北师大版九年级上册满分冲刺压轴专项突破：反比例函数综合（二）

北师大版九年级上册满分冲刺压轴专项突破： 反比例函数综合（二） 1．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y＝ （x＜0）的图象经过点（﹣6，1），直线 y ＝mx+m 与 y 轴交于点（0，﹣2）． （1）求 k，m 的值； （2）过第二象限的点 P（n，﹣2n）作平行于 x 轴的直线，交直线 y＝mx+m 于点 A，交 函数 y＝ （x＜0）的图象于点 B． ① 当 n＝﹣1 时，判断线段 PA 与 PB 的数量关系，并说明理由； ② 若 PB≥2PA，结合函数的图象，直接写出 n 的取值范围． 2．如图，一次函数 y＝kx+1 的图象与反比例函数 的图象交于点 A（2，a）， 点 B 为 x 轴正半轴上一点，过 B 作 x 轴的垂线交反比例函数的图象于点 C，交一次函数 的图象于点 D． （1）求 a 的值及一次函数 y＝kx+1 的表达式； （2）若 BD＝10，求△ACD 的面积． 3．如图，一次函数 y＝﹣x+1 的图象与两坐标轴分别交于 A，B 两点，与反比例函数的图象 交于点 C（﹣2，m）． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点 P 在 y 轴正半轴上，且与点 B，C 构成以 BC 为腰的等腰三角形，请直接写出 所有符合条件的 P 点坐标． 4．已知反比例函数 y＝ （k 为常数，k≠0）的图象经过 A（1，3），B（﹣6，n）两点． （I）求该反比例函数的解析式和 n 的值； （Ⅱ）当 x≤﹣1 时，求 y 的取值范围； （Ⅲ）若 M 为直线 y＝x 上的一个动点，当 MA+MB 最小时，求点 M 的坐标． 5．如图，菱形 ABCD 的两个顶点 B、D 在反比例函数 y＝ 的图象上，对角线 AC 与 BD 的 交点恰好是坐标原点 O，已知点 A（1，1），∠ABC＝60°， （1）求反比例函数的解析式； （2）点 P 是 x 轴上一点，若△BDP 是等腰三角形，直接写出点 P 坐标． 6．如图，一次函数 y＝kx+b（k≠0）的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，且与反比例 函数 y＝ （m≠0）的图象在第一象限相交于 C 点，作 CD⊥x 轴于 D 点．若 OA＝2， OD＝1.5OA，CD＝2OA． （1）求反比例函数的解析式； （2）△OAB 的面积为 ． 7．如图 1，矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x、y 轴的正半轴上，点 B 在反比例函数 y＝ （k ＞0）的第一象限内的图象上，OA＝4，OC＝3，动点 P 在 y 轴的右侧，且满足 S△PCO＝ S 矩形 OABC． （1）若点 P 在这个反比例函数的图象上，求点 P 的坐标； （2）连接 PO、PC，求 PO+PC 的最小值； （3）若点 Q 是平面内一点，使得以 B、C、P、Q 为顶点的四边形是菱形，请你直接写 出满足条件的所有点 Q 的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数 y＝ （k≠0，x＞0）的图象相交于 A（1，5），B（m，1）两点，与 x 轴，y 轴分别交于点 C， D，连接 OA，OB． （1）求反比例函数 y＝ （k≠0，x＞0）和一次函数 y＝ax+b（a≠0）的表达式； （2）求△AOB 的面积． 9．如图，一次函数 y＝x+4 的图象与反比例函数 y＝ （k 为常数且 k≠0）的图象交于 A（﹣ 1，a），B 两点，与 x 轴交于点 C． （1）求 a，k 的值及点 B 的坐标； （2）若点 P 在 x 轴上，且 S△ACP＝ S△BOC，直接写出点 P 的坐标． 10．已知点 A 在 x 轴负半轴上，点 B 在 y 轴正半轴上，线段 OB 的长是方程 x2﹣2x﹣8＝0 的解，tan∠BAO＝ ． （1）求点 A 的坐标； （2）点 E 在 y 轴负半轴上，直线 EC⊥AB，交线段 AB 于点 C，交 x 轴于点 D，S△DOE＝ 16．若反比例函数 y＝ 的图象经过点 C，求 k 的值； （3）在（2）条件下，点 M 是 DO 中点，点 N，P，Q 在直线 BD 或 y 轴上，是否存在点 P，使四边形 MNPQ 是矩形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．解：（1）∵函数 y＝ （x＜0）图象经过点（﹣6，1）， ∴k＝﹣6×1＝﹣6， ∵直线 y＝mx+m 与 y 轴交于点（0，﹣2）， ∴m＝﹣2； （2） ① PB＝2PA，理由如下： 当 n＝﹣1 时，点 P 坐标为（﹣1，2）， ∴点 A 坐标为（﹣2，2），点 B 坐标为（﹣3，2）， ∴PA＝1，PB＝2， ∴PB＝2PA； ② ∵点 P 坐标为（n，﹣2n），PA 平行于 x 轴， 把 y＝﹣2n 分别代入 y＝ （x＜0）和 y＝﹣2x﹣2 得， 点 B 坐标为（ ，﹣2n），点 A 坐标为（n﹣1，﹣2n）， ∴PA＝n﹣（n﹣1）＝1，PB＝|n﹣ |， 当 PB＝2PA 时，则|n﹣ |＝2， 如图 1，当 n﹣ ＝2，解得 n1＝﹣1，n2＝3（不合题意，舍去）， 如图 2，当 ﹣n＝2 解得 n1＝﹣3，n2＝1（不合题意，舍去）， ∴PB≥2PA 时，n≤﹣3 或﹣1≤n＜0． 2．解：（1）把点 A（2，a）代入反比例函数 得，a＝ ＝4， ∴点 A（2，4），代入 y＝kx+1 得，4＝2k+1， 解得 k＝ ∴一次函数的表达式为 ； （2）∵BD＝10， ∴D 的纵坐标为 10， 把 y＝10 代入 得，x＝6， ∴OB＝6， 当 x＝6 代入 y＝ 得，y＝ ，即 BC＝ ， ∴CD＝BD﹣BC＝10﹣ ＝ ， ∴S△ACD＝ ×（6﹣2）＝ ． 3．解：（1）∵点 C（﹣2，m）在一次函数 y＝﹣x+1 的图象上， 把 C 点坐标代入 y＝﹣x+1，得 m＝﹣（﹣2）+1＝3， ∴点 C 的坐标是（﹣2，3）， 设反比例函数的解析式为 ， 把点 C 的坐标（﹣2，3）代入 得， ， 解得 k＝﹣6， ∴反比例函数的解析式为 ； （2）在直线 y＝﹣x+1 中，令 x＝0，则 y＝1， ∴B（0，1）， 由（1）知，C（﹣2，3）， ∴BC＝ ＝2 ， 当 BC＝BP 时，BP＝2 ， ∴OP＝2 +1， ∴P（0，2 +1）， 当 BC＝PC 时，点 C 在 BP 的垂直平分线， ∴P（5，0）， 即满足条件的点 P 的坐标为（0，5）或（0， ）． 4．解：（Ⅰ）把 A（1，3）代入 y＝ 得 k＝1×3＝3， ∴反比例函数解析式为 y＝ ； 把 B（﹣6，n）代入 y＝ 得﹣6n＝3，解得 n＝﹣ ； （Ⅱ）∵k＝3＞0， ∴图象在一、三象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而减小， 把 x＝﹣1 代入 y＝ 得 y＝﹣3， ∴当 x≤﹣1 时，y 的取值范围是﹣3≤y＜0； （Ⅲ）作 A 点关于直线 y＝x 的对称点为 A′，则 A′（3，1），连接 A′B，交直线 y＝ x 于点 M，此时，MA+MB＝MA′+MB＝A′B， ∴A′B 是 MA+MB 的最小值， 设直线 A′B 的解析式为 y＝mx+b， 则 ，解得 ， ∴直线 A′B 的解析式为 y＝ x+ ， 由 ，解得 ， ∴点 M 的坐标为（ ， ）． 5．解：（1）如图，∵四边形 ABCD 是菱形， ∴BA＝BC，AC⊥BD， 过点 A 作 AE⊥x 轴于 E， ∵A（1，1）， ∴OE＝AE＝1 ， ∴OA＝ ，∠AOE＝45°， ∵AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∴∠BOF＝45°， 过点 B 作 BF⊥x 轴于 F， ∴∠OFB＝90°， ∴∠OBF＝45°＝∠BOF， ∴BF＝OF， ∴OB＝ OF＝ BF， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∵BD 是菱形 ABCD 的对角线， ∴∠ABO＝ ∠ABC＝30°， ∴BO＝ ＝ ＝ ， ∴OF＝BF＝ ， ∴点 B 的坐标为（﹣ ， ）， ∵点 B 在反比例函数 y＝ 的图象上， ∴ ＝ ， 解得，k＝﹣3， ∴反比例函数的解析式为 y＝﹣ ； （2）∵菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点恰好是坐标原点 O， ∴OB＝OD，即：点 B 与点 D 关于原点对称， ∵点 B 的坐标为（﹣ ， ）， ∴点 D 的坐标为（ ，﹣ ）， 设 P（m，0）， ∴BP2＝（m+ ）2+3，DP2＝（m﹣ ）2+3，BD2＝24， ∵△BDP 是等腰三角形， ∴ ① 当 BP＝DP 时，∴BP2＝DP2， ∴（m+ ）2+3＝（m﹣ ）2+3， ∴m＝0（舍） ② 当 BP＝BD 时，∴BP2＝BD2， ∴（m+ ）2+3＝24， ∴m＝﹣ ± ， ∴P（﹣ + ，0）或（﹣ ﹣ ，0）， ③ 当 BD＝DP 时，BD2＝DP2， ∴（m﹣ ）2+3＝24， ∴m＝ ± ， ∴P（ + ，0）或（ ﹣ ，0）， 即：满足条件的点 P 的坐标为（﹣ + ，0）或（﹣ ﹣ ，0）或（ + ， 0）或（ ﹣ ，0）． 6．解：（1）∵OA＝2，OD＝1.5OA，CD＝2OA． ∴OD＝3，C＝4， ∴C（3，4）， ∵点 C 反比例函数 y＝ （m≠0）的图象上， ∴m＝3×4＝12， ∴反比例函数为 y＝ ； （2）∵CD⊥x 轴于 D 点． ∴CD∥OB， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴OB＝ ， ∴△OAB 的面积为 2× ＝ ， 故答案为 ． 7．解：（1）∵四边形 OABC 是矩形，OA＝4，OC＝3， ∴点 B 的坐标为（4，3）， ∵点 B 在反比例函数 y＝ （k≠0）的第一象限内的图象上 ∴k＝12， ∴y＝ ， 设点 P 的横坐标为 m（m＞0）， ∵S△PCO＝ S 矩形 OABC． ∴ •OC•m＝ OA•OC， ∴m＝3， 当点，P 在这个反比例函数图象上时，则 P 点的纵坐标为 y＝ ＝4， ∴点 P 的坐标为（3，4）； （2）过点（3，0），作直线 l⊥x 轴． 由（1）知，点 P 的横坐标为 3， ∴点 P 在直线 l 上 作点 O 关于直线 l 的对称点 O′，则 OO′＝6， 连接 CO′交直线 l 于点 P，此时 PO+PC 的值最小， 则 PO+PC 的最小值＝PO′+PC＝O′C＝ ． （3）分两种情况： ① 如图 2 中，当四边形 CBQP 是菱形时，易知 BC＝CP＝PQ＝BQ＝4，P1（3，3﹣ ）， P2（3，3+ ）， ∴Q1（7，3﹣ ），Q2（7，3+ ）； ． ② 如图 3 中，当四边形 CBPQ 是菱形时，P3（3，3﹣ ），P4（3，3+ ）， ∴Q3（﹣1，3﹣ ），Q4（﹣1，3+ ）． 综上所述，点 Q 的坐标为 Q1（7，3﹣ ），Q2（7，3+ ），Q3（﹣1，3﹣ ）， Q4（﹣1，3+ ）． 8．解：（1）将点 A（1，5）代入 y＝ （k≠0，x＞0）得：5＝ ， 解得 k＝5， 故反比例函数的表达式为：y＝ ， 将点 B（m，1）代入 y＝ 得：m＝5， 故点 B（5，1）， 将点 A（1，5），B（5，1）代入 y＝ax+b 得 ， 解得 ， 故一次函数表达式为：y＝﹣x+6； （2）由一次函数 y＝﹣x+6 可知，D（0，6）， 则△AOB 的面积＝△BOD 的面积﹣△AOD 的面积＝ 6×5﹣ ＝12． 9．解：（1）把点 A（﹣1，a）代入 y＝x+4，得 a＝3， ∴A（﹣1，3） 把 A（﹣1，3）代入反比例函数 y＝ ∴k＝﹣3； ∴反比例函数的表达式为 y＝﹣ 联立两个函数的表达式得 解得 或 ∴点 B 的坐标为 B（﹣3，1）； （2）当 y＝x+4＝0 时，得 x＝﹣4 ∴点 C（﹣4，0） 设点 P 的坐标为（x，0） ∵S△ACP＝ S△BOC， ∴ ×3×|x+4|＝ × ×4×1 解得 x1＝﹣6，x2＝﹣2 ∴点 P（﹣6，0）或（﹣2，0）． 10．解：（1）∵线段 OB 的长是方程 x2﹣2x﹣8＝0 的解， ∴OB＝4， 在 Rt△AOB 中，tan∠BAO＝ ＝ ， ∴OA＝8， ∴A（﹣8，0）． （2）∵EC⊥AB， ∴∠ACD＝∠AOB＝∠DOE＝90°， ∴∠OAB+∠ADC＝90°，∠DEO+∠ODE＝90°， ∵∠ADC＝∠ODE， ∴∠OAB＝∠DEO， ∴△AOB∽△EOD， ∴ ＝ ， ∴OE：OD＝OA：OB＝2，设 OD＝m，则 OE＝2m， ∵ •m•2m＝16， ∴m＝4 或﹣4（舍弃）， ∴D（﹣4，0），E（0，﹣8）， ∴直线 DE 的解析式为 y＝﹣2x﹣8， ∵A（﹣8，0），B（0，4）， ∴直线 AB 的解析式为 y＝ x+4， 由 ，解得 ， ∴C（﹣ ， ）， ∵若反比例函数 y＝ 的图象经过点 C， ∴k＝﹣ ． （3）如图 1 中，当四边形 MNPQ 是矩形时，∵OD＝OB＝4， ∴∠OBD＝∠ODB＝45°， ∴∠PNB＝∠ONM＝45°， ∴OM＝DM＝ON＝2， ∴BN＝2，PB＝PN＝ ， ∴P（﹣1，3）． 如图 2 中，当四边形 MNPQ 是矩形时（点 N 与原点重合），易证△DMQ 是等腰直角三 角形，OP＝MQ＝DM＝2，P（0，2）； 如图 3 中，当四边形 MNPQ 是矩形时，设 PM 交 BD 于 R，易知 R（﹣1，3），可得 P （0，6） 如图 4 中，当四边形 MNPQ 是矩形时，设 PM 交 y 轴于 R，易知 PR＝MR，可得 P（2， 6）． 综上所述，满足条件的点 P 坐标为（﹣1，3）或（0，2）或（0，6）或（2，6）；