无水游泳池，ABCD﹣A′B′C′D′是一个四棱柱，游泳池是由一个长 方体切掉一个三棱柱得到的．现在向泳池注水，如果进水速度是均匀的（单位时间内注 入的水量不变），水面与 AB 的交点为 M，则 AM 的高度 h 随时间 t 变化的图象可能是（ ） A． B． C． D． 解：依题意及四棱柱 ABCD﹣A′B′C′D′可知，开始的一部分时间，随着 t 的增加， 高度增加得逐渐平缓，之后随着 t 的增加，高度增速不变， 故选：A． 9．已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，BC 的中点为 D，A1D⊥底面 ABC， 则异面直线 AB 与 CC1 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 解：设 BC 的中点为 D，连接 A1D、AD、A1B，易知 θ ＝∠A1AB 即为异面直线 AB 与 CC1 所成的角 并设三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面边长为 1， 则|AD|＝ ，|A1D|＝ ，|A1B|＝ ， 由余弦定理，得 cos θ ＝ ＝ ． 故选：D． 10．黑板上有一道解三角形的习题，求解过程是正确的，但一位同学不小心把其中一部分擦 去了，现在只能看到：在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a＝2，...， 解得 B＝60°，根据以上信息，你认为下面哪个选项不可以作为这个习题的其余已知条 件（ ） A．b＝2 ，C＝90° B．A＝30°，c＝4 C．b＝2 ，A＝30 ° D．b＝2 ，c＝4 解：A：a＝2，b＝2 ，C＝90°，tanB＝ ， 所以 B＝60°，A＝30°，可以； B：A＝30°，c＝4，a＝2， 由正弦定理得， ， 所以 ，即 sinC＝1， 所以 C＝90°，B＝60°，可以； C：b＝2 ，a＝2，A＝30°， 由正弦定理得， ， 所以 sinB＝ ， 因为 b＞a， 所以 B＞A，故 B＝60°或 120°，不可以； D：b＝2 ，c＝4，a＝2， 由余弦定理得，cosB＝ ＝ ＝ ， 由 B 为三角形内角得，B＝60°，D 可以． 故选：C． 11．已知过抛物线 G：y2＝2px（p＞0）焦点 F 的直线 l 与抛物线 G 交于 M、N 两点（M 在 x 轴上方），满足 ， ，则以 M 为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准 方程为（ ） A． B． C． D． 解：如图，过点 N 作 NE⊥MM′，由抛物线的定义，|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|． 解三角形 EMN，得∠EMF＝ ，所以直线 l 的斜率为 ， 其方程为 y＝ （x﹣ ）， 与抛物线方程联立可得 3x2﹣5px+ p2＝0， ∴x1+x2＝ p， ∴|MN|＝ p＝ ， ∴p＝2， ∴M（3，2 ），r＝4， ∴圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣2 ）2＝16． 故选：C． 12．已知函数 f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0），f′（x）＝g（x），给出下列四个结论，分 别是：①a＞0；②f（x）在 R 上单调；③f（x）有唯一零点；④存在 x0，使得 g（x0） ＜0．其中有且只有一个是错误的，则错误的一定不可能是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 解：g（x）＝f′（x）＝3ax2+2bx+c（a≠0）， 若①错误，则 a＜0，那么 g（x）为开口向下的抛物线，在定义域上一定有小于 0 的部 分，即④正确，即 f（x）在定义域上有递减区间， 要使②正确，则（2b）2﹣12ac≤0，即 b2≤3ac，此时满足①错误，②③④正确； 若 ② 错 误 ， 则 f （ x ） 在 R 上 不 单 调 ， 那 么 （ 2b ） 2 ﹣ 12ac ＞ 0 ， 即 b2 ＞ 3ac ， ，此时④正确， 若使①正确，则 a＞0，g（x）开口向上，f（x）先增后减再增， 若使③正确，则 f（x1）＜0 或 f（x2）＞0，即 或 ，有满足 条件的 a，b，c，例如 a＝1，b＝1，c＝﹣2 满足题意； 若③错误，则 f（x）在 R 上单调，且 a＞0，那么 g（x）≥0 恒成立，与④正确矛盾， 不满足题意； 若④错误，则 f（x）在 R 上单调，且 a＞0，那么 g（x）≥0 恒成立，此时 f（x）有且仅 有一个零点，满足题意． 故选：C． 二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分，其中第 15 题第一空 2 分，第二 空 3 分） 13．将一长为 4，宽为 2 的矩形 ABCD 沿 AB、DC 的中点 E、F 连线折成如图所示的几何体， 若折叠后 AE＝AB，则该几何体的正（主）视图面积为 2 ． 解：将一长为 4，宽为 2 的矩形 ABCD 沿 AB、DC 的中点 E、F 连线折成如图所示的几何 体，若折叠后 AE＝AB， 则△AEB 为等边三角形， 所以底边 BE 上的高为 ， 所以正视图的面积为 ． 故答案为：2 ． 14．在椭圆 + ＝1（a＞b＞0）中，左焦点为 F，右顶点为 A，短轴上方端点为 B，若 ∠ABF＝90°，则该椭圆的离心率为 ． 解：依题意可知 AF2＝AB2+BF2， ∴（a+c）2＝a2+b2+b2+c2， ∵a2＝b2+c2 ∴a2﹣c2＝ac， ⇒ e2+e﹣1＝0 ∴e＝ （负值舍去） 故答案为： ． 15．“韩信点兵”问题在我国古代数学史上有不少有趣的名称，如“物不知数”“鬼谷算” “隔墙算”“大衍求一术”等，其中《孙子算经》中“物不知数”问题的解法直至 1852 年传由传教士传入至欧洲，后验证符合由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因 而西方称之为“中国剩余定理”．原文如下：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五 数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这是一个已知某数被 3 除余 2，被 5 除余 3，被 7 除余 2，求此数的问题．满足条件的数中最小的正整数是 23 ；1 至 2021 这 2021 个 数中满足条件的数的个数是 20 ． 解：从 3 和 5 的公倍数中找出被 7 除余 1 的最小数 15， 从 3 和 7 的公倍数中找出被 5 除余 1 的最小数 21， 最后从 5 和 7 的公倍数中找出除 3 余 1 的最小数 70， 用 15 乘以 2（2 为最终结果除以 7 的余数）， 用 21 乘以 3（3 为最终结果除以 5 的余数）， 同理，用 70 乘以 2（2 为最终结果除以 3 的余数）， 然后把三个乘积相加， 即 15×2+21×3+70×2＝233， 用 233 除以 3，5，7 三个数的最小公倍数 105，得到余数 23， 同理可得余下的数（前后两个数的差为 105） ∴将 1 至 2017 这 2017 个数中满足条件的数依次为： 23，128，233，338，443，548，653，758，863，968，1073，1178，1283，1388，1493， 1598，1703，1808，1913，2018 共有 20 个， 故答案为：23，20． 16．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自 行车的平面结构示意图，已知图中的圆 A（前轮），圆 D（后轮）的半径均为 ，△ABE， △BEC，△ECD 均是边长为 4 的等边三角形．设点 P 为后轮上的一点，则在骑动该自行 车的过程中， • 的最大值为 36 ． 解：据题意：圆 D（后轮）的半径均为 ，△ABE，△BEC，△ECD 均是边长为 4 的等 边三角形．点 P 为后轮上的一点，如图建立平面直角坐标系： 则 A（﹣8，0），B（﹣6，2 ），C（﹣2， ）． 圆 D 的方程为 x2+y2＝3， 可设 P（ cos α ， sin α ），0≤ α ＜2 π ， 所以 ＝（6， ）， ＝（ cos α +6， sin α −2 ）． 故 • ＝6sin α +6 cos α +24＝12（ sin α + cos α ）+24 ＝12sin（ α + ）+24≤12+24＝36，当且仅当 α ＝ 时，取得最大值 36． 故答案为：36． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．新时代的青年应该注重体育锻炼，全面发展．为了强健学生体魄，陕西省决定 全校学生参与课间健身操运动．为了调查学生对健身操的喜欢程度，现从全校学生中随 机抽取了 20 名男生和 20 名女生的测试成绩（满分 100 分）组成一个样本，得到如图所 示的茎叶图，并且认为得分不低于 80 分的学生为喜欢． （1）请根据茎叶图填写下面的列联表，并判定能否有 85%的把握认为该校学生是否喜欢 健身操与性别有关？ 喜欢 不喜欢 合计 男生 女生 合计 （2）用样本估计总体，将样本频率视为概率，现从全校男生，女生中各抽取 1 人，求其 中喜欢健身操的人数 X 的分布列及数学期望． 参考公式及数据：K2＝ ，其中 n＝a+b+c+d． P（K2≥k0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 解：（1）列联表如下： 喜欢 不喜欢 合计 男生 5 15 20 女生 10 10 20 合计 15 25 40 ∴K2 的观测值 k＝ ≈2.667＞2.072， 所以有 85%的把握认为该校学生是否喜欢健身操与性别有关． （2）由题意知 X 的可能取值为 0，1，2， P（X＝0）＝ × ＝ ， P（X＝1）＝ × + × ＝ ， P（X＝2）＝ × ＝ ， 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 P E（X）＝0× +1× +2× ＝ ． 18．如图，四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，O 为底面中心，A1O⊥平面 ABCD， AB＝AA1＝ ． （1）证明：A1C⊥平面 BB1D1D； （2）求平面 OCB1 与平面 BB1D1D 的夹角 θ 的大小． 【解答】（1）证明：由题意知 OA、OB、OA1 两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系， 又因为 AB＝AA1＝ ，所以 OA＝OC＝OB＝OD＝OA1＝1， ＝（﹣1，0，﹣1）， ＝（0，1，0）， ＝ ＝（﹣1，0，1）， 因为 • ＝0， • ＝0，所以 A1C⊥OB，A1C⊥BB1， 所以 A1C⊥平面 BB1D1D； （2）解：由（1）知平面 BB1D1D 的法向量为 ＝ ＝（﹣1，0，﹣1）， ＝（﹣1，0，0）， ＝（﹣1，1，1）， 平面 OCB1 与的法向量 ＝（x，y，z）， ，令 z＝﹣1， ＝（0，1，﹣1）， |cos θ |＝ ＝ ＝ ， 所以平面 OCB1 与平面 BB1D1D 的夹角 θ 的大小为 60°． 19．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，角 φ 的终边与单位圆的交点为 A，圆 C：x2+y2＝3 与 x 轴正半轴的交点是 P0.若圆 C 上一动点从 P0 开始，以 π rad/s 的角速度逆时针做圆周运动， t 秒后到达点 P．设 f（t）＝|AP|2． （1）若 且 t ∈ （0，2），求函数 f（t）的单调递增区间； （2）若 ， ，求 ． 解：由已知和三角函数的定义可知，A(cos φ ，sin φ ), ， 所 以 f （ t ） ＝ ＝ ， （1）若 ，则 f（t）＝ ， 令 ，解得 ，又 t ∈ （0，2）， 所以函数 f（t）的单调递增区间为 ； （2）若 ＝2，可得 ， 因为 ,所以 ， 故 ， 所以 ＝ ＝ ＝ ＝ , 故 ＝ ． 20．已知函数 f（x）＝ex﹣（x+m）ln（x+m）+x，m≤2． （1）当 m＝1 时，求函数在 x＝0 处的切线方程； （2）证明：函数 f（x）为单调递增函数． 解：（1）函数 f（x）的定义域为（﹣m，+∞）， 对函数 f（x）求导可得 f′（x）＝ex﹣ln（x+m）， m＝1 时，f（x）＝ex﹣（x+1）ln（x+1）+x，则 f′（x）＝ex﹣ln（x+1）， 故 f（0）＝1，f′（0）＝1， 故切线方程是：y﹣1＝x﹣0，即 y＝x+1； （2）证明：由第（1）问可得 f′（x）＝ex﹣ln（x+m）， 令 g（x）＝ex﹣（x+1），则 g′（x）＝ex﹣1， 可知在（﹣∞，0）上，g′（x）＜0，在（0，+∞）上，g′（x）＞0， 即 g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增， 于是有 g（x）＝ex﹣（x+1）≥g（0）＝0，即 ex≥x+1 恒成立， 构造函数 h（x）＝（x+1）﹣ln（x+2），则 h′（x）＝1﹣ ， 可知在（﹣2，﹣1）上，h′（x）＜0，在（﹣1，+∞）上，h′（x）＞0， 即 h（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增， 于是有 h（x）＝（x+1）﹣ln（x+2）≥h（﹣1）＝0，即 ln（x+2）≤x+1 恒成立， 当 m≤2 时，ln（x+m）≤ln（x+2）≤x+1 成立， 综上可得，ex≥x+1≥ln（x+m）， 即有 f′（x）≥0，函数 f（x）为单调递增函数． 21．在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点， ， ，已知△PMN 周长为定值 ． （1）求动点 P 的轨迹方程； （2）过 作互相垂直的两条直线 l1、l2，l1 与动点 P 的轨迹交于 A、B，l2 与动 点 P 的轨迹交于点 C、D，AB、CD 的中点分别为 E、F； ①证明：直线 EF 恒过定点，并求出定点坐标． ②求四边形 ACBD 面积的最小值． 【解答】（1）解：因为 ， ，则|MN|＝2 ， 又△PMN 周长为定值 ．即|PM|+|PN|+|MN|＝ ， 所以|PM|+|PN|＝4＞|MN|， 所以动点 P 的轨迹为以 M，N 为焦点的椭圆， a＝2，c＝ ，则 b＝1， 所以动点 P 的轨迹方程为 +y2＝1． （2）①证明：若 l1 与 x 轴重合，则直线 l1 与动点 P 的轨迹没有交点，不符合题意； 若 l2 与 x 轴重合，则直线 l2 与动点 P 的轨迹没有交点，不符合题意； 设直线 l1 的方程为 x＝my+ （m≠0），则直线 l2 的方程为 x＝﹣ y+ ， 直线 l1、l2 均过椭圆的焦点（椭圆内一点），l1、l2 与椭圆必有交点， 设 A（x1，y1），B（x2，y2），由 ，得（m2+4）y2+2 my﹣1＝0， 由根与系数的关系得 y1+y2＝﹣ ，则 x1+x2＝m（y1+y2）+2 ＝ ， 所以点 E 的坐标为（ ，﹣ ）， 同理可得点 F（ ， ）， 直线 EF 的斜率为 kEF＝ ＝ （m≠±1）， 直线 EF 的方程是 y+ ＝ （x﹣ ）， 即 y＝ [x﹣ ﹣ ]＝ （x﹣ ）， 当 m＝±1 时，直线 EF 的方程为 x＝ ，直线 EF 过点的（ ，0）， 综上，直线 EF 过定点（ ，0）． ②解：由①可得 y1+y2＝﹣ ，y1y2＝﹣ ， 所以|AB|＝ |y1﹣y2|＝ ＝ ， 同理可得|CD|＝ ＝ ， 所以四边形 ACBD 的面积为： S＝ |AB||CD|＝ ≥ ＝ ，当且仅当 m2＝1 时取等 号， 因此，四边形 ACBD 的面积的最小值为 ． 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做 的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22．在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为 （t＞0， α 为参数）．以 坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线 l 的极 坐标方程为 ． （1）当 t＝1 时，求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值； （2）若曲线 C 上的所有点都在直线 l 的下方，求实数 t 的取值范围． 解：（1）直线 l 的极坐标方程为 ， 即 ρ sin θ + ρ cos θ ＝3， 化为直角坐标方程是 x+y﹣3＝0， t＝1 时，曲线 C 上的点到直线 l 的距离为 ＝ ， 当 时， ， 即曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 ； （2）∵曲线 C 上的所有点均在直线 l 的下方， ∴对 ∀α∈ R，有 tcos α +sin α ﹣3＜0 恒成立， 即 （其中 ）恒成立， ∴ ； 又 t＞0，∴解得 ， ∴实数 t 的取值范围是 ． 23．已知函数 f（x）＝|2x|+|x﹣1|，x ∈ R． （Ⅰ）求 f（x）≥2 的解集； （Ⅱ）若 f（x）＝kx 有 2 个不同的实数根，求实数 k 的取值范围． 解：（I）f（x）＝|2x|+|x﹣1|＝ ， 由﹣3x+1≥2，解得：x≤﹣ ， 由 x+1≥2，解得：x≥1，无解， 由 3x﹣1≥2，解得：x≥1， 故 f（x）≥2 的解集是{x|x≥1 或 }． （Ⅱ）由图易知： ， ∴ ， 即 2＜k＜3， 即 k 的取值范围是（2，3）．